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S. E. Puelma Moy... S. E. Puelma Moya Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 4 2009, 10:33 PM Publicado: #11
Dios Matemático Supremo Grupo: Administrador Mensajes: 2.706 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 10 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	No he tenido el tiempo para leer mi intento de solución al problema 3. En cambio, entrego la solución al problema 5, pidiendo disculpas en caso que la imagen deforme el foro. Como siempre, me pueden avisar si estoy cometiendo algún error en las soluciones. APMO075.PNG ( 46.59k ) Número de descargas: 15 -------------------- Sebastián Elías Puelma Moya Administrador FMAT

xD13G0x Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 15 2009, 05:09 PM Publicado: #12
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 532 Registrado: 19-October 08 Desde: Santa Cruz de la Sierra Miembro Nº: 36.531 Nacionalidad: Sexo:	Otra manera de resolver el prob 1: $TEX: Escribamos los 9 numeros: $N_i=2^{a_i}3^{b_i}, i=1,2,...,9.$$ $TEX: Consideramos entonces a los numeros en modulo 3 y Supongamos que no existen 3 elemntos de S cuyo producto es un cubo, entonces no existen tres numeros $N_i,N_j,N_k,\{i,j,k\}\in \{1,...,9\}$ tales que $3\mid a_i+a_j+a_k$ y $3\mid b_i+b_j+b_k$ (1)$ $TEX: Es facil ver que si $a\not\equiv b\not\equiv c \Rightarrow a+b+c\equiv 0 (2)$$ $TEX: Veamos que no pueden haber 5 a's o 5 b's congruentes entre si (3). Supongamos lo contrario que hay 5 a's congruentes entre si, a cada $a$ le corresponde un $b$, entonces entre los b's que les corresponden a estas 5 a's, no pueden haber 3 b's con la misma congruencia , porque contradiceriamos (1), entonces es facil ver que entre esos 5 b's, deben haber 3 de distinta congruencia y gracias a (2) contradecimos (1)$ $TEX: Entonces como tenemos 9 numeros, y gracias a (3), sabemos que existen 7 a's, $a_{i1},a_{i2},...,a_{i7}$ tales que$ $TEX: $a_{i7}\not\equiv a_{i4}\not\equiv a_{i1} , a_{i1}\equiv a_{i2}\equiv a_{i3} , a_{i4}\equiv a_{i5}\equiv a_{i6} $$ $TEX: Es facil ver que no pueden darse estas 2 situaciones: $b_{i1}\not\equiv b_{i2}\not\equiv b_{i3} , b_{i1}\equiv b_{i2}\equiv b_{i3}$ gracias a (2) y (1) Entonces supongamos sin perdida de generalidad $b_{i1}\equiv b_{i2}\not\equiv b_{i3} $. Finalmente podemos concluir podemos concluir que $b_{4i}\not\equiv -b_{i1}-b_{i7}\not\equiv -b_{i3}-b_{i7}$ Lo que nos deja $b_{i4}\equiv b_{i5}\equiv b_{i6} $ que contradice (1)$ PD1: la redaccion me salio mal, pero creo q se entiende PD2: ya estoy de vacaciones podre postear mas Mensaje modificado por xD13G0x el Nov 15 2009, 05:13 PM -------------------- "I've never let my school interfere with my education.”

makmat Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 15 2009, 06:12 PM Publicado: #13
Dios Matemático Supremo Grupo: Moderador Mensajes: 590 Registrado: 14-October 07 Miembro Nº: 11.310 Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(xD13G0x @ Nov 15 2009, 07:09 PM) Otra manera de resolver el prob 1: $TEX: Escribamos los 9 numeros: $N_i=2^{a_i}3^{b_i}, i=1,2,...,9.$$ $TEX: Consideramos entonces a los numeros en modulo 3 y Supongamos que no existen 3 elemntos de S cuyo producto es un cubo, entonces no existen tres numeros $N_i,N_j,N_k,\{i,j,k\}\in \{1,...,9\}$ tales que $3\mid a_i+a_j+a_k$ y $3\mid b_i+b_j+b_k$ (1)$ $TEX: Es facil ver que si $a\not\equiv b\not\equiv c \Rightarrow a+b+c\equiv 0 (2)$$ $TEX: Veamos que no pueden haber 5 a's o 5 b's congruentes entre si (3). Supongamos lo contrario que hay 5 a's congruentes entre si, a cada $a$ le corresponde un $b$, entonces entre los b's que les corresponden a estas 5 a's, no pueden haber 3 b's con la misma congruencia , porque contradiceriamos (1), entonces es facil ver que entre esos 5 b's, deben haber 3 de distinta congruencia y gracias a (2) contradecimos (1)$ $TEX: Entonces como tenemos 9 numeros, y gracias a (3), sabemos que existen 7 a's, $a_{i1},a_{i2},...,a_{i7}$ tales que$ $TEX: $a_{i7}\not\equiv a_{i4}\not\equiv a_{i1} , a_{i1}\equiv a_{i2}\equiv a_{i3} , a_{i4}\equiv a_{i5}\equiv a_{i6} $$ $TEX: Es facil ver que no pueden darse estas 2 situaciones: $b_{i1}\not\equiv b_{i2}\not\equiv b_{i3} , b_{i1}\equiv b_{i2}\equiv b_{i3}$ gracias a (2) y (1) Entonces supongamos sin perdida de generalidad $b_{i1}\equiv b_{i2}\not\equiv b_{i3} $. Finalmente podemos concluir podemos concluir que $b_{4i}\not\equiv -b_{i1}-b_{i7}\not\equiv -b_{i3}-b_{i7}$ Lo que nos deja $b_{i4}\equiv b_{i5}\equiv b_{i6} $ que contradice (1)$ PD1: la redaccion me salio mal, pero creo q se entiende PD2: ya estoy de vacaciones podre postear mas jajaja ahi el amigo xD13G0x, con una solución muy bonita, hasta ahora al parecer no le veo ningún error, pero siempre es bueno que algun colaborador revise. -------------------- $TEX: $displaystyle oint _{gamma} F cdot dr = displaystyle int int_{R} (dfrac{partial N}{partial x} - dfrac{partial M}{partial y}) dA$$ $TEX: $frac{a+b}{2}ge sqrt{ab}$$ [!] $TEX: $displaystyle int_{Mak^2}^{Mat}Mak^{Mat^{Mak}_{Mat}}dx$$ Doctor en Matemáticas Estudiando y creando problemas $TEX: MakMat$ $TEX: $displaystyle oint_{gamma} F cdot dr= int int_{R} rot F cdot black{N} dS$$ Adiós Kazajstán...

Luffy Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 26 2011, 10:30 PM Publicado: #14
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 556 Registrado: 16-August 06 Desde: Rio de Janeiro Miembro Nº: 1.950 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(xD13G0x @ Nov 15 2009, 06:09 PM) $TEX: Es facil ver que no pueden darse estas 2 situaciones: $b_{i1}\not\equiv b_{i2}\not\equiv b_{i3} , b_{i1}\equiv b_{i2}\equiv b_{i3}$ gracias a (2) y (1) Entonces supongamos sin perdida de generalidad $b_{i1}\equiv b_{i2}\not\equiv b_{i3} $. Finalmente podemos concluir podemos concluir que $b_{4i}\not\equiv -b_{i1}-b_{i7}\not\equiv -b_{i3}-b_{i7}$ Lo que nos deja $b_{i4}\equiv b_{i5}\equiv b_{i6} $ que contradice (1)$ no veo como concluyes tan rapidamente que $TEX: $b_{i4}\equiv b_{i5}\equiv b_{i6} $$ , puedo considerar $TEX: $b_{i1}\equiv b_{i2}\equiv b_{i4}\equiv 1$$ y $TEX: $b_{i3}\equiv b_{i5}\equiv b_{i6}\equiv b_{i7}\equiv 0$$ cumpliendo las restricciones pero sin contradecir $TEX: $(1)$$ ...aparentemente... a seguir dandole

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