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I3 Cálculo III, 1S 2011

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Killua Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 6 2011, 11:10 PM Publicado: #1
Staff Fmat Grupo: Moderador Mensajes: 1.185 Registrado: 29-October 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 352 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: \noindent \\<br />\begin{center}MAT1630 - Cálculo III\\<br />Interrogación 3 - Miércoles 15 de Junio de 2011 \end{center}<br />\begin{enumerate}<br />\item Calcule la integral de línea<br /><br />$$\displaystyle\oint_\gamma (x+y)dx+(x+y^2)dy$$<br /><br />siendo $\gamma$ la frontera del trapecio con vértices $(-2,0), (2,0), (1,1)$ y $(-1,1)$<br /><br />\item Sea $\gamma$ el segmento recto que une $(0,0,0)$ con un punto $(x_0, y_0, z_0)$ en $\mathbb{R}^3$. Considere los campos vectoriales definidos por:<br /><br />$$\vec{F}_1(x,y,z)=(x,y,z), \vec{F}_2=(x,y,xz)$$<br /><br />\begin{enumerate}<br />\item Calcule $V_1(x_0,y_0,z_0)=\int_\gamma \vec{F}_1\cdot \hat{T} ds$ y $V_2(x_0,y_0,z_0)=\int_\gamma \vec{F}_2\cdot \hat{T} ds$.<br /><br />\item Verifique que $\vec{F}_1(x,y,z)=\nabla V_1(x,y,z)$ y $\vec{F}_2(x,y,z)\neq \nabla V_2(x,y,z)$.<br /><br />\item Calcule las integrales de línea de los campos $\vec{F}_1$ y $\vec{F}_2$ sobre el camino $x^2+y^2=1, z=0$.<br /><br />\end{enumerate}<br /><br />\item Considere la superficie $S$ definida por $x^2+y^2+z^2=1, x\ge 0, y\ge 0, z\ge 0$.<br /><br />\begin{enumerate}<br /><br />\item Calcule directamente el flujo a través de $S$ del campo rotacional (o rotor) del campo $\vec{F}=(xy,y,z)$.<br /><br />\item Calcule la integral de superficie anterior usando el Teorema de Stokes.<br /><br />\end{enumerate}<br /><br />\item Considere el campo en $\mathbb{R}^3$ dado por $\vec{F}(x,y,z)=(x+\cos(y), y+e^{xz}, z)$. Calcule la integral de superficie $\int_S \vec{F}\cdot dS$ donde $S$ es la superficie en $\mathbb{R}^3$ definida por $z=x^2+y^2, 1\le{z}\le{4}$.<br />\end{enumerate}<br />$ -------------------- "He looks rather ill, but he looks all over the genius he was" (G. H. Hardy) "A mathematician is a device for turning coffee into theorems" (Paul Erdös)