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Control 1 2011/2 Alejandro Maass, Medidas, integrales y teoremas de convergencia

Krebante Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 11 2011, 09:59 AM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 618 Registrado: 8-June 08 Desde: Paris Miembro Nº: 26.525 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: \begin{center}<br /> \textbf{Control 1 Teoría de la Medida}<br /> \end{center}<br /> \begin{flushright}<br /> Santiago, 3 de diciembre de 2011<br /> <br /> Profesor: Alejandro Maass<br /> <br /> Profesores Auxiliares: Amitai Linker, Felipe Subiabre<br /> \end{flushright}<br /><br /> \begin{enumerate}<br /> \item[\textbf{P1.}] Sea $T \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ la función definida por $T(x) = \alpha x + \beta$ en $x \in \mathbb{R}$, donde $\alpha, \beta \in \mathbb{R}, \alpha \neq 0$. Sea $E \subseteq \mathbb{R}$. Sea $\lambda$ la medida de Lebesgue en $\mathbb{R}$ y $\lambda^$ la medida exterior asociada.<br /> <br /> \begin{enumerate}<br /> \item[(1.1)] Probar que $\lambda^(T(E)) = \|\alpha\|\lambda^(E)$.<br /> \item[(1.2)] Probar que $T(E)$ es Lebesgue-medible ssi $E$ es Lebesgue-medible.<br /> \item[(1.3)] Probar que para cada función $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}, T$-periódica e integrable sobre cada intervalo acotado, se tiene<br /> \begin{equation}<br /> \forall a \in \mathbb{R}, \int_{[0, T]} f d\lambda = \int_{[a, a + T]} f d\lambda.<br /> \end{equation}<br /> \textit{Pista: Muéstrelo primero para funciones simples $T$-periódicas.}<br /> \end{enumerate}<br /> \end{enumerate}$ $TEX: \begin{enumerate}<br /> \item[\textbf{P2.}] Sea $(\Omega, \mathcal{B}, \mu)$ un espacio de medida. Sea $\mathcal{B}_\mu$ su completación y $\mu^$ la medida exterior generada por $\mu$. Demostrar que para cada $A \subseteq \Omega$, $\mu^(A) = \inf\{ \mu(B) \mid B \in \mathcal{B}, A \subseteq B \}$. Si definimos la medida interior por $\mu_(A) = \sup\{ \mu(B) \mid B \in \mathcal{B}, B \subseteq A \}$, entonces si $A \in \mathcal{B}_\mu$ se tiene que $\mu^(A) = \mu_(A)$ y recíprocamente si $\mu^(A) = \mu_(A) < \infty$, entonces $A \in \mathcal{B}_\mu$.<br /> \end{enumerate}$ $TEX: \begin{enumerate}<br />\item[\textbf{P3.}] Sea $(\Omega, \mathcal{B}, \mu)$ un espacio de medida.<br /> \begin{enumerate}<br /> \item[(3.1)] Sea $f \colon \Omega \to \mathbb{R}$ una función $\mathcal{B}$-$\mathcal{B}(\mathbb{R})$ medible y $\mu$-integrable. Probar que<br /> \begin{equation}<br /> \lim_{\mu(A) \to 0} \int_A \|f\| d\mu = 0<br /> \end{equation}<br /> \item[(3.2)] Sean $f_n, g \colon \Omega \to \mathbb{R}, n \in \mathbb{N}$, funciones $\mathcal{B}$-$\mathcal{B}(\mathbb{R})$ medibles con $0 \leq f_n \leq g$. Asuma que para todo $\delta > 0, \lim_{n \to \infty} \mu(A_{n, \delta}) = 0$, donde<br /> \begin{equation}<br /> A_{n, \delta} = \{ \omega \in \Omega \mid f_n(\omega) \geq \delta \}.<br /> \end{equation}<br /> Probar que si $g$ es $\mu$-integrable, entonces<br /> \begin{equation}<br /> \lim_{n \to \infty} \int_\Omega f_n d\mu = 0.<br /> \end{equation}<br /> \textit{Indicación: Defina, para $k \geq 1$, $F_k = \{ \omega \in \Omega \mid 1/k \leq g(\omega) \leq k \}$. Pruebe que $F_k$ crece a $F = \{\omega \in \Omega\mid g(\omega) > 0 \}$. Descomponga la integral $\int_\Omega f_n d\mu$ en $A_{n, \delta}, A_{n, \delta}^c \cap F_k, A_{n, \delta}^c \cap (F \setminus F_k)$ para una buena elección de $n \in \mathbb{N}, k \geq 1$ y $\delta > 0$.}<br /> \item[(3.3)] Sean $f_n, g \colon \Omega \to \mathbb{R}, n \in \mathbb{N}$ funciones $\mathcal{B}$-$\mathcal{B}(\mathbb{R})$ medibles con $0 \leq f_n \leq g$. Asuma que $f - f_n$ existe para todo $n \in \mathbb{N}$ y que para todo $\delta > 0$<br /> \begin{equation}<br /> \lim_{n \to \infty} \mu(\{ \omega \in \Omega \mid \|f_n(\omega) - f(\omega)\| \geq \delta \}) = 0.<br /> \end{equation}<br /> Probar que si $g$ es $\mu$-integrable, entonces $f$ es $\mu$-integrable y \linebreak $\lim_{n \to \infty} \int_\Omega f_n d\mu = \int_\Omega f d\mu$.<br /><br /> \textit{Indicación: Pruebe que existe una subsucesión $(f_{n_i})_{i \in \mathbb{N}}$ tal que $f_{n_i}$ converge puntualmente a $f$ $\mu$-casi seguramente.}<br /> \end{enumerate}<br /> \end{enumerate}$ $TEX: \begin{enumerate} \item[\textbf{P4.}] Dado un espacio de medida $(X, \mathcal{B}, \mu)$, un conjunto $A \in \mathcal{B}$ se dice \emph{átomo} si $\mu(A) > 0$ y para todo $B \in \mathcal{B}, B \subseteq$ tal que $\mu(B) < \mu(A)$ se tiene que $\mu(B) = 0$. Una medida que no posee átomos se dice no atómica.<br /> \begin{enumerate}<br /> \item[(4.1)] Pruebe que si $\mu$ es no atómica y $\mathcal{B}$ posee un conjunto de medida finita, entonces $\forall \varepsilon > 0$ existe $A \in \mathcal{B}$ tal que $0 < \mu(A) < \varepsilon$.<br /> <br /> Se probará algo más fuerte: si $\mu$ es una medida no atómica tal que $\mu(X) = c \in \mathbb{R}^+$, entonces $\forall\ 0 \leq b \leq c$ existe $B \in \mathcal{B}$ tal que $\mu(B) = b$. Para ello, considere el conjunto de funciones $\Gamma = \{S \colon D \to \mathcal{B} \mid D \subseteq [0, c], S \mbox{ monótona tal que } \forall t \in D, \mu(S(t)) = t \}$.<br /> \item[(4.2)] Pruebe que $\Gamma$ no es vacío, que la relación $\leq$ en $\Gamma$ dada por<br /> \begin{equation}<br /> S_1 \leq S_2 \iff S_1 \colon D_1 \to \mathcal{B}, S_2 \colon D_2 \to \mathcal{B}, D_1 \subseteq D_2 \land \forall t \in D_1, S_1(t) = S_2(t)<br /> \end{equation}<br /> define un orden parcial en $\Gamma$ y que todo elemento maximal para $\leq$ debe tener como dominio a $[0, c]$.<br /> \item[(4.3)] Pruebe que $\Gamma$ posee un elemento maximal para $\leq$ y concluya el resultado.<br /> <br /> Se probará ahora que si $X$ es un espacio topológico Hausdorf{}f con una base numerable de vecindades $(V_n)_{n \in \mathbb{N}}$ y $\mathcal{B} = \mathcal{B}(X)$ es la tribu boreliana de $X$, entonces todo átomo de $\mu$ contiene un síngleton de medida positiva.<br /> \item[(4.4)] Considere $A \in \mathcal{B}$ un átomo de $\mu$ y defina $I = \{ i \in \mathbb{N} \mid \mu(A \cap V_i) = 0 \}$. Pruebe que $B = A \setminus \bigcup_{i \in I}V_i$ es tal que $B \in \mathcal{B}$, $\mu(B) = \mu(A) > 0$.<br /> \item[(4.5)] Muestre que $B$ es un síngleton.<br /> <br /> \textit{Pista: Proceda por contradicción ocupando que el espacio es Hausdorf{}f y concluya el resultado.}<br /> \item[(4.6)] Concluya que en un espacio de estas características, son equivalentes la no atomicidad de $\mu$ y que todos lo síngleton tengan medida nula.<br /> \end{enumerate}<br /> \end{enumerate}$ MA3802_C1.pdf ( 129.79k ) Número de descargas: 269 Mensaje modificado por Krebante el Dec 11 2011, 10:36 AM -------------------- ¡Por más representación, vota Riesz!

snw Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 11 2011, 10:02 AM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 2.139 Registrado: 11-June 08 Desde: UK Miembro Nº: 26.837 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	-------------------- blep

Krebante Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 11 2011, 11:51 AM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 618 Registrado: 8-June 08 Desde: Paris Miembro Nº: 26.525 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: \begin{flushleft}\textbf{P4.}\end{flushleft}\begin{enumerate}<br /> \item[(4.1)] Sea $\varepsilon > 0$ y sea $C$ el conjunto de medida finita en $\mathcal{B}$. Como la medida es no atómica, existe $A_1 \subset C$ tal que $0 < \mu(A_1) < \mu©$. Consideremos<br /> \begin{equation}<br /> \mathcal{C} = \{ B \subset C \mid 0 < \mu(B) < \mu© \}<br /> \end{equation}<br /> que es no vacío por lo anterior. Notemos que $D_1 = C \setminus A_1 \in \mathcal{C}$. Por el mismo argumento anterior, debe existir $A_{n+1} \subset A_n$ tal que $0 < \mu(A_{n+1}) < \mu(A_n)$ y se tendrá que $D_{n+1} = A_n \setminus A_{n + 1} \in \mathcal{C}$.<br /> <br /> Así, construimos una sucesión disjunta $(D_n)$ tal que $\bigcup_n D_n = C$ y por la $\sigma$-aditividad de $\mu$ se debe tener que algún $D_n$ tiene medida menor que $\varepsilon$.<br /> \item[(4.2)] Es evidente que $\leq$ es un orden parcial y que $S \colon \{c\} \to \mathcal{B}$ con $S© = X$ pertenece a $\Gamma$. Supongamos que existe $S^* \colon D \to \mathcal{B}$ maximal de $\Gamma$ con $D \varsubsetneq [0, c]$ y sea $x \in [0, c] \setminus D$.<br /> <br /> Sea $s = \sup\{t \in D \mid t < x\}$ y consideremos dos casos:<br /> \begin{itemize}<br /> \item Si $s = x$, sea $s_n \nearrow s$ con $s_n \in D$. Se tendrá entonces que $\mu\left(\bigcup_n S^(s_n)\right) = s$, por lo que definimos $\bar{S}$ de modo que $\bar{S}\|_D = S^$ y $\bar{S}(s) = \bigcup_n S^(s_n) \in \mathcal{B}$. Se tendrá que $\bar{S} \in \Gamma$, lo que contradice la maximalidad de $S^$.<br /> \item Si $s < x$, sea $s' = \inf\{ t \in D \mid x < t \}$ y se tendrá que $s' - s > 0$. Sean $s_n \nearrow s$ y $s_n' \searrow s'$ con $s_n, s_n' \in D$ y sea $C = \bigcap_n (S^(s_n') \setminus S^(s_n))$. Por continuidad de la medida, $\mu© = s - s' > 0$ y como $\mu$ es no atómica existirá $A \subset C$ con $0 < \mu(A) < \mu©$. Tomemos $D = A \cup \bigcup_n S^(s_n)$, que cumple $s < \mu(D) < s'$ con $D \in \mathcal{B}$. Definimos $\bar{S}$ de modo que $\bar{S}\|_D = S^$ y $\bar{S}(\mu(D)) = D$ que pertenece a $\Gamma$, lo que contradice la maximalidad de $S^$.<br /> \end{itemize}<br /> \item[(4.3)] Sea $(S_i)_{i \in I} \subset \Gamma$ una cadena, con $S_i \colon D_i \to \mathcal{B}$. Sea $D = \bigcup_{i \in I} D_i \subset [0, c]$ y $S^ \colon D \to \mathcal{B}$ tal que $S^(t) = S_i(t)$ para algún $i$ tal que $t \in D_i$. Es evidente que $S_i \leq S^$ para todo $i \in I$ y que $S^* \in \Gamma$, por lo que toda cadena tiene mayorante en $\Gamma$ y del Lema de Zorn existe un maximal $\bar{S}$ de $\Gamma$. Por la parte anterior, el dominio de $\bar{S}$ es $[0, c]$ y se concluye el resultado.<br /> <br />\end{enumerate}<br />$ $TEX: \begin{enumerate}<br />\item[(4.4)] Tenemos que $B = A \setminus \bigcup_{i \in I}( A \cap V_i)$, por lo que \begin{equation}\mu(B) = \mu(A) - \mu\left(\bigcup_{i \in I} (A \cap V_i)\right) = \mu(A).\end{equation}<br /> \item[(4.5)] Como $B$ no es vacío, si $B$ no es un síngleton existen $x, y \in B$ distintos. Como el espacio es Hausdorf{}f, existen $V_i, V_j$ disjuntos tales que $x \in V_i, y \in V_j$. Como $V_i \cap B \neq \emptyset, V_j \cap B \neq \emptyset$, se tiene que $\mu(V_i \cap A) > 0$ y $\mu(V_j \cap A) > 0$ lo que contradice que $A$ es un átomo.<br /> \item[(4.6)] Ya vimos que si $\mu$ no es no atómica, entonces existe un síngleton de medida positiva. Si $\mu$ es no atómica, entonces los síngletons deben tener medida nula (si no, serían átomos).<br /> \end{enumerate}<br />$ -------------------- ¡Por más representación, vota Riesz!

Julio_fmat Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 5 2014, 05:46 PM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 4.874 Registrado: 19-January 07 Desde: Mathematics!! Miembro Nº: 3.830 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CSM verdad que tengo ese ramo el otro año, y ahora la estoy viendo brígida la cuestión, espero que más adelante sea pan comido nomás... Auxiliares: Felipe Subiabre, ese loco es seco xD -------------------- "... Lo veo, pero no puedo creerlo ... se trata de mostrar que las superficies, los volúmenes e incluso las variedades continuas de n dimensiones pueden ponerse en correspondencia unívoca con curvas continuas, o sea, con variedades de una sola dimensión, y que por consiguiente, las superficies, los volúmenes y las variedades de n dimensiones tienen también la misma potencia que las curvas ..." G. Cantor. Las Matemáticas son el lenguaje de la naturaleza, todo lo que nos rodea se puede representar y entender mediante números. Si se hace un gráfico con los números de un sistema, se forman modelos; éstos modelos están por todas partes en la naturaleza. Max Cohen. $TEX: $$\Phi=\displaystyle \int \limits_{-\infty}^x \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}t^2}dt=\lim_{n\to +\infty}P\left(\dfrac{\displaystyle \sum_{i=1}^n x_i-n\mu}{n\sigma}\le x\right).$$$ Licenciado en Matemática (2021). Universidad de Concepción, Chile.

C.F.Gauss Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 5 2014, 07:52 PM Publicado: #5
Dios Matemático Supremo Grupo: Super Moderador Mensajes: 1.912 Registrado: 10-January 08 Desde: Un Sobolev Miembro Nº: 14.530 Nacionalidad: Sexo:	CITA(Julio_fmat @ Sep 5 2014, 06:46 PM) Auxiliares: Felipe Subiabre, ese loco es seco xD fs_tol de fmat, desparecido del foro hace rato. -------------------- Dos crudas realidades CITA(Pasten @ Jun 5 2014, 09:21 AM) ¿Dónde están las nuevas generaciones? wasapeando y actualizando su perfil de face. CITA(Zefidu @ Sep 3 2013, 09:55 PM) (...)FMAT es una gran comunidad con grandes usuarios... A excepción de algunos que se les sube el humo a la cabeza...

Krebante Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 6 2014, 07:45 PM Publicado: #6
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 618 Registrado: 8-June 08 Desde: Paris Miembro Nº: 26.525 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(C.F.Gauss @ Sep 5 2014, 06:52 PM) fs_tol de fmat, desparecido del foro hace rato. Ahora está en París. -------------------- ¡Por más representación, vota Riesz!

Chaska.- Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 21 2015, 10:11 PM Publicado: #7
Principiante Matemático Destacado Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 29 Registrado: 8-August 08 Desde: Calama Miembro Nº: 31.775 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	x Mensaje modificado por Chaska.- el Jul 21 2015, 10:33 PM --------------------

Chaska.- Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 24 2015, 06:25 PM Publicado: #8
Principiante Matemático Destacado Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 29 Registrado: 8-August 08 Desde: Calama Miembro Nº: 31.775 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	$TEX: Hola para la 3.1) tengo una duda<br />$s$ funci\'on simple positiva, $s = \Sigma_{1}^{k} a_i1_{A_i}$ entonces:<br />$$\int_A s du = \Sigma_{1}^{k} a_iu(A_i\cap A) \leq \Sigma_{1}^{k} a_iu( A)$$<br />Entonces el resultado es vailido para funciones simples, ahora $f$ medible e integrable:<br />$$\int_A \vert f \vert du = sup \lbrace \int_A s du : 0\leq s \leq \vert f \vert : s \ simple \ en \ A \rbrace $$ <br />Usando la definici\'on de supremo dado n natural existe $s_n$ tal que : <br />$$\int_A \vert f \vert du \leq \int_A s_n du + \frac{1}{n}$$ <br />Esta es mi duda si se puede pasar al limite cuando $u(A)$ se va a 0 y luego en n, creo que no.$ --------------------

sergio 77 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 11 2017, 10:57 PM Publicado: #9
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 408 Registrado: 18-January 11 Desde: soy del colegio san viator de macul no de ovalle. Miembro Nº: 83.168 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: <br />.<br />$ Mensaje modificado por sergio 77 el Sep 22 2017, 07:59 AM -------------------- Tercer lugar Olimpiadas del Conocimiento Usach 2011 - Matemáticas

technoguyx Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 14 2021, 11:46 PM Publicado: #10
Principiante Matemático Destacado Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 19 Registrado: 25-January 17 Miembro Nº: 149.812 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	¿Cuánto tiempo suelen dar para estas cosas?

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