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[Maratón] Geometría., Introducción al mundo de las olimpíadas.

El Geek Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 8 2011, 04:19 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 2.818 Registrado: 3-October 09 Miembro Nº: 59.773 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	El objetivo de esta maratón es que entre todos los usuarios que quieran participar lo hagan (sin verse afectados de sus experticia en el tema) y así lo pasemos bien, además de que también todos aquellos usuarios con ganas de introducirse en el mundo de la Geometría en Olimpiadas puedan hacerlo, por lo tanto, los ejercicios a postear deben tener un grado de dificultad que varíe entre no tan fácil y difícil, así motivamos a los distintos usuarios a participar de esta maratón. Las reglas son las siguientes: Quien resuelve de forma correcta, propone. Si en un plazo de 24 hrs el problema no ha sido resuelto, quien propuso debe dar un hint. Si usted no va a aportar una solución, no comente. Estamos en un foro del tipo olímpico y por ende, las soluciones deben apegarse lo más posible a esa característica. Una vez resuelto el problema, se debe dar la fuente de él. Recuerden ser moderados con el problema a proponer. Como primer problema: En un triángulo $TEX: $ABC$$ cualquiera $TEX: $E$$ y $TEX: $D$$ son puntos interiores de $TEX: $\overline{AC}$$ y $TEX: $\overline{BC}$$ respectivamente. Luego, se tiene un punto $TEX: $F$$ de forma que $TEX: $\overline{AF}$$ bisecta a $TEX: $\angle{CAD}$$ , y $TEX: $\overline{BF}$$ bisecta $TEX: $\angle{CBE}$$ . Demuestre que $TEX: $\angle{AEB} + \angle{ADB} = 2\angle{AFB}$$ Recuerden que para este y los futuros problemas, las soluciones deben ser en lo posible, claras. Saludos. Mensaje modificado por El Geek el Dec 8 2011, 04:40 PM -------------------- Me voy, me jui.

Seba² Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 8 2011, 05:07 PM Publicado: #2
Dios Matemático Grupo: Moderador Mensajes: 269 Registrado: 30-August 10 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 76.269 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Acá va mi solución: $TEX: <br />Llamemos al $\displaystyle \measuredangle AFB=\alpha $ , $\displaystyle \measuredangle AEB=x$ , al $\displaystyle \measuredangle ADB=y$ , al $\displaystyle \measuredangle EAM=v$ , al $\displaystyle \measuredangle<br />DBF=u$ , y también $\displaystyle \overrightarrow{AD}\cap \overrightarrow{BE}=Q$ ,$\displaystyle \overrightarrow{AF}\cap \overrightarrow{BE}=M$ , $\displaystyle \overrightarrow{BF}\cap \overrightarrow{AD}=N$ , se tiene que $\displaystyle x+2v=\measuredangle AQB$ y también que $\displaystyle y+2u=\measuredangle AQB$ , osea que $\displaystyle x+2v=y+2u$ , ahora analizemos el cuadrilatero $\displaystyle QMFN$ , entonces es directo que tenemos 2 ecuaciones siguientes: <br /><br />$\displaystyle (1):(180-x-v)+(180-y-u)+x+2v+\alpha =360\Rightarrow v-y-u+\alpha =0$ <br />$\displaystyle (2):(180-x-v)+(180-y-u)+y+2u+\alpha =360\Rightarrow u-x-v+\alpha =0$ <br /><br />Luego las sumamos y obtenemos $\displaystyle -x-y+2\alpha =0\Rightarrow x+y=2\alpha $, y con eso estamos listos.$ Saludos !!!... Mensaje modificado por Seba² el Dec 8 2011, 05:40 PM -------------------- Estudiante Instituto Nacional General José Miguel Carrera IV Medio(2013) 17 años. Estaba Jesús predicando en el monte Sinaí y dijo a sus discípulos: y = ax² + bx + c ¿Y eso qué es? Dijo uno de los discípulos. A lo que Jesús respondió: ¡Una parábola !

El Geek Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 8 2011, 05:44 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 2.818 Registrado: 3-October 09 Miembro Nº: 59.773 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Solución correcta, proponga. La fuente es conocidísima: challenging problems in geometry. Saludos. PD: publicidad -------------------- Me voy, me jui.

Seba² Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 8 2011, 05:55 PM Publicado: #4
Dios Matemático Grupo: Moderador Mensajes: 269 Registrado: 30-August 10 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 76.269 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Se tiene un punto $TEX: $\displaystyle P$$ en el interior de un rectangulo $TEX: $\displaystyle ABCD$$ de tal manera que $TEX: $\displaystyle \measuredangle APD+\measuredangle BPC=180^{\circ}$$ . Encuentre la suma de los angulos $TEX: $\displaystyle \measuredangle DAP$$ y $TEX: $\displaystyle \measuredangle BCP$$ . -------------------- Estudiante Instituto Nacional General José Miguel Carrera IV Medio(2013) 17 años. Estaba Jesús predicando en el monte Sinaí y dijo a sus discípulos: y = ax² + bx + c ¿Y eso qué es? Dijo uno de los discípulos. A lo que Jesús respondió: ¡Una parábola !

El Geek Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 8 2011, 07:48 PM Publicado: #5
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 2.818 Registrado: 3-October 09 Miembro Nº: 59.773 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Sea $TEX: $E$$ tal que [ $TEX: \[\overrightarrow {PE} \]$ paralelo a $TEX: $\overline{AB}$$ y el triángulo DPA es congruente al triángulo CEB, por esto, como $TEX: $\angle{DPA} = \angle{CEB}$$ y $TEX: $\angle{APD} + \angle{BPC}$$ , entonces el cuadrilátero PDEC es cíclico, luego $TEX: $\angle{PAD}=\angle{EBC}=\angle{EPC}$$ . Luego, por el paralelismo de PE respecto de las bases, entonces PE es perpendicular a BC, luego $TEX: $\angle{EPC} + \angle{PCB} = 90°$$ , pero $TEX: $\angle{EPC} = \angle{PAD}$$ , entonces $TEX: $\angle{PAD}+\angle{PCB} = 90°$$ . Saludos. Mensaje modificado por El Geek el Dec 8 2011, 08:07 PM -------------------- Me voy, me jui.

Seba² Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 8 2011, 08:12 PM Publicado: #6
Dios Matemático Grupo: Moderador Mensajes: 269 Registrado: 30-August 10 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 76.269 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Solución Correcta, ahora proponga uno Geek . La Fuente: Isacus Newtonus me pasó este problema, no me sé bien la fuente xD. Saludos !!!... -------------------- Estudiante Instituto Nacional General José Miguel Carrera IV Medio(2013) 17 años. Estaba Jesús predicando en el monte Sinaí y dijo a sus discípulos: y = ax² + bx + c ¿Y eso qué es? Dijo uno de los discípulos. A lo que Jesús respondió: ¡Una parábola !

Kaissa Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 8 2011, 09:03 PM Publicado: #7
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 9.897 Registrado: 6-April 08 Miembro Nº: 19.238 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Se me ha pedido que proponga yo, puesto que este es un problema bonito, simpatico, no dificil pero que el geek no ha resuelto y en vista de que no se quiere postear alguna burrada dificil aun, aqui vamos: $TEX: $ $\\<br />Sea $ACBD$ un trapecio de base mayor $\overline{AB}$ al que se traza $\overline{AC}$ y $\overline{DM}$ donde $M$ es punto medio de $\overline{AB}$. Ambas lineas se cortan en $X$ y se traza por $X$ el segmento $\overline{PQ}$ paralelo a las bases, cuyos extremos viven en los lados no paralelos de $ABCD$. Pruebe que $\overline{BD}$ dimidia a $\overline{XQ}$ donde $Q\in\overline{BC}$.$ Arreglada la pifia de planteo xD Mensaje modificado por Kaissa el Dec 8 2011, 09:10 PM -------------------- Este es un extracto de Qué es fmat by Kenshin. La pregunta para ti estimado(a) lector(a) es... ¿Qué haces tu para que ésto se cumpla?

sushi_8 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 8 2011, 10:12 PM Publicado: #8
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 274 Registrado: 20-May 10 Miembro Nº: 71.064 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: $ \\ $Sea$ \ Y= \overline{DB} \ \cap \ \overline{XQ} \ $Luego$ \ \Delta DXY \sim \Delta DMB \ $.Por lo tanto$ \ \dfrac{XY}{MB}=\dfrac{DX}{DM} \ \ $.Por otra parte$ \ \Delta CAB \sim \Delta CXQ \ \ $.De esto desprende que$ \ \dfrac{XQ}{AB}=\dfrac{CQ}{CB} \ \ $.Luego por Thales sabemos que$ \ \dfrac{CQ}{CB}=\dfrac{DX}{DM} \ \ $.Por ende$ \ \ \dfrac{XQ}{AB}=\dfrac{XY}{MB} \ \ $.Tal que M es punto medio de AB$ \ \ \dfrac{XQ}{2\cdot MB} =\dfrac{XY}{MB} \ \Longrightarrow \ \ XY=\dfrac{XQ}{2} \ $.Demostrando lo pedido$ \blacksquare $$ Saludos! -------------------- 100% REAL NO FAKE 1 LINK MEGAUPLOAD KEYGEN + CRACK FULL HD 1080P SUBS ESPAÑOL [PORTABLE]

cev Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 9 2011, 08:00 AM Publicado: #9
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.116 Registrado: 12-March 11 Miembro Nº: 84.732 Nacionalidad: Sexo:	Permitanme mi aporte. Saludos. Mejor explicacion de algunas cosas: XT=TY pues en el triangulo ASB, SM es mediana y XY//AB PX=XY pues en el triangulo ADB, DM es mediana y PY//AB Mensaje modificado por cev el Dec 10 2011, 07:30 AM Archivo(s) Adjunto(s) trapezzz.PNG ( 14.18k ) Número de descargas: 3 -------------------- >>>LG

El Geek Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 9 2011, 09:16 PM Publicado: #10
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 2.818 Registrado: 3-October 09 Miembro Nº: 59.773 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Bueno, dado que ya casi han pasado 24 hrs y Kaissa aún no ha aparecido para validar la solución de Sushi_8, la valido yo para que el show continúe. Proponga señor Enzo. -------------------- Me voy, me jui.

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