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Abu-Khalil Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 13 2011, 03:25 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 3.812 Registrado: 4-November 07 Desde: Santiago Miembro Nº: 12.213 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: \noindent Considere la aplicación $\varphi:C[0,1]\to C[0,1]$ dada por <br />$$\varphi(f)(x)=\int_0^x f(t)dt,\quad x\in[0,1].$$<br />Determine si existe $n\in\mathbb N$ tal que $\varphi^m=\varphi\circ\varphi\circ\ldots\circ\varphi$, es decir, $\varphi$ compuesta con ella misma $m$ veces, sea una contracción para todo $m\ge n$.<br />$ -------------------- ~milopez $TEX: \[\mathfrak{L}=\int_{-\infty}^\infty e^{-289x^2}dx=\frac{\Gamma (\frac{1}{2})}{17}=\frac{\sqrt{\pi}}{17}\]$ $TEX: <br />\begin{equation}\begin{aligned}<br />dS_t&=\mu S_t dt+\sqrt{V_t}S_t dW^S_t\\<br />dV_t&=\kappa(\theta-V_t)dt+\sigma\sqrt{V_t} dW^V_t\\<br />\end{aligned}\end{equation}<br />$ $TEX: <br />$$\mathbb A^{\text U}_M(N)$$<br />$

Cenizas con Most... Cenizas con Mostaza Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 26 2012, 10:57 AM Publicado: #2
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 465 Registrado: 15-July 11 Miembro Nº: 91.905 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	CITA(Abu-Khalil @ Dec 13 2011, 04:25 PM) $TEX: \noindent Considere la aplicación $\varphi:C[0,1]\to C[0,1]$ dada por <br />$$\varphi(f)(x)=\int_0^x f(t)dt,\quad x\in[0,1].$$<br />Determine si existe $n\in\mathbb N$ tal que $\varphi^m=\varphi\circ\varphi\circ\ldots\circ\varphi$, es decir, $\varphi$ compuesta con ella misma $m$ veces, sea una contracción para todo $m\ge n$.<br />$ Si. Basta usar $TEX: $n=2$$ . Primero probaré que $TEX: $\varphi^2$$ es contracción. Sean $TEX: $f_1,f_2\in C[0,1], x\in[0,1]$$ . Luego, si $TEX: $\|\|\cdot\|\|$$ es la métrica usual en $TEX: $C[0,1]$$ , entonces $TEX: $\|\varphi^2(f_1)(x)-\varphi^2(f_2)(x)\|=\|\displaystyle \int_0^x \displaystyle \int_0^y (f_1(u)-f_2(u))dudy\|$ ()$ Notar que $TEX: $\int_0^y(f_1(u)-f_2(u))du\leq \|\|f_1-f_2\|\|\int_0^y 1du=\|\|f_1-f_2\|\|y, \forall y\in[0,1]$$ . Ocupando ésto en (), se sigue que $TEX: $\|\varphi^2(f_1)(x)-\varphi^2(f_2)(x)\|\leq \|\|f_1-f_2\|\|\cdot \|\displaystyle \int_0^x ydy\|=\dfrac{1}{2}\|\|f_1-f_2\|\|x^2$$ Es decir, $TEX: $\|\|\varphi^2(f_1)-\varphi^2(f_2)\|\|\leq \frac{1}{2}\|\|f_1-f_2\|\|$$ . Por lo tanto $TEX: $\varphi^2$$ es una contracción. Como $TEX: $\varphi$$ es un endomorfismo de $TEX: $C[0,1]$$ , entonces $TEX: $\varphi^n(f)\in C[0,1], \forall n\in \mathbb{Z}^+, f\in C[0,1]$$ . Ocupando esto, probaré a continuación mediante inducción que $TEX: $\forall r\in \mathbb{Z}^+$$ y $TEX: $f_1,f_2\in C[0,1]$$ se cumple que $TEX: $\|\|\varphi^{2r}(f_1)-\varphi^{2r}(f_2)\|\|\leq \frac{1}{2^r}\|\|f_1-f_2\|\|$$ (de donde automáticamente se obtendría que $TEX: $\varphi$$ es una contracción) (). Para $TEX: $r=1$$ , eso ya fue demostrado. Ser $TEX: $r\in \mathbb{Z}^+$$ tal que $TEX: $\varphi^{2r}$$ es una contracción. Entonces para $TEX: $r+1$$ se cumple que $TEX: $\|\|\varphi^{2(r+1)}(f_1)-\varphi^{2(r+1)}(f_2)\|\|\leq \dfrac{1}{2}\|\|\varphi^{2r}(f_1)-\varphi^{2r}(f_2)\|\|\leq \dfrac{1}{2^{r+1}}\|\|f_1-f_2\|\|$$ (La última desigualdad es por la H.I). Con esto queda demostrado lo conjeturado en (), es decir, que para todo $TEX: $m$$ par, $TEX: $\varphi^m$$ es una contracción. Falta demostrar que para $TEX: $m\ge 3$$ con $TEX: $m$$ impar, $TEX: $\varphi^m$$ es una contracción. Para $TEX: $m=3$$ , se cumple que si $TEX: $f_1,f_2\in C[0,1]$$ , entonces $TEX: $\|\|\varphi^3(f_1)-\varphi^3 (f_2)\|\|\leq \dfrac{1}{2}\|\|\varphi(f_1)-\varphi(f_2)\|\|$$ Notar que si $TEX: $x\in [0,1]$$ , entonces por el TVMI, $TEX: $\exists c\in[0,1]$$ tal que $TEX: $\|\varphi(f_1)(x)-\varphi(f_2)(x)\|=\|\int_0^x (f_1(t)-f_2(t))dt\|=x\|f_1©-f_2©\|$$ . Como $TEX: $0\leq x\leq 1$$ y $TEX: $\|f_1©-f_2©\|\leq \|\|f_1-f_2\|\|$$ , se sigue que $TEX: $\|\varphi(f_1)(x)-\varphi(f_2)(x)\|\leq \|\|f_1-f_2\|\|, \forall x\in [0,1]$$ . Tomando supremo, se sigue que $TEX: $\|\|\varphi(f_1)-\varphi(f_2)\|\|\leq \|\|f_1-f_2\|\|$$ . Luego $TEX: $\|\|\varphi^3(f_1)-\varphi^3 (f_2)\|\|\leq \dfrac{1}{2}\|\|f_1-f_2\|\|$$ es decir, $TEX: $\varphi^3$$ es una contracción. Del mismo modo que se hizo con los pares, se demuestra que $TEX: $\varphi^{2r+1}$$ es contacción $TEX: $\forall r\in \mathbb{Z}^+$$ . Ocupando lo demostrado en (), se concluye que $TEX: $\forall m\ge 2, \varphi^m$$ es una contracción. Este resultado no puede ser mejorado. En efecto, $TEX: $\varphi$$ no es una contracción. Por ejemplo, sean $TEX: $f_1(x)=0, f_2(x)=1, \forall x\in[0,1]$$ . Luego $TEX: $\|\|f_1-f_2\|\|=1=\|\|\varphi(f_1)-\varphi(f_2)\|\|$$ y por ende $TEX: $\varphi$$ no es contracción. ---------------------------------------------------------- No sabía que éste propuesto estaba acá. Con esto, ya está resuelta una parte de este propuesto.. Saludos. Mensaje modificado por Cenizas con Mostaza** el Jan 26 2012, 11:32 AM -------------------- He-llo? Could you say that again? More slowly? In a language I understand? Depending on what you said, I might kick your ass!

Abu-Khalil Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 26 2012, 11:51 AM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 3.812 Registrado: 4-November 07 Desde: Santiago Miembro Nº: 12.213 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Bien. A modo de comentario, la demostración puede simplificarse notando que $TEX: $$\|\varphi(f)(x)-\varphi(g)(x)\|\le\int_0^x \|f(y)-g(y)\|dy\le\\| f-g\\| x$$$ y por ende, $TEX: $$\\|\varphi(f)-\varphi(g)\\|\le\\| f-g\\|$$$ . Luego, $TEX: $$\\|\varphi^{n+1}(f)-\varphi^{n+1}(g)\\|\le\\| \varphi^n(f)-\varphi^n(g)\\|$$$ y de aquí se deducia directamente para $TEX: $n\ge 3$$ . -------------------- ~milopez $TEX: \[\mathfrak{L}=\int_{-\infty}^\infty e^{-289x^2}dx=\frac{\Gamma (\frac{1}{2})}{17}=\frac{\sqrt{\pi}}{17}\]$ $TEX: <br />\begin{equation}\begin{aligned}<br />dS_t&=\mu S_t dt+\sqrt{V_t}S_t dW^S_t\\<br />dV_t&=\kappa(\theta-V_t)dt+\sigma\sqrt{V_t} dW^V_t\\<br />\end{aligned}\end{equation}<br />$ $TEX: <br />$$\mathbb A^{\text U}_M(N)$$<br />$

Cenizas con Most... Cenizas con Mostaza Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 26 2012, 12:00 PM Publicado: #4
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 465 Registrado: 15-July 11 Miembro Nº: 91.905 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	CITA(Abu-Khalil @ Jan 26 2012, 12:51 PM) Bien. A modo de comentario, la demostración puede simplificarse notando que $TEX: $$\|\varphi(f)(x)-\varphi(g)(x)\|\le\int_0^x \|f(y)-g(y)\|dy\le\\| f-g\\| x$$$ y por ende, $TEX: $$\\|\varphi(f)-\varphi(g)\\|\le\\| f-g\\|$$$ . Luego, $TEX: $$\\|\varphi^{n+1}(f)-\varphi^{n+1}(g)\\|\le\\| \varphi^n(f)-\varphi^n(g)\\|$$$ y de aquí se deducia directamente para $TEX: $n\ge 3$$ . Cierto! Si bien las cotas que producían no eran tan buenas como las que usé, eran lo suficientemente buenas como para demostrar este hecho, y de una forma mucho más simple como bien dices. Gracias por hacerlo notar. Saludos -------------------- He-llo? Could you say that again? More slowly? In a language I understand? Depending on what you said, I might kick your ass!

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