Ayuda con descomposicion de polinomios :S

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Ayuda con descomposicion de polinomios :S

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Chifla Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 27 2011, 12:41 PM Publicado: #1
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 6 Registrado: 15-March 08 Miembro Nº: 16.966 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	No se me ocurre como hacer este ejercicio : Descomponer el polinomio p(x) = 2x^3 - (5+6i)x^2 + 9ix + (1-3i) sabiendo que admite una raiz real. Seria buena onda que me ayudaran xd! gracias

Krebante Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 27 2011, 02:57 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 618 Registrado: 8-June 08 Desde: Paris Miembro Nº: 26.525 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Sabemos que existe $TEX: $a$$ real que anula el polinomio. Luego, $TEX: $2a^3 - (5 + 6i)a^2 + 9ia + (1-3i) = 0$$ Como $TEX: $a$$ es real, $TEX: $2a^3 - 5a^2 + 1$$ es real y $TEX: $-6ia^2 + 9ia - 3i$$ es imaginario puro. Luego, para que $TEX: $p(a) = 0$$ necesariamente estos dos polinomios son cero. Así, obtenemos que $TEX: $-6a^2 + 9a - 3 = 0$$ $TEX: $2a^3 - 5a^2 + 1 = 0$$ Con eso deberías poder seguir tú. -------------------- ¡Por más representación, vota Riesz!

Chifla Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 28 2011, 10:33 AM Publicado: #3
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 6 Registrado: 15-March 08 Miembro Nº: 16.966 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	graciaaaaas! pero sabes que le he dado vueltas al ejercicio MUCHO rato, y no queria responderte ayer porque queria seguri intentandolo, pero no se como descomponerlo... La raiz real me da 1/2, y divido p(x) por (x - 1/2) y me da una division con resto :S... y lo he hecho por division sintetica, division asi normal ( que es muy latera, pero lo hice igual ), y me dan cosas distintas :S... Agradeceria tu ayuda

Krebante Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 28 2011, 12:06 PM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 618 Registrado: 8-June 08 Desde: Paris Miembro Nº: 26.525 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Yo en general uso el algoritmo de Ruffini (que en realidad es exactamente lo mismo, pero suele simplificar los cálculos): $TEX: <br />\centering<br />\begin{tabular}{c\|cccc}<br /> & $2$ & $-5-6i$ & $9i$ & $1-3i$ \\<br /> $1/2$ & & & & \\ \hline<br /> & $2$ & & &<br />\end{tabular}<br /><br />$\downarrow$<br /><br />\begin{tabular}{c\|cccc}<br /> & $2$ & $-5-6i$ & $9i$ & $1-3i$ \\<br /> $1/2$ & & $1$ & & \\ \hline<br /> & $2$ & & &<br />\end{tabular}<br /><br />$\downarrow$<br /><br />\begin{tabular}{c\|cccc}<br /> & $2$ & $-5-6i$ & $9i$ & $1-3i$ \\<br /> $1/2$ & & $1$ & & \\ \hline<br /> & $2$ & $-4-6i$ & &<br />\end{tabular}<br /><br />$\downarrow$<br /><br />\begin{tabular}{c\|cccc}<br /> & $2$ & $-5-6i$ & $9i$ & $1-3i$ \\<br /> $1/2$ & & $1$ & $-2-3i$ & \\ \hline<br /> & $2$ & $-4-6i$ & &<br />\end{tabular}<br /><br />$\downarrow$<br /><br />\begin{tabular}{c\|cccc}<br /> & $2$ & $-5-6i$ & $9i$ & $1-3i$ \\<br /> $1/2$ & & $1$ & $-2-3i$ & \\ \hline<br /> & $2$ & $-4-6i$ & $-2+6i$ &<br />\end{tabular}<br /><br />$\downarrow$<br /><br />\begin{tabular}{c\|cccc}<br /> & $2$ & $-5-6i$ & $9i$ & $1-3i$ \\<br /> $1/2$ & & $1$ & $-2-3i$ & $-1+3i$ \\ \hline<br /> & $2$ & $-4-6i$ & $-2+6i$ &<br />\end{tabular}<br /><br />$\downarrow$<br /><br />\begin{tabular}{c\|cccc}<br /> & $2$ & $-5-6i$ & $9i$ & $1-3i$ \\<br /> $1/2$ & & $1$ & $-2-3i$ & $-1+3i$ \\ \hline<br /> & $2$ & $-4-6i$ & $-2+6i$ & $0$<br />\end{tabular}<br />$ y los coeficientes aparecen en la última línea (el último cero es el resto), con lo que tenemos que la división resulta $TEX: $2x^3 - (4 + 6i)x + (-2 + 6i)$$ . Usando división euclídea, se obtiene exactamente lo mismo (ya que en el fondo son lo mismo, la única diferencia es que con Ruffini no hay símbolos extra molestando XD): $TEX: \small\begin{tabular}{ccccccccc}<br />$2x^3$&${}-{}$&$(5+6i)x^2$&${}+{}$&$9ix$&${}+{}$&$(1-3i)$&${}\colon(x-1/2) = 2x^2 - (4+6i)x -2+6i$ \\<br />$2x^3$&${}-{}$&$x^2$&&&&&& \\<br />&&$(-4-6i)x^2 $&${}+{}$&$9ix$&&&& \\<br />&&$(-4-6i)x^2$&${}+{}$&$(2+3i)x$&&&& \\<br />&&&&$(-2+6i)x$&${}+{}$&$(1-3i)$&& \\<br />&&&&$(-2+6i)x$&${}+{}$&$(1-3i)$&& \\<br />&&&&&&$0$&&<br />\end{tabular}$ -------------------- ¡Por más representación, vota Riesz!

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