Una no contracción cuya iteración es contracción

Una no contracción cuya iteración es contracción, Tal vez conocido

Cenizas con Most... Cenizas con Mostaza Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 19 2012, 05:28 PM Publicado: #1
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 465 Registrado: 15-July 11 Miembro Nº: 91.905 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	$TEX: Sea $\Omega:C[0,1]\to C[0,1]$ definida por $$\Omega (f)(x)=\displaystyle \int_0^x f(t)dt $$ para $f\in C[0,1]$ y $x\in [0,1]$.<br /><br />1. Demuestre que $\Omega$ no es contracción pero $\Omega^2=\Omega \circ \Omega$ sí lo es. <br /><br />2. Concluya que a pesar que $\Omega$ no es contracción, $\Omega$ posee un único punto fijo.$ -------------------- He-llo? Could you say that again? More slowly? In a language I understand? Depending on what you said, I might kick your ass!

Matriu Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 19 2021, 10:33 PM Publicado: #2
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 119 Registrado: 1-March 13 Desde: Santiago Miembro Nº: 115.656 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Asumiré que todo es con la norma del supremo. Al operador lo llamaré V porque es un operador de Volterra. Recordemos que V es contracción si existe $TEX: $\lambda \in (0,1)$$ tal que $TEX: $$d(V(f),V(g)) \leq \lambda d(f,g)$$$ $TEX: <br />1. Si tomamos $f \equiv 1$ y $g \equiv 0$, obtenemos que $d(V(f),V(g))=1$, mientras que $d(f,g)=1$. Así, si $V$ es contracción, tendríamos que $1 \leq \lambda$, lo cual es absurdo. Para lo otro, basta notar que<br /><br />$$ d(V^{2}(f),V^{2}(g))\leq \int_{0}^{y} \int_{0}^{x} \|f(t)-g(t)\|dtdx \leq d(f,g) \int_{0}^{y}xdx=\frac{1}{2}d(f,g). $$<br />2. Claramente $g \equiv 0$ es un punto fijo. Para ver que es el único, supongamos que existe $f$ no idénticamente nula que es punto fijo, i.e., <br /><br />$$f(x)=\int_{0}^{x}f(t)dt.$$<br /><br />Notamos que esto implica que $f$ es derivable (por TFC). Por lo tanto obtenemos que $f'(x)=f(x)$, de donde $f(x)=ce^{x}$, con $c \neq 0$. Si reemplazamos esto en la condición del punto fijo, obtenemos que $e^{x}=e^{x}-1$, lo cual es absurdo.<br />$ --------------------

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