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[Maratón] Geometría., Introducción al mundo de las olimpíadas.

Arquimediano Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 5 2013, 01:17 PM Publicado: #61
Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 47 Registrado: 13-February 13 Miembro Nº: 115.416 Nacionalidad: Sexo:	Solución correcta No obstante, por completitud me gustaría que master_c editara su post para incluir una demostración de que $TEX: $\tan 15=2-\sqrt{3},$$ pues puede ser un hecho no conocido por todo el mundo. Si alguien quiere postear una solución no trigonométrica al problema bienvenido sea. Mientras tanto, esperamos el propuesto de master_c. Ah! Se me olvidaba: el problema anterior es de GoGeometry.com. Obligación revisar esta página para cualquiera empezando geometría! Mensaje modificado por Arquimediano el Mar 5 2013, 01:29 PM

master_c	Mar 5 2013, 01:31 PM Publicado: #62
Invitado	CITA(Arquimediano @ Mar 5 2013, 01:17 PM) Solución correcta No obstante, por completitud me gustaría que master_c editara su post para incluir una demostración de que $TEX: $\tan 15=2-\sqrt{3},$$ pues puede ser un hecho no conocido por todo el mundo. Si alguien quiere postear una solución no trigonométrica al problema bienvenido sea. Mientras tanto, esperamos el propuesto de master_c. viene de, $TEX: $$<br />\tan 15 = \tan \frac{{30}}<br />{2} = \frac{{\sin \frac{{30}}<br />{2}}}<br />{{\cos \frac{{30}}<br />{2}}} = \sqrt {\frac{{1 - \cos 30}}<br />{{1 + \cos 30}}} = \sqrt {\frac{{1 - \frac{1}<br />{2}\sqrt 3 }}<br />{{1 + \frac{1}<br />{2}\sqrt 3 }}} = \sqrt {\frac{{2 - \sqrt 3 }}<br />{{2 + \sqrt 3 }}} = \sqrt {\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^2 } = \left\| {2 - \sqrt 3 } \right\| = \left( {2 - \sqrt 3 } \right)<br />$$$ dejo libre para que alguien proponga. saludos

Arquimediano Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 5 2013, 02:01 PM Publicado: #63
Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 47 Registrado: 13-February 13 Miembro Nº: 115.416 Nacionalidad: Sexo:	Ok, ahora sí está completa la solución de master_c. Vamos con otro de GoGeometry: $TEX: \textbf{Problema.} Sea $\triangle$ABC un triángulo con $\measuredangle\text{BAC} = 2x,\measuredangle\text{BCA} = 3x$ y con un punto D en $\overline{\text{AC}}$ tal que $\overline{\text{AB}}=\overline{\text{CD}}$ y $\measuredangle ABD = x$. Hallar el valor de $x$.<br />$ (... nuevamente, se le piden 2 soluciones a los más experimentados ) Mensaje modificado por Arquimediano el Mar 5 2013, 02:23 PM

Kaissa Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 5 2013, 02:41 PM Publicado: #64
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 9.897 Registrado: 6-April 08 Miembro Nº: 19.238 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	CITA(Arquimediano @ Mar 5 2013, 11:41 AM) El usuario que ya haya posteado en la maratón, debe dar 2 soluciones distintas para dar el problema por resuelto. (¡Se esperan hermosas soluciones!) Saludos Voy a dar una solución que ni siquiera la tiene gogeometry: $TEX: $ $\\<br />Reflejamos la figura con eje $\overline{AB}$ para obtener $C'$, el reflejo de $C$ de modo que $\Delta ACC'$ es equil\'atero.\\<br />Si trazamos ahora $\overline{C'D}$ vemos que es altura y que en $\Delta ADC'$ las l\'ineas $\overline{AB}$ y $\overline{C'B}$ son bisectrices del respectivo \'angulo, por tanto $\overline{DB}$ debe tambi\'en bisectar a $\angle ABC'$ que mide $90^{\circ}$ as\'i que $x=45^{\circ}$$ Cualquiera que conozca youtube podrá resolver tus propuestos entonces. La idea es ampliar el horizonte. Mensaje modificado por Kaissa el Mar 6 2013, 09:17 AM -------------------- Este es un extracto de Qué es fmat by Kenshin. La pregunta para ti estimado(a) lector(a) es... ¿Qué haces tu para que ésto se cumpla?

Arquimediano Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 5 2013, 03:38 PM Publicado: #65
Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 47 Registrado: 13-February 13 Miembro Nº: 115.416 Nacionalidad: Sexo:	CITA(Kaissa @ Mar 5 2013, 02:41 PM) Voy a dar una solución que ni siquiera la tiene gogeometry: $TEX: $ $\\<br />Reflejamos la figura con eje $\overline{AB}$ para obtener $C'$, el reflejo de $C$ de modo que $\Delta ABC'$ es equil\'atero.\\<br />Si trazamos ahora $\overline{C'D}$ vemos que es altura y que en $\Delta ADC'$ las l\'ineas $\overline{AB}$ y $\overline{C'B}$ son bisectrices del respectivo \'angulo, por tanto $\overline{DB}$ debe tambi\'en bisectar a $\angle ABC'$ que mide $90^{\circ}$ as\'i que $x=45^{\circ}$$ Buena solución, pequeño error de tipeo cuando dices " $TEX: $\Delta ABC'$ es equil\'atero$ " pero igual se entiende. Mensaje modificado por Heiricar el Mar 6 2013, 12:40 AM

master_c	Mar 5 2013, 03:42 PM Publicado: #66
Invitado	CITA(Kaissa @ Mar 5 2013, 02:41 PM) Voy a dar una solución que ni siquiera la tiene gogeometry: $TEX: $ $\\<br />Reflejamos la figura con eje $\overline{AB}$ para obtener $C'$, el reflejo de $C$ de modo que $\Delta ABC'$ es equil\'atero.\\<br />Si trazamos ahora $\overline{C'D}$ vemos que es altura y que en $\Delta ADC'$ las l\'ineas $\overline{AB}$ y $\overline{C'B}$ son bisectrices del respectivo \'angulo, por tanto $\overline{DB}$ debe tambi\'en bisectar a $\angle ABC'$ que mide $90^{\circ}$ as\'i que $x=45^{\circ}$$ Cualquiera que conozca youtube podrá resolver tus propuestos entonces. La idea es ampliar el horizonte. una duda como x = 45 ? puesto que si el angulo DBC = y se tiene 45 + 452 + 453 + y = 180 suma de angulos interiores lo que implica que y < 0 yo creo que debio ser 3x=45 de ahi x = 15 saludos Mensaje modificado por master_c el Mar 5 2013, 03:43 PM

Kaissa Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 5 2013, 03:52 PM Publicado: #67
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 9.897 Registrado: 6-April 08 Miembro Nº: 19.238 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	CITA(master_c @ Mar 5 2013, 03:42 PM) una duda como x = 45 ? puesto que si el angulo DBC = y se tiene 45 + 452 + 453 + y = 180 suma de angulos interiores lo que implica que y < 0 yo creo que debio ser 3x=45 de ahi x = 15 saludos Es claro que BC=BC' y que <BCC'=45, luego <AC'B=60-45=15 y como <AC'D=30, tenemos que C'B es bisectriz, luego DB es también bisectriz y por eso <ADC=90/2=45. Insisto, esta es la solución al penúltimo problema, resuelto en un ppio trigonométricamente by master_c -------------------- Este es un extracto de Qué es fmat by Kenshin. La pregunta para ti estimado(a) lector(a) es... ¿Qué haces tu para que ésto se cumpla?

master_c	Mar 5 2013, 06:00 PM Publicado: #68
Invitado	CITA(Arquimediano @ Mar 5 2013, 02:01 PM) Ok, ahora sí está completa la solución de master_c. Vamos con otro de GoGeometry: $TEX: \textbf{Problema.} Sea $\triangle$ABC un triángulo con $\measuredangle\text{BAC} = 2x,\measuredangle\text{BCA} = 3x$ y con un punto D en $\overline{\text{AC}}$ tal que $\overline{\text{AB}}=\overline{\text{CD}}$ y $\measuredangle ABD = x$. Hallar el valor de $x$.<br />$ (... nuevamente, se le piden 2 soluciones a los más experimentados ) kaisa, el error fue mío pensé que habías resuelto el otro propuesto (: arquimediano te encuentro toda la razón, el problema de fmat es que hay muchos "semidioses" que sólo critican si un problema es fome, básico, para ellos todo es trivial, desvituando temas, creando farándula, y poco es lo que resuelven, y lo más gracioso es que ellos mismos después dicen: ooh el foro está muriendo y es culpa de los troles. en fin me da igual, ojala no se siga desvirtuando esto como siempre, en lo personal sólo quiero resolver. el angulo x se encuentra dentro de la ecuacion, cumpliendo $TEX: $$<br />\frac{{4\tan x}}<br />{{1 + \tan ^2 x}} = \frac{{3\tan x - \tan ^3 x}}<br />{{1 - 3\tan ^2 x}}<br />$$$ $TEX: $$<br />\tan x\left( {\frac{4}<br />{{1 + \tan ^2 x}} - \frac{{3 - \tan ^2 x}}<br />{{1 - 3\tan ^2 x}}} \right) = 0<br />$$$ $TEX: $$<br />\tan ^4 x - 14\tan ^2 x + 1 = 0<br />$$$ $TEX: $$<br />\tan x = \pm \sqrt {\frac{{14 \pm \sqrt {14^2 - 4} }}<br />{2}} = \pm \sqrt {7 \pm \sqrt {7^2 - 1} } = \pm \sqrt {7 \pm \sqrt {8 \cdot 6} } = \pm \sqrt {7 \pm 4\sqrt 3 } = \pm \left( {2 \pm \sqrt 3 } \right)<br />$$$ donde se descartan todas las soluciones que no esten en 0 < x < 60, entonces el angulo x = 15 no pesquen esta cuestion en la maraton solo lo pongo por poner y todos los por que de los pasos se dejan al lector suerte en su maraton

Heiricar Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 6 2013, 12:58 AM Publicado: #69
Dios Matemático Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 423 Registrado: 4-January 11 Miembro Nº: 82.624 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Tema saneado Recuerden que para mantener funcionando correctamente la maratón deben evitar las discusiones y los comentarios sin relación con los problemas tratados. En caso de que quieran dar una opinión a otro usuario tienen la opción de mandar un mensaje privado. Ahora, a la espera de una solución al problema de Arquimediano

Kaissa Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 6 2013, 09:54 AM Publicado: #70
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 9.897 Registrado: 6-April 08 Miembro Nº: 19.238 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	CITA(Arquimediano @ Mar 5 2013, 02:01 PM) Ok, ahora sí está completa la solución de master_c. Vamos con otro de GoGeometry: $TEX: \textbf{Problema.} Sea $\triangle$ABC un triángulo con $\measuredangle\text{BAC} = 2x,\measuredangle\text{BCA} = 3x$ y con un punto D en $\overline{\text{AC}}$ tal que $\overline{\text{AB}}=\overline{\text{CD}}$ y $\measuredangle ABD = x$. Hallar el valor de $x$.<br />$ (... nuevamente, se le piden 2 soluciones a los más experimentados ) La primera solución que daré es una aplicación directa del famoso cuadrilátero cóncavo (muy útil cuando los ángulos de la figura tienen puras "x"). Esta solución, explicada bastante más amablemente que como lo haré yo, la puede encontrar en . $TEX: $ $\\<br />Como $BD=BC$, producimos un punto $P$ en la regi\'on interior de $\Delta DBC$ de modo que $\Delta ABD\cong\Delta DCP$, entonces en el cuadril\'atero $DPCB$ se tiene $BD=BC=CP$ y $\measuredangle BCP=2\measuredangle BDP$.\\<br />Con esto tenemos que $\measuredangle 120-2x$, luego en $\Delta ABC$ se tiene $2x+3x+x+120-2x=180$ de donde $x=15^{\circ}$$ La segunda solución : $TEX: $ $\\<br />Sea $M$ el punto medio de $\overline{AB}$ y $N$ el punto medio de $DC$.\\<br />Es claro que $MA=MN=MB$ y adem\'as marcando angulitos, sacamos que $ND=NM=NC$.\\<br />Como $\measuredangle MNA=2x=2\measuredangle MBD$, sacamos que $B$ debe estar en el circunc\'irculo de $\Delta MDC$, por tanto $N$ es centro de dicho c\'irculo as\'i que $\measuredangle DBC=90^{\circ}$, finalmente $3x=45$ de donde $x=15^{\circ}$.<br />$ Mensaje modificado por Kaissa el Mar 6 2013, 09:54 AM -------------------- Este es un extracto de Qué es fmat by Kenshin. La pregunta para ti estimado(a) lector(a) es... ¿Qué haces tu para que ésto se cumpla?

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