 I1 Cálculo Avanzado, 2S 2011 |
|
|
|
|
|
|
Foro fmat.cl > Programa Enseñanza Universitaria > Comunidades Universitarias > Universidad Católica > Otros Ramos  |
 Nov 18 2011, 11:15 PM
Publicado:
#1
|
|
 Dios Matemático Supremo  Grupo: Colaborador Platinum Mensajes: 1.032 Registrado: 25-March 09 Desde: Quinta Normal Miembro Nº: 46.018 Nacionalidad:  Colegio/Liceo:  Universidad:  Sexo:   |
![TEX: \noindent \\<br />\begin{center}MAT1145 - Cálculo Avanzado\\<br />Interrogación Nº1\end{center}<br />\begin{enumerate}<br /><br />\item Demuestre que si la sucesión $\displaystyle \left(a_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ es sub-aditiva, es decir, para todo $n,m \in \mathbb{N}$ se tiene que $a_{n+m}\leq a_n + a_m$ entonces el límite<br />\begin{center}$\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{a_n}{n}$,\end{center}<br />existe o es igual a menos infinito.<br /><br />\item Diremos que una sucesión $\displaystyle \left(x_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ es de \emph{variación acotada} si la sucesión $\displaystyle \left(v_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ definida por<br />\begin{center}$\displaystyle v_n:=\sum_{i=1}^{n}|x_{i+1}-x_i|$,\end{center} es acotada. Demuestre que si $\displaystyle \left(x_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ es de variación acotada entonces es convergente.<br /><br />\item Sea $0<\lambda<1$. Sea $\displaystyle \left(x_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ una sucesión tal que para todo $n\in\mathbb{N}$ se tiene que<br />\begin{center}$|x_{n+2}-x_{n+1}|\leq \lambda|x_{n+1}-x_n|$.\end{center}<br />Demuestre que la sucesión $\displaystyle \left(x_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ es convergente.<br /><br />\item Sea $\displaystyle \left(x_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ una sucesión de números reales positivos. Demuestre que<br />\begin{center}$\displaystyle \liminf_{n\rightarrow \infty} \frac{x_{n+1}}{x_n}\leq \liminf_{n\rightarrow \infty} \sqrt[n]{x_n}\leq \limsup_{n\rightarrow \infty} \sqrt[n]{x_n} \leq \limsup_{n\rightarrow \infty} \frac{x_{n+1}}{x_n}$.\end{center}<br /><br />\item Demuestre que si $\displaystyle \{A_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ es una colección tal que para todo $n\in\mathbb{N}$ el conjunto $A_n \subset \mathbb{R}$ es abierto y denso en $\mathbb{R}$ entonces<br />\begin{center}$\displaystyle \bigcap_{n=1}^{\infty} A_n$,\end{center}<br />es denso en $\mathbb{R}$.<br />\end{enumerate}<br />](/tex-image/ff65a5cfc2ba35f12c31bc9a05c17412.png) Tiempo: 2 horas. Profesor: Godofredo Iommi. |
 |
 
|
|
Nov 11 2014, 11:19 PM
Publicado:
#2
|
|
 Maestro Matemático  Grupo: Team Ensayos FMAT Mensajes: 114 Registrado: 4-March 09 Desde: Ñuñoa Miembro Nº: 44.042 Nacionalidad: Colegio/Liceo:  Universidad: Sexo: |
El 5 es el famoso y popular Teorema de Categorías de Baire.
-------------------- |
|
|
|
|
1 usuario(s) está(n) leyendo esta discusión (1 invitado(s) y 0 usuario(s) anónimo(s))
0 miembro(s):
| Versión Lo-Fi | Fecha y Hora actual: 4th April 2025 - 05:03 AM |
