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El Punto de Bevan

Rurouni Kenshin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 17 2005, 11:50 PM Publicado: #1
Webmaster Grupo: Administrador Mensajes: 6.692 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago Centro Miembro Nº: 2 Nacionalidad: Sexo:	Y si creian que aun no quedaba mas que aprender..aca tienen mas... Punto de Bevan Necesitan de Flash Player para poder verlo...asi que si no lo tienen...aca pueden descargarlo Flash Player -------------------- Colegios/Liceos/Universidades en Fmat (Integrate!!!!) Videos PSU de Funciones (Y tú, ¿Aun estas aproblemado con Funciones?)

S. E. Puelma Moy... S. E. Puelma Moya Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 18 2005, 09:07 AM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Administrador Mensajes: 2.706 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 10 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Proporcionaré una demostración para este teorema, ocupando el concepto de homotecia. Debemos explicar un poco este concepto, probar un par de resultados adicionales, y obtener (como "cosecha") este teorema Reconozco que no conocía el teorema, pero demostrarlo, me pareció sencillo. Me recordó la circunferencia de Euler. Voy a demostrarlo, porque el sitio no proporciona una demostración. Lamentablemente, mi demostración no va a ser tan interactiva, pero es todo lo que puedo hacer ¿Qué es una homotecia? Cuando tomamos un punto $TEX: $P$$ en el plano, y elegimos un número $TEX: $\lambda>0$$ , una homotecia desde el punto $TEX: $P$$ , con razón $TEX: $\lambda$$ , es una transformación que envía el punto $TEX: $Q$$ hacia un punto $TEX: $R\in\overrightarrow{PQ}$$ , tal que $TEX: $m(\overline{PR})=\lambda\cdot m(\overline{PQ})$$ Del mismo modo, podemos definir homotecias con razón negativa. La siguiente figura muestra un ejemplo. La figura roja es la original, las figuras verde, azul y café son el resultado al aplicar una homotecia de razón 2, $TEX: $\dfrac{1}{2}$$ y -1, respectivamente. Esta idea puede hacerse en el espacio de tres dimensiones, por ejemplo, pero no es de nuestro interés en el problema. Sólo voy a comentar que la homotecia posee muy buenas propiedades. Por ejemplo, el resultado final es semejante al inicial (en la idea, por ejemplo, de semejanza de triángulos), preserva ángulos, etc Resultado 1 Si en una circunferencia de centro $TEX: $O$$ se inscribe un $TEX: $\triangle ABC$$ , y se toma un punto $TEX: $D$$ en la circunferencia, tal que $TEX: $\overline{AD}$$ es bisectriz, entonces $TEX: $\overleftrightarrow{OD}$$ es mediatriz del lado $TEX: $\overline{BC}$$ . De hecho, $TEX: $OB=OC$$ (radios de la circunferencia circunscrita), y también $TEX: $DB=DC$$ , porque al ser $TEX: $\overline{AD}$$ una bisectriz ( $TEX: $\widehat{BAD}=\widehat{CAD}$$ ), entonces los arcos $TEX: $BD$$ y $TEX: $CD$$ (que no contienen a $TEX: $A$$ ) miden lo mismo, y las cuerdas respectivas han de ser iguales en medida. Resultado 2 Definiendo $TEX: $A,B,C,D$$ como en el resultado 1, si $TEX: $I$$ es el incentro del $TEX: $\triangle ABC$$ , y $TEX: $N$$ es el excentro de dicho triángulo, respecto $TEX: $A$$ , entonces el cuadrilátero $TEX: $BICN$$ es cíclico, y su circunferencia circunscrita admite a $TEX: $D$$ como centro (por ende, $TEX: $\overline{IN}$$ es diámetro) De hecho, como la bisectriz interior y exterior, por un vértice, son perpendiculares, luego $TEX: $BICN$$ es cíclico, con ángulos rectos en $TEX: $B$$ y $TEX: $C$$ . De ahí que $TEX: $\overline{IN}$$ sea diámetro. Sabemos que $TEX: $DB=DC$$ . También tenemos que $TEX: $DB=DI$$ , porque si $TEX: $\widehat{IAB}=\widehat{IAC}=\alpha,\widehat{IBA}=\widehat{IBC}=\beta$$ , no es difícil ver que $TEX: $\widehat{IBD}=\widehat{BID}=\alpha+\beta$$ . Así que $TEX: $D$$ es el centro de la circunferencia en cuestión. En particular: $TEX: $ID=DN$$ Este resultado sirve para un problema de IMO (Olimpiada Internacional de Matemáticas, sigla proveniente del inglés), de fines de la década de los '80. Ahora sí, enunciamos el teorema que deseamos demostrar: Dado un $TEX: $\triangle ABC$$ , cuyos excentros respecto $TEX: $A,B,C$$ son $TEX: $D,E,F$$ (respectivamente). Sean $TEX: $I$$ el incentro, y $TEX: $O$$ el circuncentro, del $TEX: $\triangle ABC$$ , y definimos un punto $TEX: $V\in\overleftrightarrow{IO}$$ , tal que $TEX: $O$$ es el punto medio de $TEX: $\overline{IV}$$ . Entonces la circunferencia circunscrita al triángulo $TEX: $DEF$$ admite a $TEX: $V$$ como su centro. Además, $TEX: $DV\perp BC,EV\perp AC,FV\perp AB$$ (esto quiere decir que las tres perpendiculares mencionadas en el sitio de Internet, son concurrentes en $TEX: $V$$ ) Demostración: Consideremos la homotecia desde el punto $TEX: $I$$ , con razón 2. Observemos la siguiente figura, donde $TEX: $P,Q,R$$ son puntos en el circuncírculo del $TEX: $\triangle ABC$$ , y sobre las bisectrices. Los otros puntos ya están definidos: Llamaremos $TEX: $K$$ a la circunferencia circunscrita al $TEX: $\triangle ABC$$ (que pasa por $TEX: $P,Q,R$$ ). $TEX: $O$$ se transforma en $TEX: $V$$ , y en virtud del resultado 2, sabemos que $TEX: $P,Q,R$$ se transforman en $TEX: $D,E,F$$ , respectivamente (porque $TEX: $2\cdot IP=ID,2\cdot IQ=IE,2\cdot IR=IF$$ ). De ahí que $TEX: $K$$ se transforma en la circunferencia circunscrita al $TEX: $\triangle DEF$$ , cuyo centro ha de ser $TEX: $V$$ . También, como $TEX: $\overline{OP}$$ es base media de $TEX: $\overline{VD}$$ , respecto al $TEX: $\triangle IVD$$ , entonces $TEX: $\overline{OP}//\overline{VD}$$ . Esto prueba que $TEX: $DV\perp BC$$ . Las otras perpendicularidades se demuestran de la misma forma. -------------------- Sebastián Elías Puelma Moya Administrador FMAT

Kaissa Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 23 2013, 09:29 AM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 9.897 Registrado: 6-April 08 Miembro Nº: 19.238 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Después de ver esta extensa demostración, veamos ahora una a punta de cañonazos (sólo apta para gente que quiere practicar argumentos nivel alto). $TEX: $ $\\<br />Sean $E_{A}$, $E_{B}$ y $E_{C}$ los respectivos excentros de $\Delta ABC$ y sean $U$, $V$ y $W$ las respectivas proyecciones ortogonales desde $E_{A}$, $E_{B}$ y $E_{C}$ sobre los lados $a$, $b$ y $c$ de $\Delta ABD$.\\<br />$ $\\<br />1- $\Delta ABC$ es tri\'angulo ceviano de $\Delta E_{A}E_{B}E_{C}$ pues est\'an en perspectiva con perspector $I$ (incentro de $\Delta ABC$).\\<br />2- $\Delta UVW$ es ceviano en $\Delta ABC$ pues su perspector es $N$ (punto de Nagel de $\Delta ABC$).\\<br />3- Por el teorema de la red ceviana, $\Delta E_{A}E_{B}E_{C}$ debe estar en perspectiva con $\Delta UVW$, es decir, las perpendiculares por cada excentro a los respectivos lados de $\Delta ABC$ son concurrentes.\\<br />$ $\\<br />Dicho punto de concurrencia, $Be$ (punto de Bevan de $\Delta ABC$) es entonces el perspector entre el tri\'angulo excentral y el extangencial.$ Mensaje modificado por Kaissa el Feb 23 2013, 09:30 AM -------------------- Este es un extracto de Qué es fmat by Kenshin. La pregunta para ti estimado(a) lector(a) es... ¿Qué haces tu para que ésto se cumpla?

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