[Maratón] Geometría. - Foro fmat.cl

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[Maratón] Geometría., Introducción al mundo de las olimpíadas.

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cev Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 16 2011, 05:58 AM Publicado: #31
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.116 Registrado: 12-March 11 Miembro Nº: 84.732 Nacionalidad: Sexo:	CITA(xsebastian @ Dec 15 2011, 11:52 PM) Como no tenía mucho tiempo y me llamó la atención que ese problema detuviera la maratón, lo dibujé en GeoGebra y me quedó la impresión que el punto C es demasiado variable. Así que el ángulo pedido también. Espero no haberme confundido con las letras, pero eso fue lo que pude observar. No, no te has confundido, es lo que le trate de decir a Kaissa a travez de un MP hace algunos dias atras. Me disculpo, que otro proponga. PD. Respecto del problema del pentagono si damos como condicion que el vertice C es un punto que tambien le pertenece a la recta que pasa por el segmento AY, el angulo pedido, <BCD, queda definido. Mensaje modificado por cev el Dec 16 2011, 06:11 AM -------------------- >>>LG

Kaissa Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 16 2011, 09:04 AM Publicado: #32
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 9.897 Registrado: 6-April 08 Miembro Nº: 19.238 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	propongo en seguida -------------------- Este es un extracto de Qué es fmat by Kenshin. La pregunta para ti estimado(a) lector(a) es... ¿Qué haces tu para que ésto se cumpla?

Kaissa Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 16 2011, 10:11 AM Publicado: #33
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 9.897 Registrado: 6-April 08 Miembro Nº: 19.238 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	$TEX: $ $\\<br />Uno facilito para agilizar. (no se repitan el plato, es decir quien respondi\'o el problema $n$ no responda el $n+1$)\\<br />$ $\\<br />$ $\\<br />Sea $ABCD$ un cuadrado (en ese orden, como siempre) y por el v\'ertice $D$ tr\'acese la recta $L$ que corta a $\overline{BC}$ en $P$. Si $I_{1}$ es el centro de la circunferencia maximal de $DABP$ e $I_{2}$ es el incentro de $\Delta DCP$, y adem\'as $X$ es la intersecci\'on con $\overline{AD}$ de la prolongaci\'on de $\overline{BI_{1}}$, calcule $\measuredangle I_{2}XB$.<br />$ arreglado un pequeño error, lea de nuevo Mensaje modificado por Kaissa el Dec 16 2011, 10:25 AM -------------------- Este es un extracto de Qué es fmat by Kenshin. La pregunta para ti estimado(a) lector(a) es... ¿Qué haces tu para que ésto se cumpla?

Kreator Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 13 2012, 10:42 PM Publicado: #34
Dios Matemático Grupo: Super Moderador Mensajes: 261 Registrado: 12-February 11 Miembro Nº: 83.790 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	En vista de que nadie mató el propuesto de Kaissa, y que ya está bueno de que el sector olímpico esté tan apagado, el señor don gik me dio la autorización para reabrir la maratón. Uno no tan difícil para ir calentando: $TEX: Sea $\triangle ABC$ un triangulo rectángulo en $B$. Se tiene un punto $D$ sobre $AC$ tal que $\angle ABD=3\alpha$.<br />Se sabe también que el $\angle ACB=2\alpha$, y que $AB+AD=BC$. Encuentre el valor de $\alpha$$ saludos! --------------------

Tenemos Explosiv... Tenemos Explosivos Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 13 2012, 11:18 PM Publicado: #35
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 387 Registrado: 28-July 12 Miembro Nº: 109.422 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	CITA(Kreator @ Aug 13 2012, 11:42 PM) En vista de que nadie mató el propuesto de Kaissa, y que ya está bueno de que el sector olímpico esté tan apagado, el señor don gik me dio la autorización para reabrir la maratón. Uno no tan difícil para ir calentando: $TEX: Sea $\triangle ABC$ un triangulo rectángulo en $B$. Se tiene un punto $D$ sobre $AC$ tal que $\angle ABD=3\alpha$.<br />Se sabe también que el $\angle ACB=2\alpha$, y que $AB+AD=BC$. Encuentre el valor de $\alpha$$ saludos! ¿Algún hint?, me siento muy novato aún. Estoy intentando resolver al trazar algunas rectas y formar alguna figura para sacar triángulos semejantes pero no llego a nada =/. Mensaje modificado por Tenemos Explosivos el Aug 13 2012, 11:18 PM

Kreator Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 14 2012, 06:53 AM Publicado: #36
Dios Matemático Grupo: Super Moderador Mensajes: 261 Registrado: 12-February 11 Miembro Nº: 83.790 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Aún no han pasado las 24 horas!, pero ánimo, sigue pensando! --------------------

MatíasMoreno Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 14 2012, 11:30 AM Publicado: #37
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 217 Registrado: 5-April 11 Desde: no se :c Miembro Nº: 86.300 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	CITA(Kreator @ Aug 13 2012, 07:42 PM) En vista de que nadie mató el propuesto de Kaissa, y que ya está bueno de que el sector olímpico esté tan apagado, el señor don gik me dio la autorización para reabrir la maratón. Uno no tan difícil para ir calentando: $TEX: Sea $\triangle ABC$ un triangulo rectángulo en $B$. Se tiene un punto $D$ sobre $AC$ tal que $\angle ABD=3\alpha$.<br />Se sabe también que el $\angle ACB=2\alpha$, y que $AB+AD=BC$. Encuentre el valor de $\alpha$$ saludos! Hice la del p** y no hice la figura en geogebra xD en fin, desde mi cama para el mundo :$ Prolonguemos CA hasta un punto P tal que PB=BC. Ahora notemos que el ángulo <BCP = <BPC = 2α, y por otro lado tenemos que <DBC = <ABC - <ABD = 90-3α, y <BDP, por ser exterior del ΔBDC, es igual a <DBC + <BCP = 90-α. Ahora en el ΔBPD es fácil notar que el <PBD = 90-α, lo que implica que el ΔBPD es isósceles, y como PB=AB+AD entonces PA=AB por lo que el ΔPAB es isósceles, luego <BPA = <PBA = 2α, luego como el <BAC es exterior del ΔPAB, entonces <BAC = 4α, luego tenemos en el ΔABC que 90 = 4α + 2α => α=15 Saludos (: -------------------- Cuando eliminamos lo imposible lo que queda, por improbable que parezca...siempre será la verdad... Nada tiene sentido, pero todo tiene significado.**

Kreator Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 14 2012, 01:25 PM Publicado: #38
Dios Matemático Grupo: Super Moderador Mensajes: 261 Registrado: 12-February 11 Miembro Nº: 83.790 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Excelente solución, la misma que le dí yo. Proponga! Fuente: Desafío propuesto en el Taller de Razonamiento Matemático (debe venir de algún otro lado, pero de ahí de donde yo lo saqué) --------------------

MatíasMoreno Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 14 2012, 01:41 PM Publicado: #39
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 217 Registrado: 5-April 11 Desde: no se :c Miembro Nº: 86.300 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	En un ΔABC, sea "l" la bisectriz del ángulo BAC. BP es perpendicular a "l", CQ es perpendicular a "l" y M es el punto medio de BC. Pruebe que MP=MQ. Saludos! -------------------- Cuando eliminamos lo imposible lo que queda, por improbable que parezca...siempre será la verdad... Nada tiene sentido, pero todo tiene significado.

Kreator Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 14 2012, 02:14 PM Publicado: #40
Dios Matemático Grupo: Super Moderador Mensajes: 261 Registrado: 12-February 11 Miembro Nº: 83.790 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Solución: Sea $S$ la intersección de $BP$ con $AC$, y $R$ la intersección de la prolongación de $CQ$ y $AB$. Notamos, que como $AP$ y $AQ$ son alturas, y como son también bisectrices, los triángulos $\triangle ARC$ y $\triangle ABS$ son isósceles. Ahora fijémonos en que RBSC es un trapecio isósceles, ya que el $\triangle ARC$, y $BS$ es paralela a $RC$. Luego, $BR=SC$. Como $M$ y $Q$ son puntos medios, tenemos que si $MQ=a$, entonces $BR=2a$. Luego $SC=2a$. Como $P$ y $M$ son ptos medios, $PM$ es base media, luego $PM=a$, probando lo pedido[/tex] Ya subo figurita Mensaje modificado por Kreator el Aug 14 2012, 02:27 PM --------------------

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