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Interpolación por polinomios

Abu-Khalil Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 1 2011, 11:22 AM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 3.812 Registrado: 4-November 07 Desde: Santiago Miembro Nº: 12.213 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: \noindent Sea $f:\mathbb R\to\mathbb R$. Dada una colección creciente de puntos $x_0,\ldots,x_n$ se define el polinomio interpolante de Lagrange como <br />$$p(x)=\sum_{i=0}^n y_i\prod_{\substack{j=0\\j\ne i}}^n\frac{x-x_j}{(x_i-x_j)},$$<br />donde $y_i=f(x_i),\forall i$. Muestre que $p$ es el único polinomio de grado $n$ que interpola la nube de puntos $(x_i,y_i)_{i=1}^n$, es decir, que $$p(x_i)=y_i,\quad\forall i.$$<br /><br />$ -------------------- ~milopez $TEX: \[\mathfrak{L}=\int_{-\infty}^\infty e^{-289x^2}dx=\frac{\Gamma (\frac{1}{2})}{17}=\frac{\sqrt{\pi}}{17}\]$ $TEX: <br />\begin{equation}\begin{aligned}<br />dS_t&=\mu S_t dt+\sqrt{V_t}S_t dW^S_t\\<br />dV_t&=\kappa(\theta-V_t)dt+\sigma\sqrt{V_t} dW^V_t\\<br />\end{aligned}\end{equation}<br />$ $TEX: <br />$$\mathbb A^{\text U}_M(N)$$<br />$

Laðeralus Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 9 2011, 07:36 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 947 Registrado: 28-September 07 Desde: Santiago Miembro Nº: 10.639 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Supongo $TEX: <br /><br />Se definen los Polinomios Fundamentales de Lagrange a<br />\[ L_{i}(x) = \prod_{j=0, j\neq i}^{n} \frac{x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}, \forall i=0,\ldots,n \]<br />Entonces, el Polinomio Interpolador de Lagrange se puede expresar como<br />\[ P(x) = \sum_{i=0}^{n}y_{i}L_{i}(x) = y_{0}L_{0}(x) + y_{1}L_{1}(x) + \dots + y_{n}L_{n}(x) \]<br />Es fácil notar que los Polinomios Fundamentales de Lagrange evaluados en cada una de las absisas tienen la forma<br />\[ L_{i}(x_{k}) = \delta_{ik} = \left\{<br />\begin{array}{c c}<br /> 1 & ; i=k\\<br /> 0 & ; i\neq k<br />\end{array}<br />\right. , \forall j,k=0,\ldots,n \]<br />Luego, $\forall k$ se tiene que el Polinomio Interpolador de Lagrange evaluado en las $n+1$ absisas $x_{k}$ adquieren la siguiente estructura:<br />\[ P(x_{k}) = y_{0}\underbrace{L_{0}(x_{k})}_{=0} + y_{1}\underbrace{L_{1}(x_{k})}_{=0} + y_{2}\underbrace{L_{2}(x_{k})}_{=0} + \dots + y_{k}\underbrace{L_{k}(x_{k})}_{=1} + \dots + y_{n}\underbrace{L_{n}(x)}_{=0} \]<br />es decir,<br />\[ P(x_{k}) = y_{k} \]<br />lo que prueba directamente la existencia del Polinomio Interpolador de Lagrange. La unicidad se garantiza utilizando el hecho de que un polinomio de grado $n$ puede tener a lo más $n$ ceros. Si dos polinomios de grado $\leq n$ interpolan $n+1$ coordenadas, su diferencia se anula en dichos puntos, por lo que sólo puede ser el polinomio idénticamente nulo.<br /><br /><br /><br /><br /><br />$

Abu-Khalil Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 9 2011, 08:04 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 3.812 Registrado: 4-November 07 Desde: Santiago Miembro Nº: 12.213 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Bien. -------------------- ~milopez $TEX: \[\mathfrak{L}=\int_{-\infty}^\infty e^{-289x^2}dx=\frac{\Gamma (\frac{1}{2})}{17}=\frac{\sqrt{\pi}}{17}\]$ $TEX: <br />\begin{equation}\begin{aligned}<br />dS_t&=\mu S_t dt+\sqrt{V_t}S_t dW^S_t\\<br />dV_t&=\kappa(\theta-V_t)dt+\sigma\sqrt{V_t} dW^V_t\\<br />\end{aligned}\end{equation}<br />$ $TEX: <br />$$\mathbb A^{\text U}_M(N)$$<br />$

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