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> Control 2 2011/1 Rafael Correa, Espacios Topológicos, Teoremas del Análisis Funcional
snw
mensaje Jul 11 2011, 02:40 PM
Publicado: #1


Dios Matemático Supremo
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Aqui les dejo el lindo control 2 de analisis

TEX: \Large{\textbf{Control 2 Análisis}}



TEX: {\textbf{P1.} (15\%) Sea $X=\mathcal{C}([0,1],\mathbb{R})$ con la norma uniforme, y sea $F$ subespacio cerrado de $X$, que solamente tiene funciones de clase $\mathcal{C}^1$. Probaremos que en estas circunstancias, $F$ es de dimensión finita. Para ello:<br /><br />\begin{enumerate}<br /><br />\item{ Sea $Y=\mathcal{C}^1([0,1],\mathbb{R})$, dotado de la norma $\|f\|=\|f\|_{\infty}+\|f'\|_\infty$. Recuerde que $(Y,\|\cdot\|)$ es un espacio de Banach. Pruebe que $F$ es cerrado, mirado como subespacio de $Y$.}<br /><br />\item{Sea $B=\{f\in F:\|f\|_\infty \le 1\}$, la bola $\|\cdot\|_\infty$-unitaria en $F$. Pruebe que $B$ es acotado para la norma $\|\cdot\|$. \textbf{Indicación:} Use uno de los 4 grandes teoremas del Análisis Funcional, tal como los llamamos en el Curso.}<br /><br />\item{Pruebe que $B$ es compacto para la norma uniforma, y concluya el resultado pedido}<br /><br />\end{enumerate}

TEX: \textbf{P2.} (25 \%) {A. Sea $X$ un Banach y $F$ una función de un compacto $K\subseteq \mathbb{R}$ en $\mathcal{L}(X,X)$. Para cada $x\in X$ se define <br /><br />\begin{eqnarray*} <br />\xi_x & : & K\to X \\<br /> & & t\mapsto\xi_x(t)=F(t)x<br />\end{eqnarray*}}<br />Pruebe que las siguientes afirmaciones son equivalentes:<br /><br />\begin{enumerate}<br />\item{Para todo $x\in X$, las funciones $xi_x$ son continuas.}<br />\item{$F$ es uniformemente acotada en $K$ y las funciones $\xi_x$ son continuas para todo $x$ en un subconjunto $D$ denso en $X$.}<br />\item{ Para todo compacto $C\subseteq X$ la función<br /><br />\begin{eqnarray*}<br />\phi_C & : & K\times C\to X \\<br /> & & (t,x)\mapsto \phi_C(t,x)=\xi_x(t)<br />\end{eqnarray*}<br /><br />Es uniformemente continua.}<br />\end{enumerate}<br /><br /><br /><br /> <br />

TEX: B. Una familia $(T(t))_{t\ge 0}$ de operadores lineales continuos sobre un Banach $X$ se dice \textit{semigrupo} si satisface la ecuación funcional <br /><br />\begin{eqnarray*}<br />T(t+s)=T(t)T(s) & \forall t,s\ge0 \\<br />T(0)=I & &<br />\end{eqnarray*}<br /><br />Y se dice \textit{semigrupo fuertemente continuo} si además las funciones<br /><br />\begin{eqnarray*} <br />\xi_x & : & \mathbb{R}^+\to X \\<br /> & & t\mapsto\xi_x(t)=T(t)x<br />\end{eqnarray*}<br /><br />son continuas para todo $x\in X$. Muestre que para un semigrupo $(T(t))_{t\ge 0}$ son equivalentes:<br /><br />\begin{enumerate}<br /><br />\item{ $(T(t))_{t\ge 0}$ es fuertemente continuo.}<br />\item{ $\lim_{t \downarrow 0} T(t)x=x$ para todo $x\in X$}<br />\item{ Existen $\delta >0,M\ge 1$ y un subconjunto denso $D\subseteq X$ tales que <br />\begin{enumerate}<br />\item{$\|T(t)\|\le M$ para todo $t\in[0,\delta]$}<br />\item{$\lim_{t \downarrow 0} T(t)x=x$ para todo $x\in D$}<br />\end{enumerate}}<br />\end{enumerate}


TEX: \textbf{P3} (35\%) Sea $(X,\tau)$ un espacio topológico tal que para todo $x\in X$, $\{x\}$ es cerrado. Sea $\mathcal{F}$ la familia de todos los subconjuntos cerrados de $X$.<br /><br />\begin{enumerate}<br />\item{(0.5 pts) Sea $\mathcal{A}$ una subfamilia de $\mathcal{F}$ que posee la propiedad de intersección finita y es maximal para esta propiedad. Puebe que si $A,B\in \mathcal{A}$ entonces $A\cap B\in\mathcal{A}$. Muestre tambien que si $A,B\in\mathcal{F}\setminus\mathcal{A}$ entonces $A\cup B\in\mathcal{F}\setminus\mathcal{A}$.}<br />\item{(1 pts) Sea<br /><br />\begin{center} $\mathcal{W}=\{\mathcal{A}\subseteq \mathcal{F}:\mathcal{A} \text{ tiene la PIF y es maximal con esta propiedad}\}$\end{center}<br /><br />Para $x\in X$, defina $W_x=\{A\in\mathcal{F}:x\in A\}$. Pruebe que $W_x\in\mathcal{W}$ para todo $x\in X$. Defina <br /><br />\begin{eqnarray*} \phi & : & X \to \mathcal{W}\\<br /> & & x  \mapsto W_x<br />\end{eqnarray*}<br />Muestre que $\phi$ es inyectiva <br />}<br />\item{(1 pts) Sea $U\in\tau$. Se define <br />\begin{center} $U^*=\{\mathcal{A}\in\mathcal{W}<img src="style_emoticons/default/sad.gif" style="vertical-align:middle" emoid=":(" border="0" alt="sad.gif" />\exists A\in \mathcal{A}) A\subseteq U \}$\end{center}<br /><br />Pruebe que $(U^*)^c=\{\mathcal{A}\in\mathcal{W}:U^c\in\mathcal{A}\}$. Muestre además que si $U,V\in\tau$ entonces $(U\cap V)^*=U^*\cap V^*$ y $(U\cup V)^*=U^*\cup V^*$.}<br /><br />\item{ Sea $\tau^*$ la topología en $\mathcal{W}$ que tiene por base a la familia $\{U^*:U\in\tau\}$. Muestre que $(\mathcal{W},\tau^*)$ es compacto, que $\phi$ es continua y que $\phi(X)$ es denso en $(\mathcal{W},\tau^*)$. \textbf{Indicación:} Para probar la compacidad de $(\mathcal{W},\tau^*)$ use el teorema de Alexander, junto con la caracterización por la propiedad de intersección finita}<br /><br />\item{(1 pts) Sea $f:X\to \mathbb{R}$ una función continua y acotada. Muestre que $f\circ \phi^{-1}$ admite una extensión continua a todo $\mathcal{W}$. \textbf{Indicación:} Si no se pudiera extender, muestre que existen dos cerrados disjuntos $R,S\subseteq \mathbb{R}$ tales que $\overline{\phi(f^{-1}®)}\cap\overline{\phi(f^{-1}(S))}\not=\varnothing.$ Pero si $A$ y $B$ son cerrados disjuntos de $X$ entonces $\{\mathcal{A}\in\mathcal{W}:A\in\mathcal{A} \}$ y $\{\mathcal{A}\in\mathcal{W}:B\in\mathcal{A}\}$ son cerrados disjuntos en $\mathcal{W}$<br /> }<br /><br /><br /><br />\end{enumerate}

TEX: \begin{flushleft} {6. (1 pts) Muestre que si $(X,\tau)$ es compacto entonces $(\mathcal{W},\tau^*)$ es homeomorfo a $(X,\tau)$}\end{flushleft}<br />\begin{flushleft}{7.(1 pts) Demuestre que si $(X,\tau)$ es normal, entonces $(\mathcal{W},\tau^*)$ es Hausdorff}\end{flushleft}<br /><br />\textbf{Nota:} El espacio topológico $(\mathcal{W},\tau^*)$ se conoce como la compactificación de Wallman de $(X,\tau)$.


UFff me demore un poquito, estoy muy aburrido parece


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Shinichi
mensaje Jul 11 2011, 02:44 PM
Publicado: #2


Dios Matemático Supremo
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Pregunta de curioso: ¿Cuánto tiempo es el dado?.

Saludos.


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snw
mensaje Jul 11 2011, 02:46 PM
Publicado: #3


Dios Matemático Supremo
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4 horas nominales, 5:30 horas reales. Lo mas penca fue que justo fue el dia de la final de la Champions :'(. Como comentario, la P1 es super facil (por algo vale tan poco) y la P2 tambien era relativamente facil con un buen orden para las equivalencias. En la P3 la mayoria eran faciles salvo la parte 4 y 5. Si suman los porcentajes no da 100%, esto pues el resto es un ejercicio que se hace en clases.


saludos

Mensaje modificado por snw el Jul 11 2011, 02:49 PM


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