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Jorgeston
mensaje Mar 27 2007, 08:20 PM
Publicado: #1


Dios Matemático Supremo


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TEX: Evaluar $\displaystyle\int_{C}-y^{3}dx+x^{3}dy-z^{3}dz$ donde C es la intersecci\'on del cilindro $x^{2}+y^{2}=1$ y el plano $x+y+z=1$ , y la orientación de $C$ corresponde a un movimiento en sentido contrario al de agujas del reloj en el plano $xy$

Hacerlo por el teorema de Stokes

Mensaje modificado por jorgeston el Mar 27 2007, 08:22 PM
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Civiles
mensaje Nov 28 2008, 06:27 PM
Publicado: #2


Principiante Matemático Destacado
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Debido a la naturaleza el plano, a simple vista podemos asegurar que la interseccion de ambos es una curva cerrada, luego Strokes hace lo suyo:

TEX: Sea $F(x,y,z) = ( -y^3 , x^3 , -z^3 )$\\<br /><br />Se cumple $\displaystyle\int\limits_C \vec{F} d\vec{r} = \displaystyle\int\limits_S \nabla\times(\vec{F}) \cdot\hat{n}\ dA$ \ \ \ \ \ ; \ \ \ \ $\nabla\times\vec{F} = 3\cdot(0,0,x^2 + y^2)$ \\<br /><br />donde S se puede parametrizar por: \\<br /><br />$\varphi : D \subset \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^3$\\<br />$( x , y ) \mapsto ( x , y , z ) = ( x , y , 1 - x - y ) \ \ \ \ \ \ ; D = \{(x,y) : x^2 + y^2 \leq 1 \}$\\<br /><br />Ademas, segun la trayectoria antihoraria; $\vec{n} = \dfrac{\partial\varphi}{\partial x}\times\dfrac{\partial\varphi}{\partial y} = (1,1,1)$<br /><br />Luego haciendo uso del cambio de variables $ ( x , y ) = ( r\cos{\theta} , r\sin{\theta} ) $ , nos queda: \\<br /><br />$\displaystyle\int\limits_S \nabla\times(\vec{F}) \cdot\hat{n}\ dA = \displaystyle\int\limits_{0}^{2\pi}\int\limits_0^1 3r^2 drd\theta = 2\pi $<br /><br />


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asesina
mensaje Sep 23 2011, 12:45 PM
Publicado: #3


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CITA(Civiles @ Nov 28 2008, 06:27 PM) *
Debido a la naturaleza el plano, a simple vista podemos asegurar que la interseccion de ambos es una curva cerrada, luego Strokes hace lo suyo:

TEX: Sea $F(x,y,z) = ( -y^3 , x^3 , -z^3 )$\\<br /><br />Se cumple $\displaystyle\int\limits_C \vec{F} d\vec{r} = \displaystyle\int\limits_S \nabla\times(\vec{F}) \cdot\hat{n}\ dA$ \ \ \ \ \ ; \ \ \ \ $\nabla\times\vec{F} = 3\cdot(0,0,x^2 + y^2)$ \\<br /><br />donde S se puede parametrizar por: \\<br /><br />$\varphi : D \subset \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^3$\\<br />$( x , y ) \mapsto ( x , y , z ) = ( x , y , 1 - x - y ) \ \ \ \ \ \ ; D = \{(x,y) : x^2 + y^2 \leq 1 \}$\\<br /><br />Ademas, segun la trayectoria antihoraria; $\vec{n} = \dfrac{\partial\varphi}{\partial x}\times\dfrac{\partial\varphi}{\partial y} = (1,1,1)$<br /><br />Luego haciendo uso del cambio de variables $ ( x , y ) = ( r\cos{\theta} , r\sin{\theta} ) $ , nos queda: \\<br /><br />$\displaystyle\int\limits_S \nabla\times(\vec{F}) \cdot\hat{n}\ dA = \displaystyle\int\limits_{0}^{2\pi}\int\limits_0^1 3r^2 drd\theta = 2\pi $<br /><br />



Creo en la segunda integral no multiplicaste por el Jacobiano
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