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FMAT Integral Bee!

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Gastón Burrull	Jul 6 2011, 08:12 PM Publicado: #91
Invitado	Para que se motiven, daré un problema muy similar al anterior como complemento. Espero que te motives tochalo. Problema. Evalúe para $TEX: $\alpha>0$$ la integral dada por $TEX: $$ \int_0^1f\big((1-x^{a})^{1/a}-x\big) \,dx. $$$ Donde $TEX: $f$$ es una función par.

tochalo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 7 2011, 03:31 PM Publicado: #92
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 426 Registrado: 13-January 08 Desde: desde la pieza de tu hermana Miembro Nº: 14.612 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	CITA(Gastón Burrull @ Jul 6 2011, 07:50 PM) Tendré fe de que esta bien, pues no sí si tu procedimiento es correcto o no, pues tengo nulo conocimiento de funciones especiales. En todo caso la solución podía salir en pocos pasos de manera muy elemental . Te toca proponer. Hola Gastón Sin ánimos de discusión, no le veo mucho sentido dar un problema por resuelto bajo ese argumento. Por otro lado, las “funciones especiales” son pan de cada día en el foro, si ataqué el problema de esta forma es porque lo he aprendido de otros usuarios como danielomalmsteen, crush, abu, etc. Ese “tendré fe” es mejor reemplazarlo por un “le preguntaré a otro usuario”. De todas formas sería valioso que postearas la solución que tienes del problema, así podemos tener más ideas para atacar tu otro propuesto Saludos

Gastón Burrull	Jul 7 2011, 04:58 PM Publicado: #93
Invitado	ok, en un rato mas pongo la solucion, en todo caso te toca proponer si quieres

tochalo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 7 2011, 05:50 PM Publicado: #94
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 426 Registrado: 13-January 08 Desde: desde la pieza de tu hermana Miembro Nº: 14.612 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	CITA(Gastón Burrull @ Jul 7 2011, 06:58 PM) ok, en un rato mas pongo la solucion, en todo caso te toca proponer si quieres Cedo mi turno a otro usuario que quiera proponer una integral

「Krizalid」 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 7 2011, 06:37 PM Publicado: #95
Staff FMAT Grupo: Super Moderador Mensajes: 8.124 Registrado: 21-May 06 Miembro Nº: 1.156 Nacionalidad: Sexo:	Bien, uno facilito: Halle $TEX: $$\underset{n\to \infty }{\mathop{\text{lím} }}\,\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{{{\operatorname{sen}}^{2}}nx}{1+x}\,dx}.$$$

「Krizalid」 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 10 2011, 08:57 PM Publicado: #96
Staff FMAT Grupo: Super Moderador Mensajes: 8.124 Registrado: 21-May 06 Miembro Nº: 1.156 Nacionalidad: Sexo:	Iba a hacer esto ayer pero se me olvidó. Primero escribamos $TEX: $$\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{{{\operatorname{sen}}^{2}}nx}{1+x}\,dx}=\frac{1}{2}\left( \int_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{dx}{1+x}}-\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{\cos 2nx}{1+x}\,dx} \right),$$$ (1) para la integral restante, la hacemos por partes y queda $TEX: $$\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{\cos 2nx}{1+x}\,dx}=\frac{1}{2n}\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{\operatorname{sen}2nx}{{{(1+x)}^{2}}}\,dx},$$$ luego $TEX: $$\left\| \int_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{\cos 2nx}{1+x}\,dx} \right\|\le \frac{1}{2n}\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{dx}{{{(1+x)}^{2}}}\,dx},$$$ luego la integral del sustraendo de (1) tiende a cero para $TEX: $n\to\infty$$ y el límite es simplemente $TEX: $$\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{dx}{1+x}}.$$$ Dejo libre para que cualquiera proponga, ojalá se motiven.

walatoo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 10 2011, 09:17 PM Publicado: #97
Dios Matemático Supremo Grupo: Team Ensayos FMAT Mensajes: 1.294 Registrado: 16-March 09 Desde: ancud Miembro Nº: 45.100 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	propongo una facilita haber si alguien "joven" se motiva xDD $TEX: $\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^2(\cos x)+\sin^2(\sin x)dx$$ saludos -------------------- Estudiante de 4° año ing civil mec utfsm $TEX: $\sqrt[3]{\dfrac{1}{\cos\left(\frac{\pi}{7}\right)}}-\sqrt[3]{\dfrac{1}{\cos\left(\frac{2\pi}{7}\right)}}+\sqrt[3]{\dfrac{1}{\cos\left(\frac{3\pi}{7}\right)}}=\sqrt[3]{6\sqrt[3]{7}-8}$$

Crash! Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 10 2011, 10:41 PM Publicado: #98
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 929 Registrado: 22-June 08 Desde: Santiago Miembro Nº: 27.979 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: \[\begin{gathered}<br /> I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left[ {{{\cos }^2}\left( {\cos x} \right) + {{\sin }^2}\left( {\sin x} \right)} \right]dx} \hfill \\<br /> {\text{Por paridad:}} \hfill \\<br /> I = \int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^0 {\left[ {{{\cos }^2}\left( {\cos x} \right) + {{\sin }^2}\left( {\sin x} \right)} \right]dx} \hfill \\<br /> sea\;t = x + \frac{\pi }{2} \hfill \\<br /> I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left[ {{{\cos }^2}\left( {\sin t} \right) + {{\sin }^2}\left( {\cos t} \right)} \right]dt} \hfill \\<br /> {\text{sumanos con el primer termino y tenemos que}} \hfill \\<br /> I = \frac{\pi }{2} \hfill \\ <br />\end{gathered} \]$ Y nosé que proponer. Corregí y aprendi a corregir las imagenes xD Me faltó agregar que alguien mas propusiera algo. Mensaje modificado por Crash! el Jul 10 2011, 10:59 PM -------------------- Ex-Electrico Usach 2008 Mechón Injenieria 2009 Tengo Sed.

Gastón Burrull	Jul 11 2011, 12:24 AM Publicado: #99
Invitado	Pondré un nivel intermedio entre la primera que propuse y la última, a ver si se animan. Problema. Evalúe para $TEX: $\alpha>0$$ la integral dada por $TEX: $$ \int_0^1\big((1-x^{a})^{1/a}-x\big)^{2n} \,dx. $$$ Donde $TEX: $n\in\mathbb{N}$$ .

Crash! Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 11 2011, 01:56 AM Publicado: #100
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 929 Registrado: 22-June 08 Desde: Santiago Miembro Nº: 27.979 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: \[\begin{gathered}<br /> {\text{sea }}f{\text{ funcion par}}{\text{.}} \hfill \\<br /> sea\;\alpha > 0 \hfill \\<br /> {I_f} = \int\limits_0^1 {f\left( {{{\left[ {1 - {x^\alpha }} \right]}^{\frac{1}{\alpha }}} - x} \right)dx} \hfill \\<br /> sea \hfill \\<br /> 1 - {x^\alpha } = {t^\alpha } \Rightarrow x = {\left( {1 - {t^\alpha }} \right)^{\frac{1}{\alpha }}} \Rightarrow dx = - {\left( {1 - {t^\alpha }} \right)^{\frac{1}{\alpha } - 1}}{t^{\alpha - 1}}dt \hfill \\<br /> x = 0 \Rightarrow t = 1 \hfill \\<br /> x = 1 \Rightarrow t = 0 \hfill \\<br /> {I_f} = \int\limits_0^1 {f\left( {t - {{\left[ {1 - {t^\alpha }} \right]}^{\frac{1}{\alpha }}}} \right){{\left( {1 - {t^\alpha }} \right)}^{\frac{1}{\alpha } - 1}}{t^{\alpha - 1}}dt} \hfill \\<br /> {\text{como la variable es muda y f es par lo sumamos a la primera expresion de la integral y}}... \hfill \\<br /> 2{I_f} = \int\limits_0^1 {f\left( {{{\left[ {1 - {x^\alpha }} \right]}^{\frac{1}{\alpha }}} - x} \right)\left( {1 + {{\left( {1 - {x^\alpha }} \right)}^{\frac{1}{\alpha } - 1}}{x^{\alpha - 1}}} \right)dx} \hfill \\<br /> {\text{basta hacer }}z = {\left[ {1 - {x^\alpha }} \right]^{\frac{1}{\alpha }}} - x \Rightarrow - dz = \left( {1 + {{\left( {1 - {x^\alpha }} \right)}^{\frac{1}{\alpha } - 1}}{x^{\alpha - 1}}} \right)dx \hfill \\<br /> \Rightarrow {I_f} = \frac{1}{2}\int\limits_{ - 1}^1 {f\left( z \right)dz} = \int\limits_0^1 {f\left( z \right)dz} \hfill \\<br /> {\text{luego la integral pedida es }} \hfill \\<br /> {I_{{x^{2n}}}} = \int\limits_0^1 {{x^{2n}}dx} = \frac{1}{{2n + 1}} \hfill \\ <br />\end{gathered} \]$ Propuestin: Ojalá se haga sin el método obvio (de residuos) $TEX: \[\begin{gathered}<br /> {\text{Calcule:}} \hfill \\<br /> \int\limits_0^{2\pi } {\frac{{dx}}{{1 + 2a\cos \left( x \right) + {a^2}}}} \hfill \\ <br />\end{gathered} \]$ Mensaje modificado por Crash! el Jul 11 2011, 02:11 AM -------------------- Ex-Electrico Usach 2008 Mechón Injenieria 2009 Tengo Sed.

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