CMAT 2011 - Fecha 4 - Nivel 3 Individual

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CMAT 2011 - Fecha 4 - Nivel 3 Individual

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Heiricar Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 1 2012, 01:38 PM Publicado: #1
Dios Matemático Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 423 Registrado: 4-January 11 Miembro Nº: 82.624 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	IX CAMPEONATO ESCOLAR DE MATEMÁTICA - CMAT Fecha 4: 6 de Agosto del 2011 Tercer Nivel Individual Problema 1 Demuetre que si en un pentágono regular sus lados miden $TEX: $a$$ y sus diagonales $TEX: $l$$ , entonces se tiene: $TEX: $$l^{2}-a^{2}=al$$$ Problema 2 Existen 2011 colores disponibles. Cada elemento del conjunto: $TEX: $ \{ 1,2,3... ,2009 \} $$ debe ser coloreado con uno de estos colores, de modo que: $TEX: $\bullet j$$ y $TEX: $2010-j$$ tienen el mismo color $TEX: $\bullet$$ si $TEX: $j \neq 5$$ , entonces $TEX: $j$$ y $TEX: $\|j-5\|$$ tienen el mismo color. ¿de cuantas maneras pueden ser coloreados los números?

Seba² Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 1 2012, 02:36 PM Publicado: #2
Dios Matemático Grupo: Moderador Mensajes: 269 Registrado: 30-August 10 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 76.269 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Problema 2 $TEX: Sea $\displaystyle C(i)$ la función que define el color del Número $\displaystyle i$ con $\displaystyle 1\leq i\leq 2009$ , luego, siguiendo las reglas, se tienen las siguientes relaciones:$ $TEX: (1)$\displaystyle C(1)=C(6)=C(11)=...=C(2006)=C(5k+1)$$ $TEX: (2)$\displaystyle C(2)=C(7)=C(12)=...=C(2007)=C(5k+2)$$ $TEX: (3)$\displaystyle C(3)=C(8)=C(13)=...=C(2008)=C(5k+3)$$ $TEX: (4)$\displaystyle C(4)=C(9)=C(14)=...=C(2009)=C(5k+4)$$ $TEX: (5)$\displaystyle C(5)=C(10)=C(15)=...=C(2005)=C(5k)$$ $TEX: Con $\displaystyle 0\leq k\leq 401$$ $TEX: Después nos damos cuenta que $\displaystyle C(1)=C(2009)$ , osea que $\displaystyle C(5i+1)=C(5j+4)$ con $\displaystyle 0\leq i,j\leq 401$$ $TEX: Asimismo tenemos que $\displaystyle C(2)=C(2008)$ , osea que $\displaystyle C(5i+2)=C(5j+3)$ con $\displaystyle 0\leq i,j\leq 401$$ $TEX: Entonces tenemos en consecuencia $\displaystyle 2011\cdot 2011\cdot 2011=2011^{3}$ maneras de Colorear los Elementos del Conjunto $\displaystyle \blacksquare $$ Saludos !!!... Mensaje modificado por Seba² el Feb 1 2012, 02:44 PM -------------------- Estudiante Instituto Nacional General José Miguel Carrera IV Medio(2013) 17 años. Estaba Jesús predicando en el monte Sinaí y dijo a sus discípulos: y = ax² + bx + c ¿Y eso qué es? Dijo uno de los discípulos. A lo que Jesús respondió: ¡Una parábola !

sushi_8 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 1 2012, 05:05 PM Publicado: #3
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 274 Registrado: 20-May 10 Miembro Nº: 71.064 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: $\\ $En primer lugar notamos que$ \ \Delta ABD \ $ es isósceles en D. Luego al trazar AC, intersectándose en un punto P con BD, nos damos cuenta que$ \ \Delta PBC \ $es isósceles en P. También$ \ \Delta APB \ $es isósceles en A con$ \ AP= a\ $. Entonces,$ \ PC=l-a \ $ ya que$ \ AP+PC=l \ $. Por otra parte tenemos que$ \ \Delta ABD \sim \Delta BPA $ y tal que PC=PB podemos plantear lo siguiente $ \\ \\ \dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AB}{BP} \ \Longleftrightarrow \ \dfrac{l}{a}=\dfrac{a}{l-a} \ \Longleftrightarrow \ l^2-a^2=al \blacksquare $$ Saludos!! -------------------- 100% REAL NO FAKE 1 LINK MEGAUPLOAD KEYGEN + CRACK FULL HD 1080P SUBS ESPAÑOL [PORTABLE]

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