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probabilidad.formulas, ¿el por qué de las formulas?

juanpamat Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 29 2011, 08:53 PM Publicado: #1
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 373 Registrado: 29-December 08 Desde: santiago Miembro Nº: 41.467 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	hola, mi pregunta es simple; como se llega a las formulas de probabilidad??? la formula para eventos mutuamente excluyente.donde A∩B=0 ⇒P(A ó B)=P(A∪B)=P(A)+P(B) se por que la interseccion es vacía, pero, no se por que la formula es esta:P(A ó B)=P(A)+P(B) y tambien para eventos mutuamente no-excluyentes A∩B≠0 ⇒P(A ó B)=P(A ∪ B)=P(A)+P(B)-P(A∩B) se por que la interseccion es distinta a 0 ,pero, no se por que la formula. tambien para eventos independientes saludos. Mensaje modificado por juanpamat el Sep 29 2011, 08:54 PM -------------------- * "Las matemáticas son el alfabeto con el cual Dios ha escrito el Universo" * "Las matemáticas son el lenguaje de la naturaleza." Galileo Galilei.

S. E. Puelma Moy... S. E. Puelma Moya Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 29 2011, 11:35 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Administrador Mensajes: 2.706 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 10 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Creo que este tema va mejor en un sector de consulta, y la manera de responder (para que mi interlocutor entienda bien) depende mucho de si quiere una explicación "para el colegio" o una explicación más detallada y precisa (aquí hablo de la precisión matemática que debe haber en un curso de universidad). Si fuera el segundo caso, supongo que este tema ya estaría en un sector de universidad, y algún usuario ya te habría sugerido leer un libro sobre teoría de la medida o sobre probabilidad. O, en su defecto, habrías recibido un sermón semejante a lo que está escrito en los libros. Así que trataré de ponerme en el primer caso. Para responder la primera fórmula (explicación "intuitiva"): Para hablar de probabilidades, necesito un experimento (ej: lanzar un dado), el conjunto $TEX: $\Omega$$ de posibles resultados del experimento, que por ahora supondremos que es finito (ej: $TEX: $\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$$ es el conjunto de resultados posibles al lanzar un dado), y una función de probabilidad $TEX: $P:\{\textrm{subconjuntos de }\Omega\}\to[0,1]$$ con ciertas propiedades: $TEX: $P(\Omega)=1$$ , $TEX: $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$$ si $TEX: $A\cap B=\varnothing$$ ........................................................................ Aquí hay una sorpresa: la propiedad que preguntas está en la definición de función de probabilidad, entonces no podría demostrarse. Pero, como el conjunto es finito, podemos cambiar el enfoque... en el colegio es usual practicar lo siguiente: Probabilidad = (casos favorables) / (total de casos) Puedes observar que esto coincide con lo que hemos dicho, antes, sólo que hemos asumido $TEX: $\#\Omega=n$$ y $TEX: $P({x})=\dfrac1n$$ para todo $TEX: $x\in\Omega$$ . Es decir, todos los resultados posibles tienen igual probabilidad. Sin embargo, también suele trabajarse con casos en que los resultados posibles tienen probabilidades distintas. Si a cada $TEX: $x\in\Omega$$ asocio un número $TEX: $p_x\in[0,1]$$ (un "peso" correspondiente a cada resultado posible) tal que la suma de todos los $TEX: $p_x$$ sea 1, entonces $TEX: $P(A)$$ es igual a la suma de todos los $TEX: $p_x$$ donde x varía en A. Esto es lo que sucede con los "dados/monedas cargados" o "dados/monedas deshonestas". Con este enfoque, puedes intentar demostrar la fórmula. En $TEX: $P(A\cup B)$$ , cada elemento de la unión aporta con su peso; los de A son contados en P(A) y los de B son contados en P(B). Como la intersección es vacía, ninguno se repite. Sobre la segunda pregunta (probabilidad de una unión no necesariamente disjunta), se puede atacar con la misma idea del párrafo anterior, o mejor aún. se puede demostrar a partir de la formula de unión disjunta. Basta observar que $TEX: $A\cup B$$ es unión disjunta de $TEX: $A\cap B$$ , A-B y B-A. Sobre la tercera pregunta (sucesos independientes), también es un asunto de definición. Ahora, llevado a ejemplos finitos como el de arriba, responde a la idea intuitiva que los eventos independientes no se interfieren. Espero que de algo sirvan estos comentarios y, por supuesto, puede complementarse con las observaciones de otros usuarios... -------------------- Sebastián Elías Puelma Moya Administrador FMAT

alexis parra Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 19 2011, 08:25 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.689 Registrado: 5-September 10 Desde: villarrica Miembro Nº: 76.659 Nacionalidad: Sexo:	diagrama de venn?

El Geek Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 20 2011, 06:09 AM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 2.818 Registrado: 3-October 09 Miembro Nº: 59.773 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	QUOTE(alexis parra @ Oct 19 2011, 09:25 PM) diagrama de venn? -------------------- Me voy, me jui.

Javier Gómez L. Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 20 2011, 03:14 PM Publicado: #5
Principiante Matemático Destacado Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 29 Registrado: 1-September 11 Desde: Chillán, Chile Miembro Nº: 93.770 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	La propiedad que expresas como $TEX: $P(A\cup B)= P(A)+P(B)$ si A y B son mutuamente excluyentes.$ es una propiedad demostrable a través de las definiciones de la Probabilidad Clásica y la regla de Laplace, específicamente. Demostración: Se define un suceso elemental como un resultado simple e irreducible de un experimento. En mejores palabras, el suceso elemental tiene cardinalidad uno y no puede expresarse como la unión de otros sucesos distintos a él mismo. Por ejemplo, al tirar un dado $TEX: $\Omega =\left \{ 1,2,3,4,5,6 \right \}$$ , donde 1, 2, 3, 4, 5 y 6 son sucesos elementales y equiprobables. Todo conjunto-suceso entonces está conformado por lo menos por un suceso elemental (menos el vacío). Ahora supongamos que existen un suceso A y un suceso B que son independientes. Es decir, que no hay ningún suceso elemental que exista en ambos sucesos, es decir, no tienen ningún suceso elemental en común. Decimos que: $TEX: A está formado por $n_{A}$ sucesos elementales y B por $n_{B}$ sucesos elementales$ $TEX: $\Rightarrow$ $P(A)=\dfrac{n_{A}}{n_{\Omega}}$ y $P(B)=\dfrac{n_{B}}{ n_{\Omega}}$$ Además podemos decir que: $TEX: $P(A\cup B)=\dfrac{n_{A}+n_{B}}{n_{\Omega}}$ pues la cantidad total de sucesos elementales que son favorables corresponden a la suma de los sucesos elementales de A y los de B, pues no hay ninguno que se repita, ya que se define $A\cup B$ como todos los sucesos elementales que están en A, o están en B.$ $TEX: Luego: $P(A\cup B)=\dfrac{n_{A}+n_{B}}{n_{\Omega}}=\dfrac{n_{A}}{n_{\Omega}}+\dfrac{n_{B}}{ n_{\Omega}}= P(A) + P(B)$$ Esto se extrapola para cualquier cantidad de sucesos independientes, siendo la suma de sus probabilidades la probabilidad de su unión. Se le suele llamar ley de suma, y se expresa como: $TEX: $P(A_{1}\cup A_{2}\cup A_{3}\cup...\cup A_{n})=\sum_{k=1}^{n}P(A_{k})$ si todos los sucesos $A_{k}$ son mutuamente excluyentes entre si mismos.$ Para tu segunda inquietud, cuando son compatibles o no excluyentes, ocuparemos la ley de suma para demostrar la fórmula. Primero, tenemos que existen dos sucesos A y B arbitrarios, cualesquiera. Entonces: $TEX: NOTA: $A^{c}$ y $B^{c}$ se refieren al complemento de A, y al complemento de B, respectivamente. El complemento de un suceso se entiende el suceso formado por todos aquellos sucesos elementales del universo que no pertenecen a a ese suceso. Te sugiero que hagas un diagrama de Venn genérico para que te des cuenta de las igualdades que probaremos algebraicamente más abajo.$ $TEX: Por propiedad del conjunto $\Omega$ tenemos que $\forall A: A\cap \Omega=A$$ $TEX: $A=A\cap\Omega$ entonces $A=A\cap(B \cup B^{c})$ y finalmente $A=(A\cap B)\cup(A\cap B^{c})$$ $TEX: Luego para B, sería $B=(A\cap B)\cup(A^{c}\cap B)$$ $TEX: Entonces también $A\cup B= (A\cap B)\cup (A\cap B^{c})\cup (A\cap B)\cup (A^{c}\cap B)$$ $TEX: Y por idempotencia y conmutatividad $A\cup B= (A\cap B)\cup (A\cap B^{c})\cup (A^{c}\cap B)$$ $TEX: Debemos notar que $(A\cap B)$, $(A\cap B^{c})$, $(A^{c}\cap B)$ son todos mutuamente excluyentes, entonces por ley de suma tendremos transformando las tres igualdades anteriores:$ $TEX: $P(A)=P(A\cap B)+P(A\cap B^{c})$$ $TEX: $P(B)=P(A\cap B)+P(A^{c}\cap B)$$ $TEX: y $P(A\cup B)= P(A\cap B)+P(A\cap B^{c})+P(A^{c}\cap B)$$ $TEX: $= 2P(A\cap B)+P(A\cap B^{c})+P(A^{c}\cap B)-P(A\cap B)$$ $TEX: Se sumó y se restó lo mismo al final.$ $TEX: Luego se reemplazan las igualdades respectivas de $P(A)$ y $P(B)$ en la última igualdad, pues como vemos cada una se presenta una vez, llegaremos finalmente a$ $TEX: $P(A\cup B)= P(A)+P(B)-P(A\cap B)$$ Que es la formula por la preguntabas. Cualquier duda me preguntas, ojalá entiendas y te sirva mucho todo lo que escribí por que me tomo un valioso tiempo hacerlo. Edit: Escribí suma en vez de probabilidad. Edit 2: Incluí algunas cosas que no incluí ayer. Mensaje modificado por Javier Gómez L. el Oct 21 2011, 10:36 AM -------------------- Gavier Zómej Hola

alexis parra Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 20 2011, 07:51 PM Publicado: #6
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.689 Registrado: 5-September 10 Desde: villarrica Miembro Nº: 76.659 Nacionalidad: Sexo:	CITA(El Geek @ Oct 20 2011, 07:09 AM) :: Mensaje modificado por alexis parra el Oct 20 2011, 07:51 PM

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