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> I3 EDO, 2 - 2011 (I. Huerta, G. Raykov, M. Ponce y J. Gaggero)
NickdrA
mensaje Nov 5 2011, 03:14 PM
Publicado: #1


Dios Matemático Supremo
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TEX: <br />\textbf{Problema 1.}<br />\begin{itemize}<br />\item[a)] Determine una funcion continua $f$ de tipo exponencial (es decir $|f(t)| \leq Ce^{mt}$ para todo $t$, con ciertas constantes $C$, $m$) verificando la siguiente igualdad<br /><br />$$ f(t) + (f*f)(t) + (f*f*f)(t) + \cdots +  (\underbrace{f* \cdots *f}_{k \: \textrm{veces}})(t) + \cdots = \sin(t)$$<br /><br />\item[b)] Calcule<br /><br />$$ \mathcal{L}^{-1}\left( \ln \left(1+\frac{a^2}{s^2}\right) \right)$$<br /><br />Donde $\mathcal{L}$ es la Transformada de Laplace y $a$ es parámetro real.<br />\end{itemize}<br /><br />\textbf{Problema 2.}<br />Resuelva el problema<br /><br />$$\left\{ \begin{array}{l} y'''-3y''+3y'-y=\delta(t-3)+e^{-2t} \\y(0)=y'(0)=y''(0)=0 \end{array}\right. $$<br /><br />¿Cuál es el orden máximo de las derivadas continuas en $[0, \infty)$ de la solución $y$ del problema?<br /><br />\textbf{Problema 3.}<br />\begin{itemize}<br />\item[(i)]Sea<br /><br />$$ A = \left( \begin{array}{cc} 2 & 3 \\ -3  & 2  \end{array}\right)$$<br /><br />Encuentre la matriz exponencial $e^{tA}$, $t \in \mathbb{R}$, asociada con $A$.<br /><br />\item[(ii)]Resuelve el problema<br /><br />$$\left\{ \begin{array}{l} \frac{dy}{dt} =Ay + \left( \begin{array}{c} e^{2t} \\ e^{-2t} \end{array} \right) \\ y(0) = \left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array} \right)\end{array} \right. $$<br /><br />\end{itemize}<br /><br />\textbf{Problema 4.}<br />Considere el sistema de masas $m_1=m_2=1$ [kg] y de resortes $k_1$, $k_2$ y $k_3$ con constantes $3$ [N/m], $2$ [N/m], $6$ [N/m] respectivamente como en la figura siguiente:<br />

Archivo Adjunto  sistemaresortes.PNG ( 12.7k ) Número de descargas:  3


TEX: <br />Determine las posiciones $x_1(t)$, $x_2(t)$ de las masas $m_1$, $m_2$ respectivamente, con respecto a sus posiciones de equilibrio para los datos iniciales $x_1(0)=x_2(0)=0$, $x_1'=0$, $x_2'=1$<br />

Para mi gusto, una de las Ies más entretenidas que he visto en este ramo, ojala alguien se anime a resolverla.

Saludos zippyyeahbt5.gif

Mensaje modificado por NickdrA el Nov 5 2011, 03:25 PM


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Abu-Khalil
mensaje Nov 5 2011, 03:52 PM
Publicado: #2


Dios Matemático Supremo
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P1a

TEX: \noindent Tomando transformada de Laplace se obtiene que<br />$$F(s)+F(s)^2+F(s)^3+\ldots+F(s)^k+\ldots=\frac 1{1+s^2}.$$<br />Pero <br />$$\sum_{k=1}^\infty r^k=\frac{r}{1-r}\Rightarrow \frac{F(s)}{1-F(s)}=\frac 1{1+s^2}\Rightarrow F(s)=\frac{1}{2+s^2},$$<br />es decir,<br />$$f(t)=\frac1{\sqrt 2}\sin (\sqrt{2}t).\quad\square$$<br />

Editado: pequeño error de tipeo en la respuesta (G.-)

P1b

TEX: \noindent Notemos que <br />$$\frac d{ds}\log\left(1+\frac{a^2}{s^2}\right)=-\frac{2a^2}{s(s^2+a^2)}=2\left(\frac{s}{s^2+a^2}-\frac 1s\right).$$<br />Por lo tanto, <br />$$\log\left(1+\frac{a^2}{s^2}\right)=-\int_s^\infty2\left(\frac{\sigma}{\sigma^2+a^2}-\frac 1\sigma\right)d\sigma.$$<br />Así,<br />$$\mathcal L^{-1}\left\{\log\left(1+\frac{a^2}{s^2}\right)\right\}=-\frac 2t\mathcal L^{-1}\left\{\frac{s}{s^2+a^2}-\frac 1s\right\}=\frac 2t(1-\cos at).\quad\square$$<br />


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