[Maratón] Geometría. - Foro fmat.cl

Foro fmat.cl > Sector Preparación Olimpiadas > Sector PreOlímpico > Geometría > Problemas Propuestos

8 Páginas:

« < 6 7 8

[Maratón] Geometría., Introducción al mundo de las olimpíadas.

Opciones

Kaissa Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 6 2013, 10:46 AM Publicado: #71
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 9.897 Registrado: 6-April 08 Miembro Nº: 19.238 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Adelantándome al juicio de Arquimediano y para que la maratón no pare dado que no estaré hasta la noche; dejo propuesto el siguiente: $TEX: $ $\\<br />Dado un tri\'angulo $\Delta ABC$, elija un n\'umero $t>0$ y trace si es posible las cevianas $\overline{AD}$, $\overline{BE}$ y $\overline{CF}$ (no necesariamente concurrentes) suponiendo que miden todas $t$.\\<br />Determine el lugar geom\'etrico de todos los centroides de los tri\'angulos $\Delta DEF$ cuando $t$ var\'ia.$ Mensaje modificado por Kaissa el Mar 6 2013, 10:48 AM -------------------- Este es un extracto de Qué es fmat by Kenshin. La pregunta para ti estimado(a) lector(a) es... ¿Qué haces tu para que ésto se cumpla?

Arquimediano Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 6 2013, 12:24 PM Publicado: #72
Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 47 Registrado: 13-February 13 Miembro Nº: 115.416 Nacionalidad: Sexo:	CITA(Kaissa @ Mar 6 2013, 09:54 AM) La primera solución que daré es una aplicación directa del famoso cuadrilátero cóncavo (muy útil cuando los ángulos de la figura tienen puras "x"). Esta solución, explicada bastante más amablemente que como lo haré yo, la puede encontrar en . $TEX: $ $\\<br />Como $BD=BC$, producimos un punto $P$ en la regi\'on interior de $\Delta DBC$ de modo que $\Delta ABD\cong\Delta DCP$, entonces en el cuadril\'atero $DPCB$ se tiene $BD=BC=CP$ y $\measuredangle BCP=2\measuredangle BDP$.\\<br />Con esto tenemos que $\measuredangle 120-2x$, luego en $\Delta ABC$ se tiene $2x+3x+x+120-2x=180$ de donde $x=15^{\circ}$$ La segunda solución : $TEX: $ $\\<br />Sea $M$ el punto medio de $\overline{AB}$ y $N$ el punto medio de $DC$.\\<br />Es claro que $MA=MN=MB$ y adem\'as marcando angulitos, sacamos que $ND=NM=NC$.\\<br />Como $\measuredangle MNA=2x=2\measuredangle MBD$, sacamos que $B$ debe estar en el circunc\'irculo de $\Delta MDC$, por tanto $N$ es centro de dicho c\'irculo as\'i que $\measuredangle DBC=90^{\circ}$, finalmente $3x=45$ de donde $x=15^{\circ}$.<br />$ Las soluciones de Kaissa son correctas, pero me hubiera gustado en la segunda solución una clarificación de cómo concluye a partir de $TEX: $\measuredangle MNA=2\measuredangle MBD$$ que los puntos $TEX: $C,D,M,B$$ deben ser concíclicos. En todo caso, esta conclusión se puede realizar notando que $TEX: $\measuredangle MNA=2x\Rightarrow \measuredangle MCN=x$$ (pues $TEX: $\triangle MNC$$ es isósceles), de donde $TEX: $CDMB$$ es un cuadrilátero cíclico por tenerse $TEX: $\measuredangle MBD=\measuredangle MCD=x$$ . La solución de master_c está bien "en espíritu algebraico", pero no explica la aplicación de fórmulas de doble y triple ángulo para llegar a su ecuación para $TEX: $x$.$ Además omite varios otros detalles, lo que impide validar su solución como correcta. Saludos

「Krizalid」 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 6 2013, 09:13 PM Publicado: #73
Staff FMAT Grupo: Super Moderador Mensajes: 8.124 Registrado: 21-May 06 Miembro Nº: 1.156 Nacionalidad: Sexo:	QUOTE(Arquimediano @ Mar 5 2013, 04:01 PM) Ok, ahora sí está completa la solución de master_c. Vamos con otro de GoGeometry: $TEX: \textbf{Problema.} Sea $\triangle$ABC un triángulo con $\measuredangle\text{BAC} = 2x,\measuredangle\text{BCA} = 3x$ y con un punto D en $\overline{\text{AC}}$ tal que $\overline{\text{AB}}=\overline{\text{CD}}$ y $\measuredangle ABD = x$. Hallar el valor de $x$.<br />$ Copio y pego directo de gogeometry.

Kaissa Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 6 2013, 09:31 PM Publicado: #74
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 9.897 Registrado: 6-April 08 Miembro Nº: 19.238 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	¿viste? de hecho esa solución es la misma que está acá: Es desesperante. -------------------- Este es un extracto de Qué es fmat by Kenshin. La pregunta para ti estimado(a) lector(a) es... ¿Qué haces tu para que ésto se cumpla?

Kaissa Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 10 2013, 08:51 AM Publicado: #75
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 9.897 Registrado: 6-April 08 Miembro Nº: 19.238 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	CITA(Kaissa @ Mar 6 2013, 10:46 AM) $TEX: $ $\\<br />Dado un tri\'angulo $\Delta ABC$, elija un n\'umero $t>0$ y trace si es posible las cevianas $\overline{AD}$, $\overline{BE}$ y $\overline{CF}$ (no necesariamente concurrentes) suponiendo que miden todas $t$.\\<br />Determine el lugar geom\'etrico de todos los centroides de los tri\'angulos $\Delta DEF$ cuando $t$ var\'ia.$ Ya, si igual admito que se me pasó la mano con este porque la solución clásica puede ser muy truculenta. En vez de eso y dado que ha pasado su ratito, voy a escribir la idea inicial en coordenadas baricéntricas para que alguien más lo mate: $TEX: $ $\\<br />Sean como siempre $a$, $b$ y $c$ los lados de $\Delta ABC$ opuestos respectivamente a $A$, $B$ y $C$.\\<br />Entonces $D=(0,a-t,t)$, $E=(t,0,b-t)$ y $F=(c-t,t,0)$ as\'i que las coordenadas del centroide de $\Delta DEF$ son $\dfrac{D}{a}+\dfrac{E}{b}+\dfrac{F}{c}=\cdots$$ Ahora queda reducir, eliminar "t" y concluir cuál es el lugar geométrico buscado. Mensaje modificado por Kaissa el Mar 10 2013, 08:52 AM -------------------- Este es un extracto de Qué es fmat by Kenshin. La pregunta para ti estimado(a) lector(a) es... ¿Qué haces tu para que ésto se cumpla?

cev Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 11 2013, 07:32 AM Publicado: #76
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.116 Registrado: 12-March 11 Miembro Nº: 84.732 Nacionalidad: Sexo:	Dudas sobre el enunciado. Ahi donde dices "trace si es posible...." esto supongo que lo dices porque si el triangulo ABC y/o el valor de t no son convenientes esto llevaria a producir una o tal vez 2 cevianas ( y no lograriamos asi el triangulo DEF) , pero tambien veo que podemos tener un maximo de 2 cevianas saliendo de cada vertice con lo que tendriamos un total de 6 pies de cevianas. Entonces ¿cual es DEF? -------------------- >>>LG

Kaissa Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 11 2013, 09:10 AM Publicado: #77
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 9.897 Registrado: 6-April 08 Miembro Nº: 19.238 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	CITA(cev @ Mar 11 2013, 07:32 AM) pero tambien veo que podemos tener un maximo de 2 cevianas saliendo de cada vertice con lo que tendriamos un total de 6 pies de cevianas. Entonces ¿cual es DEF? Cualquiera de las dos, y aún sí el lugar geométrico no se ve afectado, los centroides siguen siendo parte de él. -------------------- Este es un extracto de Qué es fmat by Kenshin. La pregunta para ti estimado(a) lector(a) es... ¿Qué haces tu para que ésto se cumpla?

« Posterior · Problemas Propuestos · Anterior »

8 Páginas:

« < 6 7 8

1 usuario(s) está(n) leyendo esta discusión (1 invitado(s) y 0 usuario(s) anónimo(s))

0 miembro(s):

Modo de Ver: Estándar · Cambiar a: Lineal+ · Cambiar a: Outline

Suscribirse · Enviar por correo · Imprimir · Suscribirse a este foro

Versión Lo-Fi

Fecha y Hora actual: 23rd November 2024 - 04:39 PM