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10 problemitas

coquitao Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 10 2011, 09:13 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Super Moderador Mensajes: 2.065 Registrado: 25-May 08 Desde: Pelotillehue Miembro Nº: 24.463	Les dejo un pdf con 10 problemas de Aritmética. Ojalá que la selección sea de su agrado. Fuentes: 1. Folklore. 2. Una APMO (90% seguro). 3. Folklore. 4. Folklore pero hay una generalización debida a Erdös. 5. The American Mathematical Monthly. 6. Erdös-Kalmár. 7. Euler (?). 8. Ni idea. 9. a) Folklore. b) T. Andreescu en Mathematical Reflections. 10. Un caso especial del celebérrimo teorema de Dirichlet sobre primos en progresiones aritméticas. Obviamente se espera la solución que emula a la prueba de Euclides de la infinitud del conjunto de primos. Archivo(s) Adjunto(s) verano.pdf ( 104.02k ) Número de descargas: 124 -------------------- "Please forget everything you have learned in school; for you haven't learned it... Please keep in mind at all times the corresponding portions of your school curriculum; for you haven't actually forgotten them." -- E. Landau

El Geek Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 10 2011, 09:18 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 2.818 Registrado: 3-October 09 Miembro Nº: 59.773 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Woou, muchas gracias -------------------- Me voy, me jui.

coquitao Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 10 2011, 09:52 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Super Moderador Mensajes: 2.065 Registrado: 25-May 08 Desde: Pelotillehue Miembro Nº: 24.463	Por cierto espero empezar a leer sus soluciones muy pronto. -------------------- "Please forget everything you have learned in school; for you haven't learned it... Please keep in mind at all times the corresponding portions of your school curriculum; for you haven't actually forgotten them." -- E. Landau

inzite Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 10 2011, 09:57 PM Publicado: #4
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 396 Registrado: 26-October 08 Desde: Quilpue Miembro Nº: 37.052 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Oooo viejo enserio te pasaste muy buen material -------------------- Estudiante de Segundo Año Ingeniería Civil en Matemáticas Universidad Técnica Federico Santa María "Dudar de todo o creerlo todo son dos opciones igualmente cómodas, pues tanto una como otra nos eximen de reflexionar" Henri Poincaré

Mauricio Muñoz Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 10 2011, 10:04 PM Publicado: #5
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 309 Registrado: 18-May 11 Miembro Nº: 88.919 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Muchas gracias por la guía Más material solo significa.. seguir ejercitando hasta que se me caigan los ojos ^^ PD. Soy nuevito en estos temas, pero esta guía la tendre guardadita hasta tener todas las herramientas necesarias para resolverla. Mensaje modificado por Mauricio Muñoz el Nov 10 2011, 10:06 PM --------------------

inzite Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 10 2011, 11:06 PM Publicado: #6
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 396 Registrado: 26-October 08 Desde: Quilpue Miembro Nº: 37.052 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Partamos por el problemita 10 $TEX: \noindent Sea $S =6n -1$ , notemos inmediatamente que cualquier numero de la forma $6n -1$ es Coprimo con cualquier multiplo de $2,3$ , intentemos dejar esto como un Lema.$ $TEX: \noindent Ahora supongamos que $n$ fuera el producto de todos los primos existentes , entonces $n=p_1 \cdot p_2 \cdot p_3 \cdot ... \cdot p_k$$ $TEX: \noindent Por lo tanto $S =2 \cdot 3\cdot p_1 \cdot p_2 \cdot p_3 \cdot ... \cdot p_k -1$ seria Coprimo con cualquier multiplo de $(2 \cdot 3\cdot p_1 \cdot p_2 \cdot p_3 \cdot ... \cdot p_k)$$ $TEX: \noindent Entonces este nuevo numero $S$ tendria que ser a lo mas multiplo de un nuevo primo $p_{k+1}$ o ser un nuevo numero primo encontrado$ $TEX: \noindent Demostrado que existen infinitos numeros primos de la forma $6n-1$$ Mensaje modificado por inzite el Nov 10 2011, 11:07 PM -------------------- Estudiante de Segundo Año Ingeniería Civil en Matemáticas Universidad Técnica Federico Santa María "Dudar de todo o creerlo todo son dos opciones igualmente cómodas, pues tanto una como otra nos eximen de reflexionar" Henri Poincaré

inzite Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 10 2011, 11:37 PM Publicado: #7
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 396 Registrado: 26-October 08 Desde: Quilpue Miembro Nº: 37.052 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Solucion Problema 5 $TEX: \noindent Supongamos que tenemos un numero $n \geq 2$ , entonces $2n \geq 4$ y obviamente siempre par.$ $TEX: \noindent En este caso 2n se puede escribir como $n + n$ o de la forma $q+k$ en donde por logica.$ $TEX: \noindent $0< q < n \wedge n < k \leq 2n$$ $TEX: \noindent Como $2n$ es un numero par y mayor que 2, entonces por la gran Cojetura de Goldbach este numero se puede descomponer como suma de 2 numeros primos en donde $q \wedge k$ en algun momento tendran que tomar como por obligacion la forma de numeros primos para que se cumpla la veracidad de esta conjetura.$ $TEX: \noindent Notando que si o si este numero $k\in ]n,2n]$ en algunos de sus valores sera primo , entonces hemos deducido el postulado de Bertrand.$ Si me falto algun detalle avisen para editar. -------------------- Estudiante de Segundo Año Ingeniería Civil en Matemáticas Universidad Técnica Federico Santa María "Dudar de todo o creerlo todo son dos opciones igualmente cómodas, pues tanto una como otra nos eximen de reflexionar" Henri Poincaré

snw Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 11 2011, 05:50 AM Publicado: #8
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 2.139 Registrado: 11-June 08 Desde: UK Miembro Nº: 26.837 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	otro dia arreglo Mensaje modificado por snw el Nov 11 2011, 06:38 AM -------------------- blep

coquitao Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 11 2011, 06:24 AM Publicado: #9
Dios Matemático Supremo Grupo: Super Moderador Mensajes: 2.065 Registrado: 25-May 08 Desde: Pelotillehue Miembro Nº: 24.463	Comentarios parciales: 1. Idea buena pero, ¿de dónde sale $TEX: $b^{n} < n$$ ? 5. En general se entiende tu idea, pero como con todas las propuesta de solución hasta el momento siento que la presentación debería mejorarse: Bertrand... 9a. ¿Los números en (10, 20] tienen un sólo dígito? 10. ¿Cómo sabes que en realidad estás generando un nuevo primo en la progresión aritmética dada? -------------------- "Please forget everything you have learned in school; for you haven't learned it... Please keep in mind at all times the corresponding portions of your school curriculum; for you haven't actually forgotten them." -- E. Landau

iMPuRe Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 11 2011, 02:13 PM Publicado: #10
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 193 Registrado: 22-March 07 Desde: San Miguel, Santiago Miembro Nº: 4.651 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Solución 6 Notemos que para $TEX: $1$$ y $TEX: $2$$ se cumple. Digamos que para todos los naturales menores o iguales a $TEX: $2m$$ con $TEX: $m>1$$ se cumple, probaremos que de ser asi se cumple para $TEX: $2m+1$$ y $TEX: $2m+2$$ . Notemos que $TEX: $$\prod_{p \le 2m+1} {p} = \prod_{p \le 2m+2} {p}= \prod_{p \le m+1} {p} \cdot \prod_{m+1<p \le 2m+2} {p} < 4^{m+1} {2m+1 \choose m} < 4^{m+1} \cdot 4^m =4^{2m+1} < 4^{2m+2}$$$ . Para el primer paso se uso que $TEX: $2m+2$$ no es primo y para el antepenúltimo que $TEX: ${2m+1 \choose m} < 4^m$$ lo que es directo de que $TEX: $$(1+1)^{2m+1}=\sum_{k=0}^{2m+1} {2m+1 \choose k} \Rightarrow 4^m \cdot 2 > {2m+1 \choose m} + {2m+1 \choose m+1} =2 {2m+1 \choose m} \Rightarrow 4^m>{2m+1 \choose m}$$$ . Asi finalmente $TEX: $$\prod_{p \le 2m+1} {p} < 4^{2m+1}$$$ y $TEX: $$\prod_{p \le 2m+2} {p} <4^{2m+2}$$$ , finalizando la inducción. -------------------- 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733 739 743 751 757 761 769 773 787 797 809 811 821 823 827 829 839 853 857 859 863 877 881 883 887 907 911 919 929 937 941 947 953 967 971 977 983 991 997 1009 1013 1019 1021 1031 1033 1039 1049 1051 1061 1063 1069 1087 1091 1093 1097 1103 1109 1117 1123 1129 1151 1153 1163 1171 1181 1187 1193 1201 1213 1217 1223 1229 1231 1237 1249 1259 1277 1279 1283 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