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E Cálculo III, 1S 2011

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Killua Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 6 2011, 11:30 PM Publicado: #1
Staff Fmat Grupo: Moderador Mensajes: 1.185 Registrado: 29-October 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 352 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: \noindent \\<br />\begin{center}MAT1630 - Cálculo III\\<br />Examen - Miércoles 06 de Julio de 2011 \end{center}<br />\begin{enumerate}<br /><br />\item <br />\begin{enumerate}<br />\item Se considera la función $f$ definida sobre $\mathbb{R}^2$ por:<br /><br />\begin{center} $f(x,y)=\displaystyle\frac{x^2}{\sqrt{x^2+y^2}}$ si $(x,y)\neq (0,0)$\end{center}<br />\begin{center} $f(0,0)=0$.\end{center}<br /><br />Determinar si la función $f$ es continua y/o diferenciable en el punto $(0,0)$.<br /><br />\item Se considera la superficie definida en $\mathbb{R}^3$ por la ecuación $xyz=1$. Determine todos los puntos de esta superficie que admiten un plano tangente. Calcule la ecuación del plano tangente cuando existe.<br /><br />\end{enumerate}<br /><br />\item Encuentre los máximos y mínimos absolutos de la función $f(x,y,z)=x-y+z$ en el elipsoide $x^2+y^2+4z^2\le{1}$. Justifique sus respuestas.<br /><br />\item Calcule las integrales de línea<br /><br />$$\displaystyle\oint_{\gamma_i} \frac{-ydx+xdy}{x^2+y^2},$$<br /><br />siendo $\gamma_i, i=1,2$, las curvas:<br /><br />$$\gamma_1: x^2+y^2=1, \gamma_2: (x-2)^2+y^2=16.$$<br /> <br />\end{enumerate}<br />$ $TEX: <br /><br />\noindent $4.$ Considere $R$ el sólido limitado por<br /><br />$$z=48-x^2-y^2, z=2x^2+2y^2.$$<br /><br />\noindent Sea $S$ su frontera.\\<br /><br />\noindent $(a)$ Calcule $\iint_S \vec{F}\cdot dS$ con $\vec{F}(x,y,z)=(x,y,z)$ con normal apuntando hacia el exterior.\\<br /><br />\noindent $(b)$ Llamemos $(\overline{x}, \overline{y}, \overline{z})$ las coordenadas del centro de masa (o centroide) del sólido $R$. Pruebe que:<br /><br />$$\overline{z}=\displaystyle\frac{1}{2V®}\iint_{x^2+y^2\le{16}}(48-x^2-y^2)^2-(2x^2+2y^2)^2 dxdy$$<br /><br />\noindent donde $V®$ es el volumen del sólido $R$.<br /><br />$ -------------------- "He looks rather ill, but he looks all over the genius he was" (G. H. Hardy) "A mathematician is a device for turning coffee into theorems" (Paul Erdös)