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> Control 3 EDO 2011/1, Profesores J. Campos, P. Felmer y C. Muñoz
Chaparrón
mensaje Jul 2 2011, 07:33 PM
Publicado: #1


Doctor en Matemáticas
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Grupo: Usuario FMAT
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Control 3 MA2601 Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
J. Campos, P. Felmer y C. Muñoz
Tiempo: 3 horas


P1
1. Resuelva la EDO
TEX: $\left\{ \begin{gathered}<br /> y''\left( x \right) + 4y'\left( x \right) + 3y\left( x \right) = 1 - {H_2}\left( x \right) - {H_4}\left( x \right) + {H_6}\left( x \right){\text{, }}x \geqslant 0 \hfill \\<br /> y\left( 0 \right) = y'\left( 0 \right) = 0 \hfill \\ <br />\end{gathered} \right.$

¿Es la solución TEX: $y$ continua?

2. Considere el siguiente sistema lineal de EDOs
TEX: $\left\{ \begin{gathered}<br /> x'\left( t \right) = 2y\left( t \right) + 3 \hfill \\<br /> y'\left( t \right) = x\left( t \right) - y\left( t \right) - {t^2} \hfill \\<br /> x\left( 0 \right) = 0,{\text{ }}y\left( 0 \right) = - 1 \hfill \\ <br />\end{gathered} \right.$

Sean TEX: $w(s)=\mathcal{L}[x](s)$ y TEX: $z(s)=\mathcal{L} [y](s)$, las respectivas transformadas de Laplace de TEX: $x(t)$ e TEX: $y(t)$.
a) Encuentre un sistema lineal de ecuaciones algebraicas para TEX: $w(s)$ y TEX: $z(s)$, luego resuélvalo. Simplifique al máximo su resultado.
b) Encuentre TEX: $x(t)$ e TEX: $y(t)$

3. Sea TEX: $a>0$ fijo. Justifique que que para todo TEX: $x \ge 0$, TEX: $(x-a) \delta _a(x)=0$


P2
Considere el sistema lineal de EDOs de segundo orden, para TEX: $t \in \mathbb{R}$
TEX: $\left\{ \begin{gathered}<br /> x''\left( t \right) = 2x'\left( t \right) + 5y\left( t \right) + 3 \hfill \\<br /> y'\left( t \right) = - x'\left( t \right) - 2y\left( t \right) \hfill \\<br /> x\left( 0 \right) = x'\left( 0 \right) = 0{\text{ }}{\text{, }}y\left( 0 \right) = 1 \hfill \\ <br />\end{gathered} \right.$

1. Escriba el sistema anterior como un nuevo sistema lineal de EDOs, de primer orden, de la forma
TEX: $X'(t)=AX(t)+B{\text{, }}X(0)=X_0$

Explicite TEX: $X(t),A,B$ y la condición inicial TEX: $X_0$ asociada.
2. Encuentre los valores y vectores propios asociados a la matriz TEX: $A$
3. Escriba explícitamente la solución del sistema lineal para TEX: $X(t)$
4. Encuentre la solución TEX: $(x(t),y(t))$ del sistema original.


P3
Sean TEX: $y_0,y_1 \in \mathbb{R}$. Considere la ecuación integral siguiente:
TEX: $y\left( x \right) = {y_0}\cos x + {y_1}\sin x + \displaystyle \int_0^x {\sin \left( {x - t} \right){y^5}\left( t \right)} dt$ (1)

1. Sea TEX: $y \in {\bar B_\delta }\left( {0,R} \right)$, donde
TEX: ${\bar B_\delta }\left( {0,R} \right) = \left\{ {y \in C\left( {\left[ { - \delta ,\delta } \right],\mathbb{R}} \right):{{\left\| y \right\|}_\infty } = \mathop {\sup }\limits_{x \in \left[ { - \delta ,\delta } \right]} \left| {y\left( x \right)} \right| \leqslant R} \right\}$

Pruebe que el operador TEX: $T:{\bar B_\delta }\left( {0,R} \right) \to C\left( {\left[ { - \delta ,\delta } \right],\mathbb{R}} \right)$, definido por la fórmula:
TEX: $T[y](x)={y_0}\cos x + {y_1}\sin x + \displaystyle \int_0^x {\sin \left( {x - t} \right){y^5}\left( t \right)} dt$

es Lipschitz para la norma TEX: $\left\| \cdot \right\|_{\infty} $
Indicación: Recuerde que para TEX: $a,b \in \mathbb{R}$
TEX: $a^5-b^5=(a-b)(a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4)$

2. Pruebe que escogiendo TEX: $\delta >0$ pequeño, dependiendo de TEX: $R$, entonces TEX: $T$ es una contracción en TEX: ${\bar B_\delta }\left( {0,R} \right)$.
3. Pruebe ahora que escogiendo TEX: $R>0$ grande (dependiente de TEX: $y_0$ e TEX: $y_1$), y TEX: $\delta >0$ pequeño (dependiente de TEX: $R$ solamente) uno tiene que TEX: $T[y] \in {\bar B_\delta }\left( {0,R} \right)$, para toda TEX: $y \in {\bar B_\delta }\left( {0,R} \right)$
4. Concluya que la ecuación integral (1) posee una única solución TEX: $\bar y = \bar y\left( x \right)$ en la clase TEX: $C\left( {\left[ { - \delta ,\delta } \right],\mathbb{R}} \right)$, con
TEX: $\mathop {\sup }\limits_{x \in \left[ { - \delta ,\delta } \right]} \left| {y\left( x \right)} \right| \leqslant R$
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NickdrA
mensaje Jul 2 2011, 09:22 PM
Publicado: #2


Dios Matemático Supremo
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Pregunta 1:

TEX: Usamos transformada de Laplace, entonces el problema queda así:<br /><br />$$(s^2+4s+3)Y(s) = \frac{1-e^{-2s}-e^{-4s}+e^{-6s}}{s}$$<br /><br />Ahora despejando $Y(s)$:<br /><br />$$Y(s) = \frac{1-e^{-2s}-e^{-4s}+e^{-6s}}{s^3+4s^2+3s} = (1-e^{-2s}-e^{-4s}+e^{-6s})\left( \frac{1}{3s} - \frac{1}{2(s+1)} + \frac{1}{6(s+3)}\right)$$<br /><br />Luego con la transformada de Laplace inversa, obtenemos por solución:<br /><br />$$y(x) =\frac{1}{3} - \frac{1}{2}e^{-x} +\frac{1}{6}e^{-2x} - H_2(x)\left(\frac{1}{3} - \frac{1}{2}e^{-x+2} +\frac{1}{6}e^{-2x+4}\right) - H_4(x)\left(\frac{1}{3} - \frac{1}{2}e^{-x+4} +\frac{1}{6}e^{-2x+8}\right) $$ $$+ H_6(x)\left(\frac{1}{3} - \frac{1}{2}e^{-x+6} +\frac{1}{6}e^{-2x+12}\right)$$<br /><br />Notamos que la respuesta al escalón de este sistema vale $0$ en $t=0$, por lo tanto la función es continua a pesar de los escalones.


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