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Divisibilidad..., Descomposición en un producto de números primos.

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CACAHUATL Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 26 2011, 10:47 PM Publicado: #1
Principiante Matemático Destacado Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 16 Registrado: 31-August 10 Miembro Nº: 76.395 Nacionalidad: Sexo:	Ojalá pueda obtener ayuda en el siguiente problemilla. Encontrar el número natural $TEX: $r$$ que satisface que $TEX: $6^{r}$$ es igual al producto de todos los divisores de $TEX: $2^{100}\cdot 3^{100} $$ .

MatíasMoreno Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 27 2011, 01:09 PM Publicado: #2
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 217 Registrado: 5-April 11 Desde: no se :c Miembro Nº: 86.300 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Mi solución: Si $TEX: $N_1$ = $2^{100}3^{100}$$ , al tener mismo exponente, multiplicamos las bases $TEX: $N_1$ = $6^{100}$$ tenemos que los divisores del numero seran $TEX: $d_1$ = {1,6,$6^2$,$6^3$...$6^{100}$}$ (junté los divisores 2 y 3, en potencias de base 6 para mayor facilidad) Luego el producto de los divisores es: $TEX: $6^1$ $6^2$ * $6^3$ ... $6^{99}$ * $6^{100}$$ Mantenemos la base, y sumamos los exponentes, la suma de exponentes esta dada por: $TEX: $1+2+3+4+...+98+99+100$ = 5050$ finalmente el producto de los divisores es $TEX: $6^{5050}$$ despues tenemos que tambien es divisible por $TEX: $6,6^1,6^2 ... 6^{100}$$ (recordar que en el paso anterior son los divisores de base 2 y 3, que los junté como potencias de base 6 para mayor facilidad), al igual que en el paso anterior la multiplicacion es $TEX: $6^{5050}$$ y multiplicamos ambos $TEX: $6^{5050}$$ Y tenemos la ecuación: $TEX: $6^r$ = $6^{5050}$ * $6^{5050}$$ $TEX: $6^r$ = $6^{10100}$$ finalmente obtenemos $TEX: $r = 10100$$ Para los que vieron la primera solución me di cuenta del error, ahora esta corregido saludos : Mensaje modificado por MatíasMoreno el Sep 27 2011, 02:04 PM -------------------- Cuando eliminamos lo imposible lo que queda, por improbable que parezca...siempre será la verdad... Nada tiene sentido, pero todo tiene significado.

CACAHUATL Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 28 2011, 10:31 PM Publicado: #3
Principiante Matemático Destacado Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 16 Registrado: 31-August 10 Miembro Nº: 76.395 Nacionalidad: Sexo:	Estoy muy agradecida con tu respuesta, sin embargo hay algunos puntos que no me quedan claros, estas seguro que estas en lo correcto pues si analizamos casos mas pequeños tu razonamiento no coincide con la respuesta, recuerda que son 10201 divisores y me parece que no los contemplas todos o tu que opinas... Saludos....

coquitao Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 29 2011, 12:08 AM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Super Moderador Mensajes: 2.065 Registrado: 25-May 08 Desde: Pelotillehue Miembro Nº: 24.463	$TEX: Los divisores positivos de $2^{N}3^{N}$ están todos en el conjunto\\<br /><br />$D_{N} := \{2^{\alpha}3^{\beta} : 0 \leq \alpha, \beta \leq N\}.$<br /><br />Luego, el producto de todos ellos es\\ <br /><br />$(2^{0})^{N+1}(3^{0}\cdots 3^{N}) \times (2^{1})^{N+1}(3^{0}\cdots 3^{N}) \times (2^{2})^{N+1}(3^{0}\cdots 3^{N}) \times \cdots \times (2^{N})^{N+1}(3^{0}\cdots 3^{N})=$\\<br /><br />$(3^{0}\cdots 3^{N})^{N+1}(2^{0}\cdots 2^{N})^{N+1} = (3^{\frac{N(N+1)}{2}})^{N+1}(2^{\frac{N(N+1)}{2}})^{N+1} = 6^{\frac{N(N+1)^{2}}{2}}.$<br />$ -------------------- "Please forget everything you have learned in school; for you haven't learned it... Please keep in mind at all times the corresponding portions of your school curriculum; for you haven't actually forgotten them." -- E. Landau

CACAHUATL Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 29 2011, 12:22 AM Publicado: #5
Principiante Matemático Destacado Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 16 Registrado: 31-August 10 Miembro Nº: 76.395 Nacionalidad: Sexo:	Gracias Coquitao, entonces quedaría como $TEX: $6^{510050}$$ .

MatíasMoreno Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 29 2011, 11:16 AM Publicado: #6
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 217 Registrado: 5-April 11 Desde: no se :c Miembro Nº: 86.300 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Ahh olvidé las combinaciones entre los divisores, sorry saludos -------------------- Cuando eliminamos lo imposible lo que queda, por improbable que parezca...siempre será la verdad... Nada tiene sentido, pero todo tiene significado.

CACAHUATL Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 29 2011, 05:03 PM Publicado: #7
Principiante Matemático Destacado Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 16 Registrado: 31-August 10 Miembro Nº: 76.395 Nacionalidad: Sexo:	ok. de todas formas gracias...por la saludos.

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