 derivada con valor medio |
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Foro fmat.cl > Programa Enseñanza Universitaria > Consultas > Banco de Problemas Resueltos > Cálculo > Derivadas  |
 Oct 6 2011, 05:40 PM
Publicado:
#1
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Principiante Matemático  Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 5 Registrado: 13-May 09 Miembro Nº: 51.084 Nacionalidad:  Colegio/Liceo:  Universidad:  Sexo:   |
![TEX: Por favor necesito ayuda con un ejercicio de calculo es urgente, se agradece de antemano. "Sea f : $[a, b] \Rightarrow R$ continua en [a, b] y diferenciable en (a, b). Muestre que si $\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}f'(x)$ = A<br />entonces f'(a) existe y es igual a A. [Hint: Use la definición de f'(a) y el Teorema del Valor<br />Medio]"](/tex-image/57bfc6970ee38d85a43e659781315d05.png) |
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Oct 7 2011, 10:20 AM
Publicado:
#2
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Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 243 Registrado: 23-December 08 Miembro Nº: 41.229 |
Me parece bien entretenido el ejercicio, lo que debes hacer en estos casos es dividir el conjunto mediante una cota fija, pero arbitraria.
![TEX: <br />Notemos que $f$ es continua en $[a,b]$ y diferenciable en $(a,b)$, de esta forma sea $[a,x]\subseteq [a,b]$, donde $f$ es continua en $[a,x]$ y es diferenciable en $(a,x)$, de esta forma como $f$ es continua en $[a,x]$ y es diferenciable en $(a,x)$, existe un w, $a<w<x$ tal que:<br />$$f'(w)=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$$<br />si $x\rightarrow a$, entonces $med([a,x])\rightarrow 0$ y por ende $w\rightarrow a$, tomando límite cuando $x$ tiende a $a$:<br />$${\displaystyle \lim_{x\to a} f'(w) = \lim_{x\to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}}$$<br />Sin embargo, según lo dicho anteriormente, $x\rightarrow a \Rightarrow w\rightarrow a$ así,<br />$${\displaystyle \lim_{w\to a} f'(w) = \lim_{x\to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}}$$<br />Por hipótesis ${\displaystyle \lim_{x\to a} f'(x)=A}$, y por definición ${\displaystyle f'(a)= \lim_{x\to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}}$ , luego<br />$${\displaystyle \lim_{w\to a} f'(w) =A= f'(a)=\lim_{x\to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}}$$<br />Así se concluye que f'(a) existe y vale A.<br />](/tex-image/adb52672a13ca8ead4acea7d2e08a3c7.png)
Mensaje modificado por soulalex el Oct 7 2011, 10:27 AM |
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Oct 7 2011, 11:13 AM
Publicado:
#3
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Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 5 Registrado: 13-May 09 Miembro Nº: 51.084 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo: |
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Oct 7 2011, 12:21 PM
Publicado:
#4
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 Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.818 Registrado: 21-December 06 Miembro Nº: 3.434 |
![TEX: $med([a,x])$](/tex-image/a2a847641a9d005d80c46c3a3d3bd395.png) es la medida, o de forma más conocida, el largo del intervalo, es decir:  .
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Oct 7 2011, 01:48 PM
Publicado:
#5
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Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 243 Registrado: 23-December 08 Miembro Nº: 41.229 |
asi es, lo escribo de esta forma porque
![TEX: $med([a,x])$=0](/tex-image/67c0eb9e26c10cf428027b652c806088.png) si  , lo que corresponde a un punto, y los puntos son elementos de medida cero, asi al tender ![TEX: $med([a,x])$](/tex-image/2c6af6504530afc98f8b50f45bc2bd5d.png) a cero, el conjunto se aproxima a uno de medida cero que coincidiria con el punto a. Pero basta entender la definicion anterior.
Mensaje modificado por soulalex el Oct 7 2011, 01:51 PM |
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Oct 7 2011, 10:11 PM
Publicado:
#6
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 Staff FMAT  Grupo: Moderador Mensajes: 2.604 Registrado: 2-March 07 Desde: Somewhere over the rainbow Miembro Nº: 4.244 Nacionalidad: Colegio/Liceo:  Universidad:  Sexo: |
Qué buena demostración... no tenía idea que bastaba que el límite de una función derivada exista, para que la derivada sea continua
-------------------- INRIA - Francia, Sophia Antipolis Biocore Team Ingeniero Civil en Biotecnología Ingeniería Civil Químico  “(…) los elementos que él (¿o Él?) [Dios] mismo nos ha dado (raciocinio, sensibilidad, intuición) no son en absoluto suficientes como para garantizarnos ni su existencia ni su no existencia. Gracias a una corazonada puedo creer en Dios y acertar o no creer en Dios y también acertar" Mario Benedetti ![TEX: \[\iiint\limits_\Omega {\left( {\nabla \cdot \vec F} \right)dV} = \iint\limits_{\partial \Omega } {\left( {\vec F \cdot \hat n} \right)}dS\]<br />](/tex-image/662cf378c88b8d7170f7919ce7dc427a.png) |
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