partes fracionales iguales de raices, by xD13G0x Opciones

[xD13G0x]

Decidir si existe un entero mayor a 2 tal que existan enteros positivos tales que y no son enteros, y (partes fraccionales iguales)

Mensaje modificado por xD13G0x el Feb 6 2012, 11:12 PM

[Luffy]

Voy a colocar una solución no elemental de este problema. Es claro que si alguno entre o es racional, dicho número es de hecho entero. Luego el problema es equivalente si pedimos que y no son racionales. Ahora probaré que lo pedido no existe, incluso cuando y son racionales, y . Supongamos que y cumplen lo pedido.

Consideremos las extensiones de cuerpos y . Como es claro que , y por lo tanto tienen la misma dimensión como -espacios vectoriales. Si escribimos de la forma donde es el mayor exponente que divide a y que permite escribir como una potencia -ésima de un racional . Entonces si , tenemos que y que , , ..., , son base de sobre . Entonces vemos que . Como lo mismo ocurre para , es decir y no es potencia de ningún racional elevado a un divisor de . Con esto, vemos que podemos aumir sin pérdida de generalidad que , y por lo tanto los polinomios minimales de y son respectivamente y . Si denotamos , es claro que todas las raices de son de la forma , y las raices de son de la forma para . Como es claro que es separable, tenemos que hay exactamente encajes distintos de en que fijan , y ellos estan dados por su acción sobre el generador (en este caso podemos tomar o ). En particular, existe uno de ellos, , que manda en , entonces como , tenemos que

,

como es raíz de , tenemos que existe tal que , luego concluimos que

.

Si entonces , luego . Luego entonces tenemos

pero la expresión de la izquierda sólo es real cuando o ; en el primer caso el lado de la izquierda da , pero esto implica . Por lo tanto, , lo que implica , y por ello . En conclusión, no existen los números con las condiciones deseadas.

Saludos

[Luffy]

Ahora conseguí una solución elemental (con ayuda de Pedantic). Por comodidad ocupamos la misma notación que en la solución anterior. Sea el menor entero positivo tal que . Probaremos que si es el polinomio mónico de grado menor tal que entonces . Supongamos por contradicción que esto no ocurre, entonces podemos dividir y vemos que existe un polinomio mónico y otro polinomio tales que y o . Como se concluye que el grado de no puede ser menor al de , luego , lo que quiere decir que . Como podemos factorizar concluimos que si entonces y con . Como sabemos que tiene coeficientes racionales, concluimos que su coeficiente libre es racional, luego , y por lo tanto su módulo es racional (pues contradice la minimalidad de ). Luego concluimos que el polinomio mónico de menor grado a coeficientes racionales que tiene a como raíz tiene grado y es . Lo mismo ocurre con , si es el menor entero positivo tal que tenemos que el polinomio mónico de menor grado a coefientes racionales que tiene a como raíz tiene grado y es . Probaremos ahora que . Supongamos sin pérdida de generalidad que , sea , entonces tenemos que , luego es raíz de un polinomio mónico con coeficientes racionales de grado . Por lo tanto . Finalmente, tomando , concluimos que es raíz del polinomio a coeficientes racionales (que tiene grado menor a ), luego concluimos que dicho polinomio debe ser cero, lo que ocurre sólo si y , o si y . En el primer caso se concluye que y en el segundo que .

Saludos!