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I2 Teoría de la Integración, 1S 2011

Guía Rojo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 23 2011, 02:14 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 903 Registrado: 28-May 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 69 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	$TEX: \begin{center}<br />\underline{{\bf Interrogación 2 de Teoría de la Integración}}<br />\end{center}<br />\vspace{0.1cm}<br />\begin{enumerate}<br />\item \textbf{Ejercicio.} Calcular la integral $$F(t)=\int_0^{\infty } \sin (2tx)\,\text{exp} (-ax^2)\,dx$$<br />\item \textbf{Ejercicio.} Sea $f(x,y)=\dfrac{xy}{(x^2+y^2)^2}$, $(x,y)\in [-1,1]\times [-1,1]$, definiendo $f(0,0)=0$. Probar que las integrales iteradas sobre el cuadrado son iguales, pero $f$ no es integrable.<br />\item \textbf{Problema.} Se recuerda que para una medida finita $\mu $ sobre $(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))$ su transformada de Fourier se escribe $$\hat{\mu }(t)=\int_{\mathbb{R}} \text{exp}(itx)\,\mu (dx).$$<br /> \begin{enumerate}<br /> \item Sea $g(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\,\,\text{exp}\left(-\dfrac{x^2}{2}\right)$, $x\in \mathbb{R}$, la densidad gaussiana. Se define $g_n(x)=ng(nx)$, y la medida $\mu _n$ con densidad $g_n$. Probar que $\mu _n$ es una medida de probabilidad.<br /> \item Si $X_n$ es una variable aleatoria real definida en un espacio de probabilidad $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$, con ley $\mu _n = X_n[\mathbb{P}]$, calcular $\mathbb{E}(X_n^2)$ y demuestre que este valor tiende a $0$ si $n\rightarrow \infty$.\\ Dado $\epsilon >0$, demuestre que $\mathbb{P}(\|X_n\|>\epsilon )\leq \epsilon ^{-2}\,\mathbb{E}(X_n^2)$ y concluya que $X_n$ converge en medida a $0$.<br /> \item Probar también que $\widehat{\mu _n}(t)\rightarrow 1$, para todo $t\geq 0$. Comparar este resultado con el valor de la transformada de Fourier de $\delta _0$, la medida de Dirac en $0$.<br /> \item Sea $\nu $ otra probabilidad sobre el mismo espacio y que corresponde a la ley de una variable aleatoria $Y$. Demuestre que $Y+X_n$ converge en medida a $Y$.\\ Suponiendo que $Y$ es independiente de cada $X_n$, escriba la ley de $Y+X_n$, y la correspondiente transformada de Fourier. Demuestre que $\widehat{\nu \star \mu _n}(t)$ converge a $\hat{\nu }(t)$ para todo $t\in \mathbb{R}$.<br /> \end{enumerate}<br />\end{enumerate}<br />$ -------------------- Bachiller en Ciencias (ex) Estudiante de Medicina Estudiante de Ingeniería Civil de Industrias, diploma en Ingeniería Matemática Pontificia Universidad Católica de Chile "El espíritu del matemático busca la belleza del pensamiento, y esa va de la mano con la filosofía."* - Héctor Hardy Pastén Vásquez "¿Qué te hace pensar que si tienes dos elementos de un conjunto con otros dos elementos de otro conjunto se origina uno nuevo con cuatro? Es sólo el sentido común, no te imaginas que los elementos aparecen de la nada, pero resulta que con el sólo hecho de cuestionar el sentido común, se podría afirmar que cuando juntas cuatro elementos aparecen miles de elementos más. Y si lo demuestras, todo se basa en la razón." - Alonso Duque Vega, razonador por excelencia $TEX: $S=1+dfrac{1}{2}+dfrac{1}{3}+dfrac{1}{4}+dfrac{1}{5}+ldots$$ Esta serie converge! He encontrado una maravillosa demostración de esto, pero no cabe en la estrechez de esta firma...

Kaissa Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 23 2011, 02:33 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 9.897 Registrado: 6-April 08 Miembro Nº: 19.238 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	ejercicio-ejercicio-problema??? Rebolledo detected xD -------------------- Este es un extracto de Qué es fmat by Kenshin. La pregunta para ti estimado(a) lector(a) es... ¿Qué haces tu para que ésto se cumpla?

Abu-Khalil Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 18 2012, 06:31 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 3.812 Registrado: 4-November 07 Desde: Santiago Miembro Nº: 12.213 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	P3 $TEX: \noindent <br />\begin{enumerate}<br />\item[(a)] En efecto,<br />$$\mu_n(\mathbb R)=\int_{\mathbb R}d\mu_n=\int_{\mathbb R}g_n d\lambda=\int_{-\infty}^\infty ng(nx)dx=\int_{-\infty}^{\infty}g(u)du=1.$$<br />\item[(b)] Tenemos que<br />$$\mathbb E(X_n^2)=\int_\Omega X_n^2d\mathbb P=\int_{\mathbb R}x^2 d\mu_n=\int_{-\infty}^{-\infty}x^2 g(nx)ndx=\frac{1}{n^2}\int_{-\infty}^\infty u^2g(u)du=\frac 1{n^2},$$<br />ya que la última integral corresponde a la varianza de una normal estándar.\\<br />\\<br />Ahora, dado $\epsilon>0$, tenemos que<br />$$\mathbb P(\|X_n\|>\epsilon)=\mathbb P(\|X_n\|^2>\epsilon^2)=\int_{\{\|X_n\|^2>\epsilon^2\}}d\mathbb P\le\frac 1{\epsilon^2}\int_{\left\{\frac{\|X_n\|^2}{\epsilon^2}>1\right\}}X_n^2d\mathbb P\le\frac 1{\epsilon^2}\int_\Omega X_n^2d\mathbb P.$$<br />Por ende, cuando $n\to\infty$,<br />$$\mathbb P(\|X_n\|>\epsilon)\le\frac1{\epsilon^2}\mathbb E(X_n^2)=\frac 1{\epsilon^2}\frac{1}{n^2}\to 0,$$<br />es decir, $X_n$ tiende en probabilidad a $0$.<br />\item[©] Se tiene que<br />\begin{equation}\begin{aligned}<br />\hat{\mu_n}(t)&=\int_{\mathbb R}e^{itx}d\mu_n(x)=\int_{-\infty}^\infty e^{itx}g_n(x)dx\\<br />&=\int_{-\infty}^\infty e^{itx}g(nx)ndx=\int_{-\infty}^\infty e^{i\frac{t}nu}g(u)du=\hat \mu\left(\frac tn\right),<br />\end{aligned}\end{equation}<br />donde<br />\begin{equation}\begin{aligned}<br />\hat \mu\left( t\right)&=\int_{-\infty}^\infty e^{itx}\frac{e^{-\frac{x^2}2}}{\sqrt{2\pi}}dx=e^{-\frac{t^2}2}\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-it)^2}2}dx=e^{-\frac{t^2}2}.<br />\end{aligned}\end{equation}<br />Así, cuando $n\to\infty$,<br />$$\hat{\mu_n}(t)=\hat \mu\left(\frac tn\right)=e^{-\frac12\left(\frac tn\right)^2}\to 0.$$<br />Además,<br />$$\hat{\delta_0}(t)=\int_{\mathbb R}e^{itx}d\delta_0(x)=e^{it0}\delta_0(\{0\})=1,$$<br />es decir, $\hat{\mu_n}(t)\to \hat{\delta_0}(t)$ cuando $n\to\infty$.<br />\end{enumerate}<br />$ $TEX: \noindent <br />\begin{enumerate}<br />\item[(d)] En efecto, como $X_n$ converge a $0$ en probabilidad, dado $\epsilon>0$, tenemos que<br />$$\mathbb P(\|(Y+X_n)-Y\|>\epsilon)=\mathbb P(\|X_n\|>\epsilon)\to 0.$$<br />Por otro lado, sabemos que la ley de $Y+X_n$ está dada por $\nu\mu_n$ cuando $Y\coprod X_n$. Así, su transformada de Fourier está dada por<br />$$\hat{\nu\mu_n}(t)=\int_{\mathbb R}e^{itx}d\nu\mu_n(x)=\iint_{\mathbb R^2}e^{it(x+y)}d\nu(x)d\mu_n(y)=\hat\nu(t)\hat{\mu_n}(t),$$<br />de aquí y lo mostrado en ©, se concluye lo buscado.<br />\end{enumerate}<br />$ -------------------- ~milopez $TEX: \[\mathfrak{L}=\int_{-\infty}^\infty e^{-289x^2}dx=\frac{\Gamma (\frac{1}{2})}{17}=\frac{\sqrt{\pi}}{17}\]$ $TEX: <br />\begin{equation}\begin{aligned}<br />dS_t&=\mu S_t dt+\sqrt{V_t}S_t dW^S_t\\<br />dV_t&=\kappa(\theta-V_t)dt+\sigma\sqrt{V_t} dW^V_t\\<br />\end{aligned}\end{equation*}<br />$ $TEX: <br />$$\mathbb A^{\text U}_M(N)$$<br />$

mmxmaster! Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 18 2012, 06:37 PM Publicado: #4
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 243 Registrado: 30-December 07 Desde: Santiago Miembro Nº: 14.199 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Me es inevitable dar hint para la P1, pero no desde la perspectiva matemática sino la burda ingenieril. ¿Pueden determinar la transformada de fourier del argumento de la integral?... de ser así hay alguna propiedad en fourier que permita determinar el valor de dicha integral con sólo saber la transformada de su argumento? Mis disculpas a los más rigurosos. -------------------- PERFIL ACADÉMICO Becario del Gobierno Japonés, estudios de Postgrado en Instituto Tecnológico de Tokio Magíster en Ciencias de la Ingeniería Área Ingeniería Eléctrica/Electrónica de Potencia Ingeniero Civil Electricista PUC Licenciado en Ciencias de la Ingeniería Mención Eléctrica EXPERIENCIA LABORAL, AYUDANTÍAS Y PROYECTOS PRÁCTICAS PROFESIONALES: Práctica 1: Fundación Las Rosas Práctica 2: MPX Energía, Proyecto Termoeléctrico Castilla AYUDANTÍAS REALIZADAS Mar/2011-Dic/2011: Ayudante de Cátedra IEE2272: Laboratorio de Máquinas Eléctricas Mar/2012-Jul/2012: Ayudante de Cátedra IEE2273: Laboratorio de Máquinas Eléctricas Ayudante de Cátedra IEE2483: Laboratorio de Electrónica Ayudante de Cátedra IEE3252: Generación de Energía Eléctrica Agt/2012-Dic/2012: Ayudante de Cátedra IEE2213: Máquinas Eléctricas Ayudante de Cátedra IEE3243: Electrónica de Potencia Ayudante de Cátedra IEE2483: Laboratorio de Electrónica Mar/2013-Jul/2013: Ayudante de Cátedra IEE2483: Laboratorio de Electrónica Ayudante de Cátedra IEE3253: Generación de Energía Eléctrica Ayudante de Cátedra IEE3233: Tracción Eléctrica Ayudante de Cátedra IEE2273: Laboratorio de Máquinas Eléctricas Agt/2013-Dic/2013: Ayudante Experto de Cátedra IEE2213: Máquinas Eléctricas Ayudante de Cátedra IEE2273: Laboratorio de Máquinas Eléctricas Ayudante de Cátedra IEE3243: Electrónica de Potencia EXTRACURRICULARES Dic/2009-Ene/2011 Ayudante en Laboratorio de Vehículos Eléctricos UC Ene/2010-Dic/2011 Cofundador y Miembro del Grupo-Proyecto VOLTA UC DISCLAIMER ‎"I can't teach you how to think. You'll just have to figure it out for yourself." ‎"La estupidez humana es más grande, lamentable.... y parece que acá la concentramos." "Cerrar universidades pencas ESTATALES Y PRIVADAS y evaluar por PRODUCCIÓN y no por NOMBRE" No sé porqué pero la mayoría de la gente del CRUCH me cae mal. Veo sus comentarios en diversos sitios de opinión respecto a temas sociales de la educación, y sólo saben sacar su "mega universidad", "mega educación", "mega puntaje", "mega esfuerzo", etc, cuando les conviene... y en otros casos encuentran "mega penca la PSU", "mega penca el sistema de selección", etc..., el mismo que usufructuaron para estudiar donde estudian ahora. Ésta es la élite intelectual del país, los mismos que tarde o temprano van a ostentar el mismo puesto que ostentan los que tanto critican y no hacen nada para cambiarlo. Para qué decir los lovers, mantienen las peleas imbéciles por motivos imbéciles y hablan, hablan y hablan como si fueran los conocedores de todo (universidades, carreras, etc....) cuando con suerte conocen su propia universidad y el resto sólo lo ha pisado por "televisión", "carretes" o "amigos/amigos de amigos que les contaron".

Guía Rojo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 10 2012, 07:04 PM Publicado: #5
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 903 Registrado: 28-May 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 69 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	P1 CITA(Guía Rojo @ Nov 23 2011, 03:14 PM) $TEX: Calcular la integral $$F(t)=\int_0^{\infty } \sin (2tx)\,\text{exp} (-ax^2)\,dx$$$ $TEX: Notemos que $\,\|\sin (2tx)\,\text{exp} (-ax^2)\|\, \leq \text{exp} (-ax^2)\,$, y como $\text{exp} (-ax^2)$ es integrable en $\mathbb R_+$ (suponemos $a>0$), por TCD se tiene $$\frac{d}{dt}\left(\int_0^{\infty } \sin (2tx)\,\text{exp} (-ax^2)\,dx\right) = \int_0^{\infty } \frac{d}{dt}\left(\sin (2tx)\,\text{exp} (-ax^2)\,\right)\,dx$$ O sea $$\frac{d}{dt}F(t) = \int_0^{\infty } 2x\cos (2tx)\,\text{exp} (-ax^2)\,dx$$ Por otro lado, aplicando integraci\'on por partes a la integral del enunciado $$F(t) = \frac{1}{2t}-\frac{a}{2t}\int_0^{\infty } 2x\cos (2tx)\,\text{exp} (-ax^2)\,dx$$ Por tanto, F satisface la EDO de primer orden $$x'(t)+\frac{2t}{a}\,x(t) = \frac{1}{a}$$$ $TEX: \noindent El libro de recetas de cocina de la abuelita nos dice que resolvamos primero la homog\'enea, y luego encontremos una soluci\'on particular.\\ La homog\'enea es de dificultad b\'asica, y obtenemos para ella la soluci\'on $$x(t)=C\,\text{exp}\left(-\frac{t^2}{a}\right)$$ con $C$ constante real arbitraria.\\ \\ Una soluci\'on particular se obtiene reemplazando la constante $C$ por una funci\'on $u(t)$, de forma tal que la funci\'on $x(t)$, ahora modificada, satisfaga la ecuaci\'on no homog\'enea. Se tiene $$\frac{d}{dt}\,u(t) = \frac{1}{a}\,\text{exp}\left(-\frac{t^2}{a}\right)$$ y luego una soluci\'on particular es $$\phi (t) = \frac{1}{a}\,\text{exp}\left(-\frac{t^2}{a}\right)\int_0^t\text{exp}\left(\frac{s^2}{a}\right)\,ds$$$ $TEX: \noindent Finalmente, $\,\displaystyle {F(t) = \text{exp}\left(-\frac{t^2}{a}\right)\,\left(C+\frac{1}{a}\,\int_0^t\text{exp}\left(\frac{s^2}{a}\right)\,ds\right)}\,$ con C constante real arbitraria$ CITA(mmxmaster! @ Feb 18 2012, 07:37 PM) Me es inevitable dar hint para la P1, pero no desde la perspectiva matemática sino la burda ingenieril. ¿Pueden determinar la transformada de fourier del argumento de la integral?... de ser así hay alguna propiedad en fourier que permita determinar el valor de dicha integral con sólo saber la transformada de su argumento? Mis disculpas a los más rigurosos. No soy muy amigo de Fourier Me gustaría ver esa solución, si es posible -------------------- Bachiller en Ciencias (ex) Estudiante de Medicina Estudiante de Ingeniería Civil de Industrias, diploma en Ingeniería Matemática Pontificia Universidad Católica de Chile "El espíritu del matemático busca la belleza del pensamiento, y esa va de la mano con la filosofía." - Héctor Hardy Pastén Vásquez "¿Qué te hace pensar que si tienes dos elementos de un conjunto con otros dos elementos de otro conjunto se origina uno nuevo con cuatro? Es sólo el sentido común, no te imaginas que los elementos aparecen de la nada, pero resulta que con el sólo hecho de cuestionar el sentido común, se podría afirmar que cuando juntas cuatro elementos aparecen miles de elementos más. Y si lo demuestras, todo se basa en la razón." - Alonso Duque Vega, razonador por excelencia $TEX: $S=1+dfrac{1}{2}+dfrac{1}{3}+dfrac{1}{4}+dfrac{1}{5}+ldots$$ Esta serie converge! He encontrado una maravillosa demostración de esto, pero no cabe en la estrechez de esta firma...

Abu-Khalil Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 10 2012, 07:23 PM Publicado: #6
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 3.812 Registrado: 4-November 07 Desde: Santiago Miembro Nº: 12.213 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Guía Rojo @ Mar 10 2012, 09:04 PM) P1 $TEX: Notemos que $\,\|\sin (2tx)\,\text{exp} (-ax^2)\|\, \leq \text{exp} (-ax^2)\,$, y como $\text{exp} (-ax^2)$ es integrable en $\mathbb R_+$ (suponemos $a>0$), por TCD se tiene $$\frac{d}{dt}\left(\int_0^{\infty } \sin (2tx)\,\text{exp} (-ax^2)\,dx\right) = \int_0^{\infty } \frac{d}{dt}\left(\sin (2tx)\,\text{exp} (-ax^2)\,\right)\,dx$$ O sea $$\frac{d}{dt}F(t) = \int_0^{\infty } 2x\cos (2tx)\,\text{exp} (-ax^2)\,dx$$ Por otro lado, aplicando integraci\'on por partes a la integral del enunciado $$F(t) = \frac{1}{2t}-\frac{a}{2t}\int_0^{\infty } 2x\cos (2tx)\,\text{exp} (-ax^2)\,dx$$ Por tanto, F satisface la EDO de primer orden $$x'(t)+\frac{2t}{a}\,x(t) = \frac{1}{a}$$$ $TEX: \noindent El libro de recetas de cocina de la abuelita nos dice que resolvamos primero la homog\'enea, y luego encontremos una soluci\'on particular.\\ La homog\'enea es de dificultad b\'asica, y obtenemos para ella la soluci\'on $$x(t)=C\,\text{exp}\left(-\frac{t^2}{a}\right)$$ con $C$ constante real arbitraria.\\ \\ Una soluci\'on particular se obtiene reemplazando la constante $C$ por una funci\'on $u(t)$, de forma tal que la funci\'on $x(t)$, ahora modificada, satisfaga la ecuaci\'on no homog\'enea. Se tiene $$\frac{d}{dt}\,u(t) = \frac{1}{a}\,\text{exp}\left(-\frac{t^2}{a}\right)$$ y luego una soluci\'on particular es $$\phi (t) = \frac{1}{a}\,\text{exp}\left(-\frac{t^2}{a}\right)\int_0^t\text{exp}\left(\frac{s^2}{a}\right)\,ds$$$ $TEX: \noindent Finalmente, $\,\displaystyle {F(t) = \text{exp}\left(-\frac{t^2}{a}\right)\,\left(C+\frac{1}{a}\,\int_0^t\text{exp}\left(\frac{s^2}{a}\right)\,ds\right)}\,$ con C constante real arbitraria$ $TEX: $$F(0)=0.$$$ -------------------- ~milopez $TEX: \[\mathfrak{L}=\int_{-\infty}^\infty e^{-289x^2}dx=\frac{\Gamma (\frac{1}{2})}{17}=\frac{\sqrt{\pi}}{17}\]$ $TEX: <br />\begin{equation}\begin{aligned}<br />dS_t&=\mu S_t dt+\sqrt{V_t}S_t dW^S_t\\<br />dV_t&=\kappa(\theta-V_t)dt+\sigma\sqrt{V_t} dW^V_t\\<br />\end{aligned}\end{equation}<br />$ $TEX: <br />$$\mathbb A^{\text U}_M(N)$$<br />$

Guía Rojo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 10 2012, 07:28 PM Publicado: #7
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 903 Registrado: 28-May 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 69 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	CITA(Abu-Khalil @ Mar 10 2012, 08:23 PM) $TEX: $$F(0)=0.$$$ perdón, lo hice ahora a la rápida y olvidé ese detalle por lo que dice Abu-Khalil, la constante real arbitraria C de mi respuesta, no es una constante real arbitraria.. debe ser cero -------------------- Bachiller en Ciencias (ex) Estudiante de Medicina Estudiante de Ingeniería Civil de Industrias, diploma en Ingeniería Matemática Pontificia Universidad Católica de Chile "El espíritu del matemático busca la belleza del pensamiento, y esa va de la mano con la filosofía." - Héctor Hardy Pastén Vásquez "¿Qué te hace pensar que si tienes dos elementos de un conjunto con otros dos elementos de otro conjunto se origina uno nuevo con cuatro? Es sólo el sentido común, no te imaginas que los elementos aparecen de la nada, pero resulta que con el sólo hecho de cuestionar el sentido común, se podría afirmar que cuando juntas cuatro elementos aparecen miles de elementos más. Y si lo demuestras, todo se basa en la razón." - Alonso Duque Vega, razonador por excelencia $TEX: $S=1+dfrac{1}{2}+dfrac{1}{3}+dfrac{1}{4}+dfrac{1}{5}+ldots$$ Esta serie converge! He encontrado una maravillosa demostración de esto, pero no cabe en la estrechez de esta firma...

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