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APMO 2007, Ssp: 1,3

Luffy Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 29 2007, 05:05 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 556 Registrado: 16-August 06 Desde: Rio de Janeiro Miembro Nº: 1.950 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: \noindent \underline{$Problema\ 1$} Sea $\mathcal{S}$ un conjunto de 9 n\'umeros enteros distintos con la siguiente propiedad. Para cada $a\in\mathcal{S}$ si $p$ es factor primo de $a$ entonces $p\le 3$. Puruebe que $\mathcal{S}$ contiene tres enteros distintos $r_1$, $r_2$, $r_3$ tal que $r_1\cdot r_2\cdot r_3=n^3$ para alg\'un $n\in\mathbb{Z}$.$ Solucion: (Pendiente) $TEX: \noindent \underline{$Problema\ 2$} Sea $ABC$ un tri\'angulo con \'angulos agudos tal que $\angle BAC=60^o$ y $AB>BC$. Sea $I$ el incentro y $H$ el ortocentro del tri\'angulo $ABC$. Pruebe que $2\angle AHI=3\angle ABC$.$ Solucion: $TEX: <br />\[<br />\begin{gathered}<br /> {\text{Tengamos en cuenta que H debe estar al interior del }}\vartriangle ABC.{\text{ Sea D el pie de la altura bajada }} \hfill \\<br /> {\text{desde C}}{\text{. Notemos que I no puede estar al interior del }}\vartriangle ADC.{\text{ En efecto}}{\text{, de no ser as\'i }}{\text{, se }} \hfill \\<br /> {\text{tendr\'ia que }}\angle ACI < 30 \Rightarrow \angle ACB < 60.{\text{ Adem\'as}}{\text{, I no puede estar a interior del }}\vartriangle BHC.{\text{ En }} \hfill \\<br /> {\text{efecto}}{\text{, de no ser as\'i }}{\text{, se tendr\'ia que }}\angle ABI > 30 \Rightarrow \angle ABC > 60.{\text{ Luego}}{\text{, I debe estar al interior }} \hfill \\<br /> {\text{del }}\vartriangle DBH.{\text{ Sea }}\angle {\text{ACB = }}\beta {\text{. Notemos que }}\angle {\text{BHC = 120 y que }}\angle {\text{BIC = 180 - }}\left( {\frac{\beta }<br />{{\text{2}}} + 60 - \frac{\beta }<br />{{\text{2}}}} \right) = .{\text{ }} \hfill \\<br /> {\text{120. Luego}}{\text{, el cuadril\'atero BIHC es c\'iclico}}{\text{, de donde }}\angle {\text{IHB = }}\frac{\beta }<br />{{\text{2}}}.{\text{ Adem\'as}}{\text{, }}\angle AHB = 180 - \beta {\text{, de }} \hfill \\<br /> {\text{donde }}\angle AHI = 180 - \frac{{3\beta }}<br />{2}{\text{. Ahora es f\'acil concluir lo pedido}}{\text{, teniendo en cuenta que }} \hfill \\<br /> \angle ABC = 120 - \beta . \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]<br />$ $TEX: $\boxed{Resuelto\ por\ Vicho\ Correa}$$ $TEX: \noindent \underline{$Problema\ 3$} Considere $n$ discos en el plano $C_1,C_2,...,C_n$ con la propiedad de que para cada $1\le i<n$ el centro de $C_i$ est\'a en la circunferencia de $C_{i+1}$ y el centro de $C_n$ est\'a en la circunferencia de $C_1$. Define el puntaje de un arreglo de $n$ discos, como descrito, como el n\'umero de pares $(i,j)$ para los cuales $C_i$ contiene propiamente a $C_j$. Determine el m\'aximo puntaje posible de un arreglo de $n$-discos.$ Solucion: (Pendiente) $TEX: \noindent \underline{$Problema\ 4$} Sean $x$, $y$, $z$ n\'umeros reales positivos tales que $\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=1$. Pruebe que:\\<br />\begin{center}<br />$\dfrac{x^2+yz}{\sqrt{2x^2(y+z)}}+\dfrac{y^2+zx}{\sqrt{2y^2(z+x)}}+\dfrac{z^2+xy}{\sqrt{2z^2(x+y)}}\ge 1$<br />\end{center}<br />$ Solucion: $TEX: Asumamos sin perdidad de generalidad que $x\ge y\ge z>0$ . Luego debe cumplirse que:$ $TEX: $xy(x-y)+z(x^2-y^2)\ge 0 \wedge xz(x-z)+y(x^2-z^2)\ge 0$$ $TEX: $x^2(y+z)\ge y^2(z+x) \wedge x^2(y+z)\ge z^2(x+y)$$ $TEX: $\dfrac{(y-x)(y-z)}{\sqrt{y^2(z+x)}}\ge \dfrac{(y-x)(y-z)}{\sqrt{x^2(y+z)}} \wedge \dfrac{(z-x)(z-y)}{\sqrt{z^2(x+y)}}\ge \dfrac{(z-x)(z-y)}{\sqrt{x^2(y+z)}}$$ $TEX: Ahora bien, sabiendo que (se desprende de la aplicaci\'on de $MA\ge MG$):$ $TEX: $x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx$$ $TEX: $x^2+yz-x(y+z)+y^2+zx-y(z+x)+z^2+xy-z(x+y)\ge 0$$ $TEX: $(x-y)(x-z)+(y-x)(y-z)+(z-x)(z-y)\ge 0$$ $TEX: $\dfrac{(x-y)(x-z)}{\sqrt{x^2(y+z)}}+\dfrac{(y-x)(y-z)}{\sqrt{x^2(y+z)}}+\dfrac{(z-x)(z-y)}{\sqrt{x^2(y+z)}}\ge 0$$ $TEX: Entonces por transitividad se obtiene:$ $TEX: $\dfrac{(x-y)(x-z)}{\sqrt{x^2(y+z)}}+\dfrac{(y-x)(y-z)}{\sqrt{y^2(z+x)}}+\dfrac{(z-x)(z-y)}{\sqrt{z^2(x+y)}}\ge 0$$ $TEX: $\dfrac{(x-y)(x-z)}{\sqrt{2x^2(y+z)}}+\dfrac{(y-x)(y-z)}{\sqrt{2y^2(z+x)}}+\dfrac{(z-x)(z-y)}{\sqrt{2z^2(x+y)}}\ge 0$$ $TEX: $\dfrac{x^2+yz-x(y+z)}{\sqrt{2x^2(y+z)}}+\dfrac{y^2+zx-y(z+x)}{\sqrt{2y^2(z+x)}}+\dfrac{z^2+xy-z(x+y)}{\sqrt{2z^2(x+y)}}\ge 0$$ $TEX: $\dfrac{x^2+yz}{\sqrt{2x^2(y+z)}}-\sqrt{\dfrac{y+z}{2}}+\dfrac{y^2+zx}{\sqrt{2y^2(z+x)}}-\sqrt{\dfrac{z+x}{2}}+\dfrac{z^2+xy}{\sqrt{2z^2(x+y)}}-\sqrt{\dfrac{x+y}{2}}\ge 0$$ $TEX: $\dfrac{x^2+yz}{\sqrt{2x^2(y+z)}}+\dfrac{y^2+zx}{\sqrt{2y^2(z+x)}}+\dfrac{z^2+xy}{\sqrt{2z^2(x+y)}}\ge \sqrt{\dfrac{x+y}{2}}+\sqrt{\dfrac{y+z}{2}}+\sqrt{\dfrac{z+x}{2}}$$ $TEX: Pero por $MC\ge MA$:$ $TEX: $\sqrt{\dfrac{x+y}{2}}+\sqrt{\dfrac{y+z}{2}}+\sqrt{\dfrac{z+x}{2}}\ge \dfrac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{2}+\dfrac{\sqrt{y}+\sqrt{z}}{2}+\dfrac{\sqrt{z}+\sqrt{x}}{2}$$ $TEX: $\sqrt{\dfrac{x+y}{2}}+\sqrt{\dfrac{y+z}{2}}+\sqrt{\dfrac{z+x}{2}}\ge \dfrac{2(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})}{2}=1$$ $TEX: Finalmente por transitividad:$ $TEX: $\boxed{\dfrac{x^2+yz}{\sqrt{2x^2(y+z)}}+\dfrac{y^2+zx}{\sqrt{2y^2(z+x)}}+\dfrac{z^2+xy}{\sqrt{2z^2(x+y)}}\ge 1}$$ $TEX: Ocurriendo la igualdad para $\boxed{x=y=z=\dfrac{1}{9}}$$ $TEX: \boxed{Resuelto\ por\ Luffy}$ $TEX: \noindent \underline{$Problema\ 5$} Un arreglo de $5\times 5$ est\'a defectuoso, de tal forma que al cambiar el estado de la luz situada en el lugar $(i,j)$ entonces tambi\'en cambian su estado las luces adyacentes en la fila $i$ y la columna $j$. Inicialmente todas las luces est\'an apagadas y luego de un cierto n\'umero de movimientos exactamente una luz queda encendida. Encuentre todas las posibles posiciones de esta luz.$ Solucion: http://www.fmat.cl/index.php?act=attach&am...st&id=20819 $TEX: $\boxed{Resuelto\ por \ xsebastian}$$

Luffy Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 29 2007, 05:26 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 556 Registrado: 16-August 06 Desde: Rio de Janeiro Miembro Nº: 1.950 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Solución P4: $TEX: Asumamos sin perdidad de generalidad que $x\ge y\ge z>0$ . Luego debe cumplirse que:$ $TEX: $xy(x-y)+z(x^2-y^2)\ge 0 \wedge xz(x-z)+y(x^2-z^2)\ge 0$$ $TEX: $x^2(y+z)\ge y^2(z+x) \wedge x^2(y+z)\ge z^2(x+y)$$ $TEX: $\dfrac{(y-x)(y-z)}{\sqrt{y^2(z+x)}}\ge \dfrac{(y-x)(y-z)}{\sqrt{x^2(y+z)}} \wedge \dfrac{(z-x)(z-y)}{\sqrt{z^2(x+y)}}\ge \dfrac{(z-x)(z-y)}{\sqrt{x^2(y+z)}}$$ $TEX: Ahora bien, sabiendo que (se desprende de la aplicaci\'on de $MA\ge MG$):$ $TEX: $x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx$$ $TEX: $x^2+yz-x(y+z)+y^2+zx-y(z+x)+z^2+xy-z(x+y)\ge 0$$ $TEX: $(x-y)(x-z)+(y-x)(y-z)+(z-x)(z-y)\ge 0$$ $TEX: $\dfrac{(x-y)(x-z)}{\sqrt{x^2(y+z)}}+\dfrac{(y-x)(y-z)}{\sqrt{x^2(y+z)}}+\dfrac{(z-x)(z-y)}{\sqrt{x^2(y+z)}}\ge 0$$ $TEX: Entonces por transitividad se obtiene:$ $TEX: $\dfrac{(x-y)(x-z)}{\sqrt{x^2(y+z)}}+\dfrac{(y-x)(y-z)}{\sqrt{y^2(z+x)}}+\dfrac{(z-x)(z-y)}{\sqrt{z^2(x+y)}}\ge 0$$ $TEX: $\dfrac{(x-y)(x-z)}{\sqrt{2x^2(y+z)}}+\dfrac{(y-x)(y-z)}{\sqrt{2y^2(z+x)}}+\dfrac{(z-x)(z-y)}{\sqrt{2z^2(x+y)}}\ge 0$$ $TEX: $\dfrac{x^2+yz-x(y+z)}{\sqrt{2x^2(y+z)}}+\dfrac{y^2+zx-y(z+x)}{\sqrt{2y^2(z+x)}}+\dfrac{z^2+xy-z(x+y)}{\sqrt{2z^2(x+y)}}\ge 0$$ $TEX: $\dfrac{x^2+yz}{\sqrt{2x^2(y+z)}}-\sqrt{\dfrac{y+z}{2}}+\dfrac{y^2+zx}{\sqrt{2y^2(z+x)}}-\sqrt{\dfrac{z+x}{2}}+\dfrac{z^2+xy}{\sqrt{2z^2(x+y)}}-\sqrt{\dfrac{x+y}{2}}\ge 0$$ $TEX: $\dfrac{x^2+yz}{\sqrt{2x^2(y+z)}}+\dfrac{y^2+zx}{\sqrt{2y^2(z+x)}}+\dfrac{z^2+xy}{\sqrt{2z^2(x+y)}}\ge \sqrt{\dfrac{x+y}{2}}+\sqrt{\dfrac{y+z}{2}}+\sqrt{\dfrac{z+x}{2}}$$ $TEX: Pero por $MC\ge MA$:$ $TEX: $\sqrt{\dfrac{x+y}{2}}+\sqrt{\dfrac{y+z}{2}}+\sqrt{\dfrac{z+x}{2}}\ge \dfrac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{2}+\dfrac{\sqrt{y}+\sqrt{z}}{2}+\dfrac{\sqrt{z}+\sqrt{x}}{2}$$ $TEX: $\sqrt{\dfrac{x+y}{2}}+\sqrt{\dfrac{y+z}{2}}+\sqrt{\dfrac{z+x}{2}}\ge \dfrac{2(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})}{2}=1$$ $TEX: Finalmente por transitividad:$ $TEX: $\boxed{\dfrac{x^2+yz}{\sqrt{2x^2(y+z)}}+\dfrac{y^2+zx}{\sqrt{2y^2(z+x)}}+\dfrac{z^2+xy}{\sqrt{2z^2(x+y)}}\ge 1}$$ $TEX: Ocurriendo la igualdad para $\boxed{x=y=z=\dfrac{1}{9}}$$

Vicho_Correa Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 4 2007, 11:13 PM Publicado: #3
Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 40 Registrado: 19-July 06 Desde: Conce, Jazz Capitol Miembro Nº: 1.716 Nacionalidad: Sexo:	Solución P2: $TEX: <br />\[<br />\begin{gathered}<br /> {\text{Tengamos en cuenta que H debe estar al interior del }}\vartriangle ABC.{\text{ Sea D el pie de la altura bajada }} \hfill \\<br /> {\text{desde C}}{\text{. Notemos que I no puede estar al interior del }}\vartriangle ADC.{\text{ En efecto}}{\text{, de no ser as\'i }}{\text{, se }} \hfill \\<br /> {\text{tendr\'ia que }}\angle ACI < 30 \Rightarrow \angle ACB < 60.{\text{ Adem\'as}}{\text{, I no puede estar a interior del }}\vartriangle BHC.{\text{ En }} \hfill \\<br /> {\text{efecto}}{\text{, de no ser as\'i }}{\text{, se tendr\'ia que }}\angle ABI > 30 \Rightarrow \angle ABC > 60.{\text{ Luego}}{\text{, I debe estar al interior }} \hfill \\<br /> {\text{del }}\vartriangle DBH.{\text{ Sea }}\angle {\text{ACB = }}\beta {\text{. Notemos que }}\angle {\text{BHC = 120 y que }}\angle {\text{BIC = 180 - }}\left( {\frac{\beta }<br />{{\text{2}}} + 60 - \frac{\beta }<br />{{\text{2}}}} \right) = .{\text{ }} \hfill \\<br /> {\text{120. Luego}}{\text{, el cuadril\'atero BIHC es c\'iclico}}{\text{, de donde }}\angle {\text{IHB = }}\frac{\beta }<br />{{\text{2}}}.{\text{ Adem\'as}}{\text{, }}\angle AHB = 180 - \beta {\text{, de }} \hfill \\<br /> {\text{donde }}\angle AHI = 180 - \frac{{3\beta }}<br />{2}{\text{. Ahora es f\'acil concluir lo pedido}}{\text{, teniendo en cuenta que }} \hfill \\<br /> \angle ABC = 120 - \beta . \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]<br />$ ¿Y este problema?¿Cómo se coló en esta olimpiada?(sin menospreciar obviamente xD)

S. E. Puelma Moy... S. E. Puelma Moya Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 15 2007, 02:10 PM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Administrador Mensajes: 2.706 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 10 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Resultó simple la solución al siguiente problema. Si quieren más detalles, pueden preguntar. Solución al problema 3 Dados dos números: i, j en el conjunto {1,2,...,n}, diremos que el par (i,j) es bueno si el círculo C_i contiene propiamente al círculo C_j. Algunas propiedades evidentes (considerando i, j como en esta definición): (i,i) no es un par bueno Si i es distinto de j, entonces los pares (i,j) y (j,i) no son buenos, simultáneamente Por lo tanto, el puntaje de un arreglo (i.e.: el número total de pares buenos) es menor o igual que $TEX: $\dfrac{n(n-1)}2$$ . Esta cota superior puede ser alcanzada, como muestra el siguiente arreglo (daré una descripción cartesiana de los círculos): Para cada número i en el conjunto {1,2,...,n-1}: El centro de C_itiene coordenadas (2^i-1,0); el radio de C_i mide 2^i-1 En centro de C_n tiene coordenadas (0,0); el radio de C_n mide 2ⁿ Ahora, sólo queda explicar todos los detalles: que este arreglo cumple las hipótesis del problema, y que su puntaje es $TEX: $\dfrac{n(n-1)}2$$ . Para cada i en el conjunto {1,2,...,n-1}, la circunferencia de C_i pasa por el punto de coordenadas (2ⁱ,0), que es el centro del círculo C_i+1. Además, el punto de coordenadas (0,0) (i.e: el centro de C_n) está en la circunferencia de C₁. Por lo tanto, este arreglo cumple las hipótesis del problema Como todos los radios son distintos, entonces no existen dos círculos iguales. Basta con demostrar todas las inclusiones. Las inclusiones $TEX: $C_1\subseteq C_2\subseteq\ldots\subseteq C_{n-1}$$ son evidentes, porque el punto de coordenadas (0,0) es el punto de tangencia de todas sus circunferencias, porque el eje Y es tangente común a todos ellos, y porque sus centros están ubicados sobre la parte positiva del eje X, en el orden adecuado (prefiero que hagan un dibujo y lo entiendan intuitivamente, antes de llenar de fórmulas). Finalmente, $TEX: $C_{n-1}\subseteq C_n$$ , lo cual también dejo de verificación al lector -------------------- Sebastián Elías Puelma Moya Administrador FMAT

Vicho_Correa Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 25 2007, 12:26 AM Publicado: #5
Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 40 Registrado: 19-July 06 Desde: Conce, Jazz Capitol Miembro Nº: 1.716 Nacionalidad: Sexo:	CITA(xsebastian @ Jun 15 2007, 03:10 PM) Para cada i en el conjunto {1,2,...,n-1}, la circunferencia de C_i pasa por el punto de coordenadas (2ⁱ,0), que es el centro del círculo C_i+1. Pero de acuerdo al enunciado se supone que es la circunferencia $TEX: $C_{i+1}$$ la que debe pasar por el centro de $TEX: $C_{i}$$ . Mensaje modificado por Vicho_Correa el Jul 25 2007, 12:28 AM

Luffy Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 5 2007, 01:06 AM Publicado: #6
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 556 Registrado: 16-August 06 Desde: Rio de Janeiro Miembro Nº: 1.950 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Ups es cierto, xsebastian tiene que arreglar ese problema, por mientras el problema sigue en pie. Gracias

caf_tito Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 19 2007, 05:30 PM Publicado: #7
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 1.605 Registrado: 25-June 05 Miembro Nº: 123 Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Ojalá que esté bien, además mi redacción no es de las mejores. $TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> \boxed{S_1 } \hfill \\<br /> r_1 = 2^{q_1 } 3^{p_1 } \hfill \\<br /> r_2 = 2^{q_2 } 3^{p_2 } \hfill \\<br /> r_3 = 2^{q_3 } 3^{p_3 } \hfill \\<br /> \vdots \hfill \\<br /> r_9 = 2^{q_9 } 3^{p_9 } \hfill \\<br /> {\text{Se cumple lo pedido}} \Leftrightarrow \left. 3 \right\|q_x + q_y + q_z \wedge \left. 3 \right\|p_x + p_y + p_z \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{Como todo numero divido por 3}}{\text{, deja resto 0}} \vee {\text{1}} \vee 2,{\text{ los elementos de }}S \hfill \\<br /> {\text{podemos clasificarlos en estos 9 subconjuntos}} \hfill \\<br /> 2^{q_a } 3^{p_a } \in S_{0a} \Leftrightarrow \forall q_a ,p_a {\text{ se cumple que: }}q_a \equiv 0\bmod 3 \wedge p_a \equiv 0\bmod 3 \hfill \\<br /> 2^{q_b } 3^{p_b } \in S_{0b} \Leftrightarrow \forall q_b ,p_b {\text{ se cumple que: }}q_b \equiv 0\bmod 3 \wedge p_b \equiv 1\bmod 3 \hfill \\<br /> 2^{q_c } 3^{p_c } \in S_{0c} \Leftrightarrow \forall q_c ,p_c {\text{ se cumple que: }}q_c \equiv 0\bmod 3 \wedge p_c \equiv 2\bmod 3 \hfill \\<br /> 2^{q_d } 3^{p_d } \in S_{1a} \Leftrightarrow \forall q_d ,p_d {\text{ se cumple que: }}q_d \equiv 1\bmod 3 \wedge p_d \equiv 0\bmod 3 \hfill \\<br /> 2^{q_e } 3^{p_e } \in S_{1b} \Leftrightarrow \forall q_e ,p_e {\text{ se cumple que: }}q_e \equiv 1\bmod 3 \wedge p_e \equiv 1\bmod 3 \hfill \\<br /> 2^{q_f } 3^{p_f } \in S_{1c} \Leftrightarrow \forall q_f ,p_f {\text{ se cumple que: }}q_f \equiv 1\bmod 3 \wedge p_f \equiv 2\bmod 3 \hfill \\<br /> 2^{q_g } 3^{p_g } \in S_{2a} \Leftrightarrow \forall q_g ,p_g {\text{ se cumple que: }}q_g \equiv 2\bmod 3 \wedge p_g \equiv 0\bmod 3 \hfill \\<br /> 2^{q_h } 3^{p_h } \in S_{2b} \Leftrightarrow \forall q_h ,p_h {\text{ se cumple que: }}q_h \equiv 2\bmod 3 \wedge p_h \equiv 1\bmod 3 \hfill \\<br /> 2^{q_i } 3^{p_i } \in S_{2c} \Leftrightarrow \forall q_i ,p_i {\text{ se cumple que: }}q_i \equiv 2\bmod 3 \wedge p_i \equiv 2\bmod 3 \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]$ $TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> {\text{Caso 1}} \hfill \\<br /> {\text{Si al menos 3 de los elementos pertenecen al mismo subconjunto }}S_i {\text{ se cumple}} \hfill \\<br /> {\text{lo pedido}}{\text{.}} \hfill \\<br /> {\text{Dem 1:}} \hfill \\<br /> {\text{Al sumar tres numeros con el mismo resto al ser divido por 3}}{\text{, se obtiene que}} \hfill \\<br /> {\text{la suma es divisible por 3}} \hfill \\<br /> a \equiv 0\bmod 3,b \equiv 0\bmod 3,c \equiv 0\bmod 3 \Rightarrow a + b + c \equiv 0\bmod 3 \hfill \\<br /> a \equiv 1\bmod 3,b \equiv 1\bmod 3,c \equiv 1\bmod 3 \Rightarrow a + b + c \equiv 3 \equiv 0\bmod 3 \hfill \\<br /> a \equiv 2\bmod 3,b \equiv 2\bmod 3,c \equiv 2\bmod 3 \Rightarrow a + b + c \equiv 6 \equiv 0\bmod 3 \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]$ $TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> {\text{Caso 2}} \hfill \\<br /> {\text{Supongamos que a lo mas hay elementos por cada subconjunto }}\left( {{\text{para que no}}} \right. \hfill \\<br /> \left. {{\text{se cumpla el Caso 1}}} \right). \hfill \\<br /> {\text{Cada subconjunto posee a lo mas dos elementos}}{\text{, y como son 9 elementos}} \hfill \\<br /> {\text{habran por lo menos 5 subconjuntos con elementos}}{\text{. Notemos que podemos}} \hfill \\<br /> {\text{clasificar a estos subconjuntos en las siguientes categorias:}} \hfill \\<br /> \boxed{S_{0a} ,S_{0b} ,S_{0c} } \hfill \\<br /> \boxed{S_{1a} ,S_{1b} ,S_{1c} } \hfill \\<br /> \boxed{S_{2a} ,S_{2b} ,S_{2c} } \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> \boxed{S_{0a} ,S_{1a} ,S_{2a} } \hfill \\<br /> \boxed{S_{0b} ,S_{1b} ,S_{2b} } \hfill \\<br /> \boxed{S_{0c} ,S_{1c} ,S_{2c} } \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> \boxed{S_{0a} ,S_{1b} ,S_{2c} } \hfill \\<br /> \boxed{S_{0a} ,S_{1c} ,S_{2b} } \hfill \\<br /> \boxed{S_{0b} ,S_{1a} ,S_{2c} } \hfill \\<br /> \boxed{S_{0b} ,S_{1c} ,S_{2a} } \hfill \\<br /> \boxed{S_{0c} ,S_{1a} ,S_{2b} } \hfill \\<br /> \boxed{S_{0c} ,S_{1b} ,S_{2a} } \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{Es evidente que siempre habra una categoria donde todos sus subconjuntos}} \hfill \\<br /> {\text{tengan por lo menos un elemento}}{\text{.}} \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{Finalmente tendremos que demostrar; si cada subconjunto de una categoria}} \hfill \\<br /> {\text{posee al menos un elemento se cumple lo pedido}}{\text{.}} \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]$ $TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> Lema \hfill \\<br /> {\text{Las categorias de la forma }}\boxed{S_{ta} ,S_{tb} ,S_{tc} }{\text{ cumple lo pedido}} \hfill \\<br /> {\text{Dem 2:}} \hfill \\<br /> {\text{Notemos que todos los conjuntos de la forma }}S_{ta} ,S_{tb} ,S_{tc} {\text{ posee cada uno}} \hfill \\<br /> {\text{un }}q{\text{ con el mismo resto}}{\text{, entonces por la Dem }}1{\text{ se cumple lo pedido}} \hfill \\<br /> {\text{para }}q. \hfill \\<br /> {\text{Notemos tambien que }} \hfill \\<br /> S_{ta} {\text{ posee un }}p_{ta} \equiv 0\bmod 3 \hfill \\<br /> S_{tb} {\text{ posee un }}p_{tb} \equiv 1\bmod 3 \hfill \\<br /> S_{tc} {\text{ posee un }}p_{tc} \equiv 2\bmod 3 \hfill \\<br /> \Rightarrow {\text{ }}p_{ta} + p_{tb} + p_{tc} \equiv 3 \equiv 0\bmod 3 \hfill \\<br /> {\text{Demostrando asi nuestro }}Lema \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> Lema{\text{ 2}} \hfill \\<br /> {\text{Las categorias de la forma }}\boxed{S_{0p} ,S_{1p} ,S_{2p} }{\text{ cumple lo pedido}} \hfill \\<br /> Dem{\text{ 3:}} \hfill \\<br /> {\text{Basta leer la dem 2 y cambiar las }}q{\text{ por las }}p. \hfill \\<br />\end{gathered} <br />\]$ $TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> {\text{Lema 3}} \hfill \\<br /> {\text{Las categorias de la forma }}S_{0m} ,S_{1n} ,S_{2r} {\text{ cumplen lo pedido}}{\text{.}} \hfill \\<br /> {\text{Dem 4}} \hfill \\<br /> {\text{Como definimos anteriormente es claro que }}S_{0m} {\text{ posee un 2}}^{q_m } 3^{p_m } {\text{ tal que}} \hfill \\<br /> q_m \equiv 0\bmod 3.{\text{ Analogamente }}S_{1n} {\text{ y }}S_{2r} {\text{ poseen }}q's{\text{ tal que son }}q_n \equiv 1\bmod 3 \hfill \\<br /> {\text{y }}q_r \equiv 2\bmod 3. \hfill \\<br /> {\text{Luego notemos que }}S_{0m} ,S_{1n} ,S_{2r} {\text{ poseen cada uno un 2}}^q 3^p {\text{ tal que sus}} \hfill \\<br /> p{\text{ tienen residuos distintos entre si al ser dividos por tres}}{\text{.}} \hfill \\<br /> {\text{Tomando la demo 2 el razonamiento es analogo para }}q{\text{ y }}p \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{Con esto finaliza la demostracion pues siempre se cumple el Caso 1 o el Caso 2}} \hfill \\<br /> {\text{P}}{\text{.S: Notar que el }}Lema{\text{ }}3{\text{ es mas general que el }}Lema{\text{ }}2. \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]$ Editado. Mensaje modificado por caf_tito el Aug 21 2007, 10:21 PM --------------------

Luffy Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 19 2007, 07:23 PM Publicado: #8
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 556 Registrado: 16-August 06 Desde: Rio de Janeiro Miembro Nº: 1.950 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(caf_tito @ Aug 19 2007, 06:30 PM) $TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> {\text{Caso 2}} \hfill \\<br /> {\text{Supongamos que a lo mas hay 2 elementos por cada subconjunto (para que no}} \hfill \\<br /> {\text{se cumpla el Caso 1)}}{\text{.}} \hfill \\<br /> {\text{Cada subconjunto posee a lo mas dos elementos}}{\text{,y como son 9 elementos}} \hfill \\<br /> {\text{habran por lo menos 5 subconjuntos con elementos}}{\text{.Notemos que podemos}} \hfill \\<br /> {\text{clasificar a estos subconjuntos en las siguientes categorias:}} \hfill \\<br /> \boxed{S_{0a} ,S_{0b} ,S_{0c} } \hfill \\<br /> \boxed{S_{1a} ,S_{1b} ,S_{1c} } \hfill \\<br /> \boxed{S_{2a} ,S_{2b} ,S_{2c} } \hfill \\<br /> \boxed{S_{0a} ,S_{1a} ,S_{2a} } \hfill \\<br /> \boxed{S_{0b} ,S_{1b} ,S_{2b} } \hfill \\<br /> \boxed{S_{0c} ,S_{1c} ,S_{2c} } \hfill \\<br /> {\text{Es evidente que siempre habra una categoria donde todos sus}} \hfill \\<br /> {\text{subconjuntos tengan por lo menos un elemento}}{\text{.}} \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{Finalemente tendremos que demostrar que si cada subconjunto de una categoria}} \hfill \\<br /> {\text{posee al menos un elemento se cumple lo pedido}}{\text{.}} \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]$ Por qué es evidente??? Contraejemplo: $TEX: $S_{0a} ,S_{0b},S_{1a} ,S_{1c},S_{2b}$$ Creo que tu idea de agrupar es muy buena, pero creo que te faltó poner talvez unas 6 categorias más que debes analizar para dar por correcta tu solución Saludos

caf_tito Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 19 2007, 07:54 PM Publicado: #9
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 1.605 Registrado: 25-June 05 Miembro Nº: 123 Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Luffy @ Aug 19 2007, 08:23 PM) Por qué es evidente??? Contraejemplo: $TEX: $S_{0a} ,S_{0b},S_{1a} ,S_{1c},S_{2b}$$ Creo que tu idea de agrupar es muy buena, pero creo que te faltó poner talvez unas 6 categorias más que debes analizar para dar por correcta tu solución Saludos tienes razón . --------------------

Luffy Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 25 2007, 07:24 PM Publicado: #10
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 556 Registrado: 16-August 06 Desde: Rio de Janeiro Miembro Nº: 1.950 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Ahora que agregaste estas 6 nuevas categorias, es cierto que siempre hay una con los 3 subconjuntos con almenos 1 elemento; pero no es tan evidente como tu lo plateas, me gustaria que argumentaras bien eso para darla por correcta de modo que quede a la comprensión de todos. Saludos

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