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[Maratón] Geometría., Introducción al mundo de las olimpíadas.

Kaissa Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 13 2012, 12:08 PM Publicado: #51
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 9.897 Registrado: 6-April 08 Miembro Nº: 19.238 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	$TEX: $ $\\<br />Soluci\'on:\\<br />$ $\\<br />Se proyectan $\overline{LQ}$ y $\overline{OB}$ hasta que se cortan digamos en $U$; entonces le dejo al p\'ublico probar que $U$, $T$ y $P$ son colineales y que tambi\'en $Q$, $T$ y $B$ son colineales al igual que los puntos $L$, $M$ y $T$.\\<br />No le parece conocida la configuraci\'on del tri\'angulo $\Delta UBL$? sip, es el teorema de Blanchet! tenemos la altura $\overline{LM}$ y dos cevianas que concurren en un punto de dicha altura, por tanto los \'angulos del enunciado son iguales.$ Mensaje modificado por Kaissa el Sep 13 2012, 12:12 PM -------------------- Este es un extracto de Qué es fmat by Kenshin. La pregunta para ti estimado(a) lector(a) es... ¿Qué haces tu para que ésto se cumpla?

Kaissa Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 13 2012, 12:32 PM Publicado: #52
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 9.897 Registrado: 6-April 08 Miembro Nº: 19.238 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Lo cambio por algo más preolímpico: $TEX: $ $\\<br />El tri\'angulo $\Delta ABC$ es is\'osceles en $A$, y sobre su base se toma un punto $D$ tal que $BD:DC=2:1$. Sea $P\in\overline{AD}$ tal que $\measuredangle BAC=\measuredangle BPD$.\\<br />Pruebe que $\measuredangle DPC=\dfrac{\measuredangle BAC}{2}$.$ -------------------- Este es un extracto de Qué es fmat by Kenshin. La pregunta para ti estimado(a) lector(a) es... ¿Qué haces tu para que ésto se cumpla?

Kaissa Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 12 2012, 06:32 PM Publicado: #53
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 9.897 Registrado: 6-April 08 Miembro Nº: 19.238 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	CITA(Kreator @ Aug 16 2012, 09:58 PM) $TEX: Sea $AD$ la bisectriz de un triángulo $\triangle ABC$, con $D$ en $BC$, tal que $AB+AD=CD$ y $AC+AD=BC$. Determine la medida de los ángulos del $\triangle ABC$$ Este problema se me hacía conocido! vez que lo leía me sonaba y me sonaba... ahora sé de dónde. -------------------- Este es un extracto de Qué es fmat by Kenshin. La pregunta para ti estimado(a) lector(a) es... ¿Qué haces tu para que ésto se cumpla?

Heiricar Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 4 2013, 07:28 PM Publicado: #54
Dios Matemático Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 423 Registrado: 4-January 11 Miembro Nº: 82.624 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	hoy día intente por enesima vez el problema y al fin me salio Untitled_1.png ( 34.82k ) Número de descargas: 0 Primero notemos que $TEX: $\measuredangle BAC =\measuredangle BPD$$ si y solo si $TEX: $\measuredangle ABP = \measuredangle PAC$$ Ahora si llamamos $TEX: $F$$ al punto en que la circunferencia circunscrita al triangulo $TEX: $APD$$ intersecta nuevamente a $TEX: $AB$$ y $TEX: $E$$ al punto en que la circunferencia circunscrita al triangulo $TEX: $PDC$$ intersecta nuevamente a $TEX: $AC$$ tenemos que el cuadrilatero $TEX: $AFPE$$ es cíclico (esto por que los ángulos $TEX: $\measuredangle PFA$$ y $TEX: $\measuredangle PEA$$ suman $TEX: $180°$$ ya que $TEX: $\measuredangle PDB = \measuredangle PFA$$ y $TEX: $\measuredangle PDC = \measuredangle PEA$$ ) Ahora como $TEX: $\measuredangle DPC = \measuredangle DEC$$ no es dificil darse cuenta que $TEX: $\measuredangle DPC=\frac{\measuredangle BAC}{2}$$ si y solo si $TEX: $ED$$ es paralelo a la bisectriz del angulo $TEX: $BAC$$ o en otras palabras el angulo $TEX: $EDC$$ es recto, y para probar esto ultimo una buena idea es probar que si $TEX: $O$$ es el punto medio de $TEX: $EC$$ entonces $TEX: $EO=OD=OC$$ Para probar esto notemos que como $TEX: $\measuredangle PAE = \measuredangle PBF = \measuredangle PDF$$ entonces $TEX: $FD\parallel AC$$ , ademas como $TEX: $\measuredangle ABC = \measuredangle ECD = \measuredangle APE=\measuredangle AFE$$ se tiene $TEX: $BC \parallel FE$$ luego por tales $TEX: $$\frac{BD}{DC}=\frac{BF}{FA}=\frac{EC}{AE}=\frac{2}{1}$$$ de donde $TEX: $$EO=OC=\frac{AC}{3}$$$ , ademas como $TEX: $\triangle OCD \sim \triangle ACB$$ por LAL en la razón $TEX: $1:3$$ se tiene que $TEX: $$\frac{AB}{3}=\frac{AC}{3}=DO$$$ . Finalmente $TEX: $EO=OD=CO$$ y se prueba lo pedido $TEX: $\blacksquare $$

Kaissa Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 4 2013, 09:29 PM Publicado: #55
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 9.897 Registrado: 6-April 08 Miembro Nº: 19.238 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Propones y felicitaciones! -------------------- Este es un extracto de Qué es fmat by Kenshin. La pregunta para ti estimado(a) lector(a) es... ¿Qué haces tu para que ésto se cumpla?

Heiricar Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 4 2013, 11:23 PM Publicado: #56
Dios Matemático Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 423 Registrado: 4-January 11 Miembro Nº: 82.624 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Aqui va Problema: Sea $TEX: $\triangle ABC$$ un triángulo de circumcírculo $TEX: $\omega$$ . la cuerda $TEX: $AD$$ de $TEX: $\omega$$ es bisectriz de $TEX: $\angle BAC$$ y corta a la cuerda $TEX: $BC$$ en un punto $TEX: $L$$ tal que $TEX: $CL=2BL$$ . La cuerda $TEX: $DK$$ de $TEX: $\omega$$ es perpendicular a $TEX: $AC$$ y lo corta en $TEX: $M$$ . Calcule $TEX: $\frac{AM}{MC}$$ .

Arquimediano Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 5 2013, 02:11 AM Publicado: #57
Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 47 Registrado: 13-February 13 Miembro Nº: 115.416 Nacionalidad: Sexo:	Nada mejor que ponerse a resolver un bonito problemita a las 3 de la mañana Y ya que estamos de humor, vamos a intentar generalizarlo: Llamemos $TEX: $\alpha$$ a la proporción entre los segmentos $TEX: $BL$$ y $TEX: $LC$$ (de modo que $TEX: $\alpha=1/2$$ en nuestro problema original). Sabiendo esta proporción, podemos encontrar la proporción entre los lados $TEX: $AB$$ y $TEX: $AC$$ mediante el teorema de la bisectriz: $TEX: $\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{BL}{LC}=\alpha.$$ Ahora, sea $TEX: $E$$ un punto en $TEX: $AC$$ tal que $TEX: $AE=AB$$ . Por criterio LAL tendremos que $TEX: $\triangle ABD$$ y $TEX: $\triangle AED$$ son triángulos congruentes, por lo que $TEX: $BD=ED.$$ Pero además, mediante ángulos inscritos podemos ver que $TEX: $\triangle BCD$$ será isósceles de vértice $TEX: $D$$ , por lo que $TEX: $BD=CD$$ . Así, $TEX: $\triangle ECD$$ será isósceles de vértice $TEX: $D$$ . El segmento $TEX: $DM$$ será por tanto altura y transversal de gravedad del triángulo $TEX: $\triangle ECD$$ , de donde $TEX: $MC=\dfrac{1}{2}EC.$$ Pero $TEX: \begin{equation}<br />\begin{aligned}<br />EC&=AC-AE\hfill\\<br />&=AC-AB\hfill\\<br />&=AC-\alpha AC\hfill\\<br />&=AC(1-\alpha),<br />\end{aligned}<br />\end{equation}$ y concluímos que $TEX: $MC=\dfrac{1}{2}AC(1-\alpha)\implies \dfrac{AC}{MC}=\dfrac{2}{1-\alpha}.$$ Finalmente, $TEX: $\dfrac{AM}{MC}=\dfrac{AC-MC}{MC}=\dfrac{2}{1-\alpha}-1=\dfrac{1+\alpha}{1-\alpha}.$$ En particular, para $TEX: $\alpha=1/2$$ se tendrá que $TEX: $\frac{AM}{MC}=3$$ . $TEX: $\blacksquare$$ Nota: Fijarse que para $TEX: $\alpha=1\,(BL=LC)$$ aparece una "división por cero" en nuestra proporción. Esto es porque en este caso la longitud de MC es cero y el punto $TEX: $C$$ coincide con los puntos $TEX: $M$$ y $TEX: $K$$ .

Heiricar Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 5 2013, 09:01 AM Publicado: #58
Dios Matemático Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 423 Registrado: 4-January 11 Miembro Nº: 82.624 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Quedo hermosa la solución, mejor que la mía jaja Ahora te toca proponer

Arquimediano Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 5 2013, 11:41 AM Publicado: #59
Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 47 Registrado: 13-February 13 Miembro Nº: 115.416 Nacionalidad: Sexo:	$TEX: \textbf{Problema.} En el $\triangle$ABC, D es punto medio del $\overline{\text{AC}}$, $\measuredangle\text{BAC}=30^o$ y $\measuredangle \text{BCA}=15^o$. Hallar el valor de $x=\measuredangle\text{BDA}$.$ Como este problema es relativamente sencillo, cambiaré un poco sus condiciones de solución para incentivar la participación de nuevas personas en la maratón: Para el usuario que aún no haya posteado, sólo debe dar una solución correcta para validar el problema como resuelto. El usuario que ya haya posteado en la maratón, debe dar 2 soluciones distintas para dar el problema por resuelto. (¡Se esperan hermosas soluciones!) Saludos

master_c	Mar 5 2013, 12:47 PM Publicado: #60
Invitado	Aqui una solucion ordinaria usando trigonometria, Trazando la altura desde B y definiendo $TEX: $$x = x_1 + x_2 $$$ ahora por trigonometria; $TEX: $$\tan 30 = \frac{h}{{x_1 }}$$$ , $TEX: $$\tan x = \frac{h}{{x_2 }}$$$ , $TEX: $$\tan 15 = \frac{h}{{x + x_2 }}$$$ de la ultima ecuacion $TEX: $$h = \left( {x + x_2 } \right)\tan 15 = \left( {x_1 + 2x_2 } \right)\tan 15$$$ y tambien mezclando (1) y (2) $TEX: $$\frac{{x_1 }}{{x_2 }} = \frac{{\tan x}}{{\tan 30}}$$$ entonces $TEX: $$x_2 \tan x = \left( {x_1 + 2x_2 } \right)\tan 15$$$ $TEX: $$x_1 \tan 15 + \left( {2\tan 15 - \tan x} \right)x_2 = 0$$$ dividiendo $TEX: $$x_2 $$$ y reemplazando $TEX: $$<br />\frac{{x_1 }}<br />{{x_2 }}\tan 15 + 2\tan 15 - \tan x = \tan x\frac{{\tan 15}}<br />{{\tan 30}} + 2\tan 15 - \tan x = 0<br />$$$ $TEX: $$<br />\left( {\frac{{\tan 15}}<br />{{\tan 30}} - 1} \right)\tan x + 2\tan 15 = 0 \Rightarrow \tan x = \frac{{2\tan 15\tan 30}}<br />{{\tan 30 - \tan 15}} = \frac{{2\left( {2 - \sqrt 3 } \right)\frac{1}<br />{{\sqrt 3 }}}}<br />{{\frac{1}<br />{{\sqrt 3 }} - \left( {2 - \sqrt 3 } \right)}} = 1<br />$$$ entonces el angulo buscado es 45, saludos Archivo(s) Adjunto(s) 11111111111.png ( 7.42k ) Número de descargas: 1

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