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XIII OMCS (2002), Brasil

Killua Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 6 2007, 11:59 PM Publicado: #1
Staff Fmat Grupo: Moderador Mensajes: 1.185 Registrado: 29-October 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 352 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	13ª OLIMPIADA DE MATEMÁTICAS DEL CONO SUR Fortaleza, CE, Brasil, 2002 Primera Prueba Problema 1: Pedro, Ana y Julián eligen, cada uno, tres dígitos no nulos. Sabemos que cada dígito no nulo fue elegido una vez. Pedro y Ana nos han entregado la siguiente información: él eligió tres números consecutivos, cuyo producto es igual a cinco veces la suma. Ella no eligió números primos, pero eligió dos números consecutivos, y el producto de los tres números que eligió, es igual a cuatro veces la suma de dichos números. ¿Qué números eligió Julián? Problema 2: En un $TEX: $\triangle{ABC}$$ , con $TEX: $\hat{A}=90$$ , el incírculo es tangente a $TEX: $BC$$ en $TEX: $T$$ . $TEX: $D\in\overline{AC}, E\in\overline{AB}$$ tales que $TEX: $\overline{BD}, \overline{CE}$$ bisecan el $TEX: $\angle{B}$$ y el $TEX: $\angle{C}$$ , respectivamente. Construya el $TEX: $\triangle{ABC}$$ , si sólo conocemos $TEX: $T, D, E.$$ Problema 3: $TEX: $A$$ y $TEX: $B$$ juegan una Super Batalla Naval. Cada jugador dispone de un tablero de $TEX: $n\times{n}$$ . $TEX: $A$$ coloca al menos un barco (no se sabe cuántos) en su tablero. Los barcos son fichas de $TEX: $1\times{n}$$ , dispuestas horizontal o verticalmente, sin superposición y sin tener un lado común. Luego, $TEX: $B$$ marca $TEX: $m$$ casillas, representando disparos. Después, $TEX: $A$$ indica qué disparos fueron a casillas ocupadas por sus barcos. $TEX: $B$$ gana si descubre todos los barcos de $TEX: $A$$ , con esta información. Determine el menor valor de $TEX: $m$$ para el cual $TEX: $B$$ posee una estrategia ganadora. Segunda Prueba Problema 4: El cuadrilátero $TEX: $ABCD$$ es convexo, con $TEX: $\overline{AC}\perp\overline{BD}$$ . Sea $TEX: $P=\overline{AC}\cap\overline{BD}$$ y $TEX: $M$$ el punto medio de $TEX: $\overline{AB}$$ . Demuestre que $TEX: $ABCD$$ es cíclico $TEX: $\Leftrightarrow\overleftrightarrow{MP}\perp\overleftrightarrow{CD}$$ . Problema 5: Para cada $TEX: $k\in\mathbb{Z}^+$$ , sea $TEX: $r_k$$ el mayor número de elementos distintos de $TEX: $\{1, \ldots, n\}$$ que podemos escoger, de modo que la diferencia entre dos de ellos siempre sea diferente de $TEX: $k$$ . Determine el mayor valor posible de $TEX: $r_k$$ para todo $TEX: $k$$ , con $TEX: $k\le\dfrac{n}{2}$$ . Problema 6: Pruebe que existe un número $TEX: $n\in\mathbb{Z}^+$$ que cumple las siguientes propiedades: $TEX: $\bullet$$ Posee al menos $TEX: $10^{2002}$$ factores primos distintos. $TEX: $\bullet$$ Es divisible por la suma de sus divisores primos. Resumen de soluciones Problema 1: Aquí, resuelto por Killua. Problema 2: Pendiente de solución. Problema 3: Pendiente de solución. Problema 4: Aquí, resuelto por Killua. Problema 5: Pendiente de solución. Problema 6: Pendiente de solución. Saludos -------------------- "He looks rather ill, but he looks all over the genius he was" (G. H. Hardy) "A mathematician is a device for turning coffee into theorems" (Paul Erdös)

Killua Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 8 2007, 06:33 PM Publicado: #2
Staff Fmat Grupo: Moderador Mensajes: 1.185 Registrado: 29-October 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 352 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Solución al problema 4 Primera Parte: Si $TEX: $\overleftrightarrow{MP}\perp\overline{CD}\Rightarrow\ ABCD$$ es cíclico. $TEX: \noindent Sea $\angle{BDC}=\alpha$, y sea $Q=\overline{CD}\cap\overleftrightarrow{MP}$, luego $\angle{PCD}=90-\alpha$, ($\angle{DPC}$ recto), entonces $\angle{QPC}=\alpha=\angle{APM}$ ($\angle{PQC}$ recto). Como $M$ es punto medio de $\overline{AB}$, y $\angle{APB}=90$, se sigue que $\overline{AM}=\overline{MB}=\overline{MP}$ (propiedad archiconocida, propuesta para el atento lector), entonces $\angle{APM}=\angle{PAM}=\alpha$. Por lo tanto $\angle{BDC}=\angle{BAC}=\alpha$, entonces $ABCD$ es c\'iclico $\blacksquare$$ Segunda Parte: Si $TEX: $ABCD$$ es cíclico, entonces $TEX: $\overleftrightarrow{MP}\perp\overline{CD}$$ $TEX: \noindent Sea $\angle{BAC}=\beta$. Como $\overline{AM}=\overline{MB}=\overline{MP}$ (ya lo ocupamos en la parte anterior), se sigue que $\angle{BAC}=\beta=\angle{MPA}=\angle{QPC}$. Como $ABCD$ es c\'iclico, entonces $\angle{BAC}=\angle{BDC}=\beta$, y como $\angle{DPC}$ es recto, entonces $\angle{DCP}=90-\beta$. Luego $\angle{CPQ}+\angle{QCP}=\beta+90-\beta=90$, entonces $\overleftrightarrow{MP}\perp\overline{CD}$, probando lo pedido $\blacksquare$$ Saludos -------------------- "He looks rather ill, but he looks all over the genius he was" (G. H. Hardy) "A mathematician is a device for turning coffee into theorems" (Paul Erdös)

Killua Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 9 2007, 06:00 PM Publicado: #3
Staff Fmat Grupo: Moderador Mensajes: 1.185 Registrado: 29-October 05 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 352 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Solución al problema 1 $TEX: \noindent Primero, veamos los n\'umeros que eligi\'o Pedro. Sean estos tres d\'igitos $x-1, x, x+1$, luego:<br /><br />$$(x-1)(x)(x+1)=5(x-1+x+x+1)\Rightarrow{(x-1)(x)(x+1)=15x}\Rightarrow{(x-1)}(x+1)=15$$<br /><br />\noindent de donde $x-1=3, x=4, x+1=5$.\\<br /><br />\noindent Veamos ahora los n\'umeros de Ana. Como no eligi\'o n\'umeros primos, y los primos d\'igitos son $2, 3, 5, 7$ se sigue que los n\'umeros consecutivos que eligi\'o fueron el $8$ y el $9$, luego, siendo $y$ el tercer d\'igito que escogi\'o:<br /><br />$$72y=4(17+y)\Rightarrow{68y}=68\Rightarrow{y=1}$$<br /><br />\noindent de donde, los n\'umeros que eligi\'o Ana fueron $1, 8, 9$. Como los tres eligieron d\'igitos distintos, y son nueve d\'igitos, entonces Juli\'an eligi\'o $2, 6, 7\ \blacksquare$$ Saludos -------------------- "He looks rather ill, but he looks all over the genius he was" (G. H. Hardy) "A mathematician is a device for turning coffee into theorems" (Paul Erdös)

S. E. Puelma Moy... S. E. Puelma Moya Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 4 2009, 11:14 PM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Administrador Mensajes: 2.706 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 10 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Ya que tenemos el problema 4 resuelto, esta vez compartiré con ustedes dos problemas adicionales: Problema 4': Sea ABCD un cuadrilátero convexo con diagonales perpendiculares, y sea P el punto de intersección de las diagonales. Consideramos puntos M, Q sobre los lados AB, CD, respectivamente, y enunciamos las siguientes propiedades: Los puntos M, P, Q son colineales AM=MB El cuadrilátero ABCD es cíclico Las rectas PQ y CD son perpendiculares. Pruebe que cada terna de estas propiedades implica la cuarta propiedad. Problema 4'': Sea ABCD un cuadrilátero convexo, defina los puntos M, P, Q como antes y suponga que se cumplen las propiedades 1, 2, 3, 4 del problema 4'. ¿Es posible deducir que las diagonales AC y BD son perpendiculares? -------------------- Sebastián Elías Puelma Moya Administrador FMAT

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