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> Examen EDO, 2 - 2011 (I. Huerta, G. Raykov, M. Ponce y J. Gaggero)
NickdrA
mensaje Dec 26 2011, 10:02 PM
Publicado: #1


Dios Matemático Supremo
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Colegio/Liceo: Liceo A-47 Augusto D Halmar
Universidad: Universidad Catolica de Chile-Facultad de Ingenieria
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TEX: <br />\textbf{Problema 1.}<br /><br />En un estanque ingresan 3 litros/seg de salmuera con una concentración de sal de 10<br />grs/litro. Desde el estanque salen 6 litros/seg de solución homogénea. Si inicialmente<br />en el estanque hay 600 litros de salmuera con una concentración de sal de 20 grs/litro,<br />determine la cantidad de sal en el estanque cuando quedan 300 litros de salmuera y el<br />valor límite de la concentración de sal cuando el estanque se vacía.<br /><br />\textbf{Problema 2.}<br />\begin{itemize}<br />\item[(i)] Resuelva el problema<br />$$ \left\{ \begin{array}{c} y'' + y = \cos (t) + t \\ y(0)=0 \quad ; \quad y'(0)=1 \end{array}\right.$$<br />\item[(ii)] Encuentre criterio sobre los parámetros reales $b$, $c$ para que cada solución y no<br />identicamente nula de la ecuación<br />$$ y'' + by' + cy = 0$$<br />tenga no más de un punto crítico.<br />\end{itemize}<br /><br />\textbf{Problema 3.}<br />\begin{itemize}<br />\item[(i)] Sea<br />$$ A = \left( \begin{array}{cc} 3 & -1 \\ 1 & 1 \end{array}\right)$$<br />Encuentre la matriz exponencial $e^{tA}$, $t \in \mathbb{R}$ asociada a $A$<br />\item[(ii)] Resuelve el problema<br /><br />$$ \left\{ \begin{array}{l} \frac{dy}{dt} = Ay + \left( \begin{array}{c} e^{2t}\\ e^{2t}\end{array} \right) \\ y(0) = \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \end{array} \right) \end{array}\right. $$<br /><br />\end{itemize}<br />\textbf{Problema 4.}<br /><br />\begin{itemize}<br />\item[(i)] Encuentre los puntos de equilibrio del sistema<br />$$ \left\{ \begin{array}{l} \frac{dx}{dt} = y - x^2+2\\ \frac{dy}{dt} = x^2-xy \end{array}\right.  $$<br />Utilizando el método de linealización clasifíquelos, si posible, como atractores, repulsores o sillas.<br />\item[(ii)] Demuestre que el sistema<br />$$ \left\{ \begin{array}{l} \frac{dx}{dt} = -3y^2 - 3x^2 + 6xy + 3\\ \frac{dy}{dt} = 6xy - 3y^2 - 12x + 3\end{array}\right.  $$<br />es hamiltoniano, encuentre una función de Hamilton, halle los puntos de equilibrio de<br />y clasifíquelos como estables o inestables.<br />\end{itemize}<br />

Mensaje modificado por NickdrA el Dec 26 2011, 10:11 PM


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