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Único punto fijo, Cortesía del Burkill

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Cenizas con Most... Cenizas con Mostaza Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 4 2012, 12:10 PM Publicado: #1
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 465 Registrado: 15-July 11 Miembro Nº: 91.905 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	$TEX: Sea $f:[a,b]\to [a,b]$ una función continua en $[a,b]$ y diferenciable en $(a,b)$. Suponga que existe $k\in(0,1)$ tal que $\|f'(x)\|\leq k, \forall x\in(a,b)$. Demuestre que la ecuación $f(x)=x$ posee única solución.$ -------------------- He-llo? Could you say that again? More slowly? In a language I understand? Depending on what you said, I might kick your ass!

gamby Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 16 2012, 10:19 AM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 2.847 Registrado: 3-October 09 Miembro Nº: 59.760 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	tengo una idea de demostración, como la función tiene derivada acotada entonces es Lipschitz pero Contractante pues k<1 luego por el teorema del punto fijo se concluye !

Krebante Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 16 2012, 12:36 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 618 Registrado: 8-June 08 Desde: Paris Miembro Nº: 26.525 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(gamby @ Jun 16 2012, 10:19 AM) tengo una idea de demostración, como la función tiene derivada acotada entonces es Lipschitz pero Contractante pues k<1 luego por el teorema del punto fijo se concluye ! Eso es matar una mosca con un cañón XD. Supongo que la idea del problema es hacerlo con derivadas nomás. -------------------- ¡Por más representación, vota Riesz!

Gastón Burrull Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 16 2012, 04:01 PM Publicado: #4
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 394 Registrado: 11-January 12 Miembro Nº: 100.123 Nacionalidad: Sexo:	Puro TVI nomas pa que ser tan bestia xd. -------------------- CITA(Kaissa @ Aug 20 2012, 11:51 PM) Una persona por mucho que lea en inglés, no se le pegan esas tonteras. Lo que acá pasa es más simple y tiene relación con el concepto de "dárselas" Saludos.

gamby Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 17 2012, 11:13 PM Publicado: #5
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 2.847 Registrado: 3-October 09 Miembro Nº: 59.760 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Krebante @ Jun 16 2012, 01:36 PM) Eso es matar una mosca con un cañón XD. Supongo que la idea del problema es hacerlo con derivadas nomás. CITA(Gastón Burrull @ Jun 16 2012, 05:01 PM) Puro TVI nomas pa que ser tan bestia xd. jajajaj no tenia intensión de matarlo con derivadas xD

mamboraper Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 4 2017, 08:46 PM Publicado: #6
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 134 Registrado: 28-March 14 Miembro Nº: 128.100 Nacionalidad: Sexo:	$TEX: Se aplica TVM asumiendo que existen dos puntos fijos. En efecto, sean $x_1$ y $x_2$ dos puntos fijos, luego por TVM se sigue que $\exists \xi\in(a,b), \ \frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1 - x_2}=f'(\xi)\implies f'(\xi)=\frac{x_1-x_2}{x_1-x_2}=1$ y esto es una contradicción, pues no cumple con la hipótesis. Para probar la existencia del punto fijo, simplemente definamos $g(x)=f(x)-x$ y veamos que, como $a \leq f(x)\leq b$ entonces $g(a)\geq 0$ y $g(b)\leq 0$ luego por TVI se tiene la existencia $\square$$ -------------------- Hago clases particulares (activo 2024). Cualquier consulta por MP.

¡Santa ciencia! Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 5 2017, 12:47 PM Publicado: #7
Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 31 Registrado: 21-December 14 Miembro Nº: 134.977 Nacionalidad: Sexo:	CITA(mamboraper @ Jan 4 2017, 08:46 PM) $TEX: Se aplica TVM asumiendo que existen dos puntos fijos. En efecto, sean $x_1$ y $x_2$ dos puntos fijos, luego por TVM se sigue que $\exists \xi\in(a,b), \ \frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1 - x_2}=f'(\xi)\implies f'(\xi)=\frac{x_1-x_2}{x_1-x_2}=1$ y esto es una contradicción, pues no cumple con la hipótesis. Para probar la existencia del punto fijo, simplemente definamos $g(x)=f(x)-x$ y veamos que, como $a \leq f(x)\leq b$ entonces $g(a)\geq 0$ y $g(b)\leq 0$ luego por TVI se tiene la existencia $\square$$ Solución correcta.

SuKeVinBellaKo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 5 2023, 04:20 AM Publicado: #9
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 524 Registrado: 2-October 13 Miembro Nº: 122.939 Nacionalidad: Sexo:	CITA(2.718281828 @ Jan 5 2023, 02:44 AM) Solucion corta. si g(x)=f(x)-x, tenemos que $TEX: $g(a)\geq 0$$ y $TEX: $g(b) \leq 0$$ y sabemos que existe un c en [a,b] tal que $TEX: $g©=0$$ . La unicidad es inmediata pues $TEX: $g'(x)=f'(x)-1<k-1<0$$ en ]a,b[ y por lo tanto es estrictamente decreciente y por ende 1-1. ¿No me cree?, si hubiese otra raiz, por el teorema de Rolle habria un punto entre las dos raices cuya derivada es 0 lo cual no es cierto. Saludos Claudio. correcto

Sr Binomio Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 22 2023, 11:17 PM Publicado: #10
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 409 Registrado: 13-July 12 Desde: Santiago Miembro Nº: 108.957 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	CITA(2.718281828 @ Jan 5 2023, 02:44 AM) Solucion corta. si g(x)=f(x)-x, tenemos que $TEX: $g(a)\geq 0$$ y $TEX: $g(b) \leq 0$$ y sabemos que existe un c en [a,b] tal que $TEX: $g©=0$$ . La unicidad es inmediata pues $TEX: $g'(x)=f'(x)-1<k-1<0$$ en ]a,b[ y por lo tanto es estrictamente decreciente y por ende 1-1. ¿No me cree?, si hubiese otra raiz, por el teorema de Rolle habria un punto entre las dos raices cuya derivada es 0 lo cual no es cierto. Saludos Claudio. Hace años no venia al foro pero cuando lo vi pense en algo similar con teorema de valor medio..... -------------------- Kaissa Es ICM!

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