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Colaborando 2, Función Real

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Felipe_ambuli Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 14 2011, 05:53 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 836 Registrado: 9-January 07 Desde: Santiasko Miembro Nº: 3.659 Nacionalidad: Sexo:	Encuentre todas las funciones $TEX: $f\colon\mathbb{R}^{+}\to\mathbb{R}^{+}$$ que satisfacen $TEX: $f(1+xf(y))=yf(x+y)\ ,\forall x,y\in\mathbb{R}^+$$ .

pprimo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 15 2014, 10:37 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 817 Registrado: 21-February 14 Miembro Nº: 127.064	Primero que todo vemos si $TEX: $$f$$$ es una funcion inyectiva, para eso asumamos que existen dos numeros $TEX: $$a,b\in \mathbb{R}^{+}$$$ tales que $TEX: $$f\left( a \right)=f\left( b \right)$$$ entonces debemos probar que se cumpla $TEX: $$a = b$$$ . En la ecuacion inicial $TEX: $$f\left( 1+xf\left( y \right) \right)=yf\left( x+y \right),\,\,\forall x,y\in \mathbb{R}^{+}$$$ reemplazamos $TEX: $$y=a$$$ y analogamente $TEX: $$y=b$$$ , tenemos: $TEX: $$af\left( x+a \right)=bf\left( x+b \right)$$$ haciendo aparecer un cero $TEX: $$1+a\cdot \left( y-1 \right)f\left( x+a \right)=1+b\cdot \left( y-1 \right)f\left( x+b \right)$$$ $TEX: $$\forall x,y,a,b\in \mathbb{R}^{+}/y>1$$$ aplicando esta expresion a $TEX: $$f$$$ , $TEX: $$f\left( 1+\left( ay-a \right)f\left( x+a \right) \right)=f\left( 1+\left( by-b \right)f\left( x+b \right) \right)$$$ tenemos, $TEX: $$\left( x+a \right)f\left( ay-a+x+a \right)=\left( x+b \right)f\left( by-b+x+b \right)$$$ (llamemos a esta ecuacion (i)). Analogamente supongamos que para algun $TEX: $$z\in \mathbb{R}^{+}$$$ y de la ecuacion anterior $TEX: $$z\left( x+a \right)f\left( x+ay \right)=z\left( x+b \right)f\left( x+by \right)$$$ sumando un 1 ambos lados de la igualdad y aplicando la ecuacion funcional inicial $TEX: $$\left( x+ay \right)f\left( x+ay+z\left( x+a \right) \right)=\left( x+by \right)f\left( x+by+z\left( x+b \right) \right)$$$ (llamemos esta ecuacion (ii)). Por otro lado de la ecuacion asignada por (i) bajo las mismas condiciones anteriormente mencionadas se cumple: $TEX: $$\left( x\left( z+1 \right)+a \right)f\left( x\left( z+1 \right)+a\left( y+z \right) \right)=\left( x\left( z+1 \right)+b \right)f\left( x\left( z+1 \right)+b\left( y+z \right) \right)$$$ (llamemos esta ecuacion (iii)), entonces de las ecuaciones (ii) y (iii) se obtiene: $TEX: $$\frac{x\left( z+1 \right)+a}{x+ay}=\frac{x\left( z+1 \right)+b}{x+by}$$$ lo cual con un facil manejo algebraico $TEX: $$x^{2}\left( z+1 \right)+bxy\left( z+1 \right)+ax+aby=x^{2}\left( z+1 \right)+axy\left( z+1 \right)+bx+aby$$$ $TEX: $$by\left( z+1 \right)-ay\left( z+1 \right)+a-b=\left( b-a \right)\left( y\left( z+1 \right)-1 \right)=0\Rightarrow a=b$$$ ya que $TEX: $$\underbrace{y\left( z+1 \right)-1}_{\ne 0}$$$ pues $TEX: $$y > 1$$$ y $TEX: $$z > 0$$$ se desprende lo que deseabamos, por lo tanto $TEX: $$f$$$ es inyectiva. Para el caso $TEX: $$\left( x,y \right)=\left( 1,1 \right)$$$ se tiene que $TEX: $$f\left( 1+f\left( 1 \right) \right)=f\left( 1+1 \right)$$$ lo que implica $TEX: $$f\left( 1 \right)=1$$$ ya que la funcion es inyectiva. Ahora veremos si la funcion es epiyectiva (sobreyectiva), para eso evaluemos $TEX: $$\frac{x}{f\left( y \right)}$$$ en $TEX: $$x$$$ lo que nos da $TEX: $$f\left( 1+\frac{x}{f\left( y \right)}\cdot f\left( y \right) \right)=f\left( 1+x \right)=yf\left( \frac{x}{f\left( y \right)}+y \right)$$$ en esta misma ecuacion evaluamos $TEX: $$y=\frac{f\left( 1+x \right)}{y}$$$ en $TEX: $$y$$$ tenemos $TEX: $$f\left( 1+x \right)=\frac{f\left( 1+x \right)}{y}f\left( \frac{x}{f\left( \frac{f\left( 1+x \right)}{y} \right)}+\frac{f\left( 1+x \right)}{y} \right)$$$ $TEX: $$\underbrace{f\left( 1+x \right)}_{\ne 0}\left( y-f\left( \frac{x}{f\left( \frac{f\left( 1+x \right)}{y} \right)}+\frac{f\left( 1+x \right)}{y} \right) \right)=0\Rightarrow y=f\left( \frac{x}{f\left( \frac{f\left( 1+x \right)}{y} \right)}+\frac{f\left( 1+x \right)}{y} \right)$$$ Lo que demuestra la epiyectividad. Por ultimo en la ecuacion funcional inicial evaluemos $TEX: $$\left( 1,x \right)$$$ obtenemos $TEX: $$f\left( 1+f\left( x \right) \right)=xf\left( 1+x \right)$$$ analogamente evaluemos $TEX: $$\left( \frac{x}{f\left( \frac{1}{x} \right)},\frac{1}{x} \right)$$$ lo que nos da $TEX: $$f\left( 1+\frac{x}{f\left( \frac{1}{x} \right)}\cdot f\left( \frac{1}{x} \right) \right)=f\left( 1+x \right)=\frac{1}{x}\cdot f\left( \frac{x}{f\left( \frac{1}{x} \right)}+\frac{1}{x} \right)$$$ usando la inyectividad de $TEX: $$f$$$ se tiene $TEX: $$1+f\left( x \right)=\frac{x}{f\left( \frac{1}{x} \right)}+\frac{1}{x}$$$ arreglando un poco la expresion $TEX: $$\left( 1-\frac{1}{x}+f\left( x \right) \right)f\left( \frac{1}{x} \right)=x$$$ y evaluando $TEX: $$x$$$ por su reciproco $TEX: $$\left( 1-x+f\left( \frac{1}{x} \right) \right)f\left( x \right)=\frac{1}{x}$$$ y reemplazando $TEX: $$f\left( \frac{1}{x} \right)$$$ en esta ecuacion tenemos: $TEX: $$\left( 1-x+\frac{x}{1-\frac{1}{x}+f\left( x \right)} \right)f\left( x \right)=\frac{1}{x}$$$ desarrollando $TEX: $$x\left( x^{2}+x-1+xf\left( x \right)-x^{2}+x-x^{2}f\left( x \right) \right)f\left( x \right)=x-1+xf\left( x \right)$$$ $TEX: $$\left( x-1 \right)\left( \left( xf\left( x \right)-1 \right)^{2} \right)=0$$$ $TEX: $$f\left( x \right)=\frac{1}{x},\ \forall x,y\in \mathbb{R}^{+}$$$

Felipe_ambuli Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 16 2014, 10:00 AM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 836 Registrado: 9-January 07 Desde: Santiasko Miembro Nº: 3.659 Nacionalidad: Sexo:	Correcto (aunque hay que escribir que f(1)=1)

pprimo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 16 2014, 12:12 PM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 817 Registrado: 21-February 14 Miembro Nº: 127.064	CITA(Felipe_ambuli @ Nov 16 2014, 10:00 AM) Correcto (aunque hay que escribir que f(1)=1) pero si lo puse, justo abajo de la inyectividad Saluds

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