 Álgebra Análisis |
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 Jul 26 2011, 10:25 PM
Publicado:
#1
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Maestro Matemático  Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 89 Registrado: 30-July 09 Miembro Nº: 56.216 Nacionalidad:  Universidad:  Sexo:   |
Sea R el anillo de funciones reales continuas sobre [0,1] con la suma y producto usuales de funciones. Pruebe que un ideal I de R es maximal si y sólo si es de la forma
 para algún ![TEX: $ \gamma \in [0,1]. $](/tex-image/21356411d18d880cb8c894ee9ba0b257.png)
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Jul 27 2011, 01:04 AM
Publicado:
#2
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Dios Matemático Supremo  Grupo: Super Moderador Mensajes: 2.065 Registrado: 25-May 08 Desde: Pelotillehue Miembro Nº: 24.463 |
"<="
Herstein pone esta implicación como ejemplo en una de las secciones sobre ideales del Topics in Algebra. La prueba es sencilla. "=>" (Un ejercicio de dos * en el libro mencionado anteriormente. Aquí va la solución.) ![TEX: Si $\gamma \in [0,1]$, denotemos con $J_{\gamma}$ al ideal $\{f \in R : f(\gamma) = 0\}.$ Luego, si $I$ es un ideal maximal de $R$, vamos a probar que $I \subseteq J_{g}$ para algún $g \in [0,1]$. De la maximalidad de $I$ se desprenderá entonces que $I = J_{g}.$<br /><br />Supongamos que $I$ no está contenido en ninguno de los ideales $J_{\gamma}$. Esto indica que, para cada $\gamma \in [0,1]$, existe $f_{\gamma} \in I$ tal que $f_{\gamma}(\gamma) \neq 0$. Por continuidad se tiene entonces que por cada $\gamma \in [0,1]$ hay un abierto $U_{\gamma}$, con $\gamma \in U_{\gamma}$, donde la función $f_{\gamma}$ no se anula. Claramente, $\displaystyle [0,1] \subseteq \bigcup_{\gamma \in [0,1]} U_{\gamma}.$ De esto último y de la compacidad de $[0,1]$, se asegura la existencia de $\gamma_{1}, \gamma_{2}, \ldots, \gamma_{n}$ tales que $\displaystyle [0,1] \subseteq \bigcup_{i=1}^{n} U_{\gamma_{i}}.$<br /><br />Consideremos entonces la función $g = f_{\gamma_{1}}^{2} + \ldots + f_{\gamma_{n}}^{2}.$ Dicha función está en $I$ y, además, no se anula a lo largo del intervalo. Esto indica que $1/g \in R$. Luego, si $h \in R$ se cumple que $h = g(h/g) \in I$ y por tanto, $R \subseteq I$. Lo anterior contradice la supuesta maximalidad de $I$ y la prueba termina.<br /><br />QED.<br />](/tex-image/8832d171ab864ea9e1d9407dccc11009.png)
-------------------- "Please forget everything you have learned in school; for you haven't learned it... Please keep in mind at all times the corresponding portions of your school curriculum; for you haven't actually forgotten them." -- E. Landau
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Jul 27 2011, 10:17 AM
Publicado:
#3
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Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 89 Registrado: 30-July 09 Miembro Nº: 56.216 Nacionalidad: Universidad: Sexo: |
Excelente, es la solucion que esperaba.
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