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FMAT Integral Bee!

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walatoo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 29 2011, 10:51 PM Publicado: #71
Dios Matemático Supremo Grupo: Team Ensayos FMAT Mensajes: 1.294 Registrado: 16-March 09 Desde: ancud Miembro Nº: 45.100 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(master_c @ Jun 29 2011, 11:08 PM) jajaj asi es, yo creo que ahi estaba la dificultad del problema, cuando lo resolvi pase dias pensando en eso prueba con un simple cambio de variable, y hacer su cambio loco de integral por serie... Creo haberlo resuelto: notemos que la integral se puede escribir como: $TEX: $\displaystyle\int_{0}^{\infty}\left(\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{x^{2n+1}(-1)^n}{(2n)!!}\right)\left(\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{x^{2n}}{(2n)!!^2}\right)dx$$ luego notamos que: $TEX: $e^x=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{x^n}{n!}\Rightarrow e^{-\frac{x^2}{2}}=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^nx^{2n}}{2^nn!}\Rightarrow xe^{-\frac{x^2}{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{x^{2n+1}(-1)^n}{2^n n!}=\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{x^{2n+1}(-1)^n}{(2n)!!}$<br />$ lo que nos da: $TEX: $\displaystyle\int_{0}^{\infty}\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{x^{2n}}{4^n(n!)^2}xe^{-\frac{x^2}{2}}dx$, haciendo $u=\dfrac{x^2}{2}\Rightarrow du=xdx$$ $TEX: $I=\displaystyle\int_{0}^{\infty}\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(2u)^n}{4^n(n!)^2}e^{-u}du=\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{1}{2^n(n!)^2}\int_{0}^{\infty}u^ne^{-u}du$$ $TEX: $I=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{1}{2^n(n!)^2}\Gamma(n+1)=\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{1}{2^nn!}=\sqrt{e}$$ saludos Mensaje modificado por walatoo el Jun 29 2011, 10:52 PM -------------------- Estudiante de 4° año ing civil mec utfsm $TEX: $\sqrt[3]{\dfrac{1}{\cos\left(\frac{\pi}{7}\right)}}-\sqrt[3]{\dfrac{1}{\cos\left(\frac{2\pi}{7}\right)}}+\sqrt[3]{\dfrac{1}{\cos\left(\frac{3\pi}{7}\right)}}=\sqrt[3]{6\sqrt[3]{7}-8}$$

7words Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 29 2011, 11:02 PM Publicado: #72
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.756 Registrado: 16-September 07 Desde: al frente del Express Miembro Nº: 10.238 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	NickdrA deberias cambiar tu propuesto dado que ya estaba resuelto.sorry :/ .... o que proponga walato ya qe tb resolvio uno Mensaje modificado por 7words el Jun 29 2011, 11:07 PM -------------------- Ahora van quedando en el foro solo los niñitos tontitos graves, que lata... u.u

ajenjo	Jun 29 2011, 11:13 PM Publicado: #74
Invitado	CITA(walatoo @ Jun 29 2011, 11:51 PM) Creo haberlo resuelto: notemos que la integral se puede escribir como: $TEX: $\displaystyle\int_{0}^{\infty}\left(\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{x^{2n+1}(-1)^n}{(2n)!!}\right)\left(\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{x^{2n}}{(2n)!!^2}\right)dx$$ luego notamos que: $TEX: $e^x=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{x^n}{n!}\Rightarrow e^{-\frac{x^2}{2}}=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^nx^{2n}}{2^nn!}\Rightarrow xe^{-\frac{x^2}{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{x^{2n+1}(-1)^n}{2^n n!}=\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{x^{2n+1}(-1)^n}{(2n)!!}$<br />$ lo que nos da: $TEX: $\displaystyle\int_{0}^{\infty}\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{x^{2n}}{4^n(n!)^2}xe^{-\frac{x^2}{2}}dx$, haciendo $u=\dfrac{x^2}{2}\Rightarrow du=xdx$$ $TEX: $I=\displaystyle\int_{0}^{\infty}\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(2u)^n}{4^n(n!)^2}e^{-u}du=\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{1}{2^n(n!)^2}\int_{0}^{\infty}u^ne^{-u}du$$ $TEX: $I=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{1}{2^n(n!)^2}\Gamma(n+1)=\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{1}{2^nn!}=\sqrt{e}$$ saludos Así es. Me demoré mas en encontrar la serie de Taylor de la izquierda mas que la de la derecha xD!.

felper Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 30 2011, 12:13 AM Publicado: #75
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.767 Registrado: 21-January 08 Desde: Santiago - Ancud Miembro Nº: 14.865 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	La discusión se movió al siguiente tema: http://www.fmat.cl/index.php?showtopic=70578 Sigan con la Integral Bee -------------------- Estudia para superarte a ti mismo, no al resto.

ajenjo	Jun 30 2011, 09:44 AM Publicado: #76
Invitado	CITA(NickdrA @ Jun 30 2011, 12:12 AM) Entonces dejo esta otra integral: $TEX: $$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin^2(\pi t) e^{i \frac{2}{3}\pi t}}{t^2} dt $$$ $TEX: $ (e^{i\pi })^{\frac{2t}{3}} = ((-1)^{\frac{2}{3}})^t =1$$ Integrando por partes: $TEX: $\rightarrow \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin^2(\pi t) e^{i \frac{2}{3}\pi t}}{t^2} dt= \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin^2(\pi t) }{t^2} dt= (\pi \sin(2\pi t) + \frac{\cos(2\pi t) -1}{2t})\|_{-\infty}^{0}+ (\pi \sin(2\pi t) + \frac{\cos(2\pi t) -1}{2t})\|_{0}^{\infty}$<br />$ Perdí mucho tiempo editando el error del Latex xD , en un ratito más sigo, lo dejo abierto para quien quiera matarlo. Mensaje modificado por ajenjo el Jun 30 2011, 10:41 AM

master_c	Jun 30 2011, 02:03 PM Publicado: #77
Invitado	CITA(ajenjo @ Jun 30 2011, 10:44 AM) $TEX: $ (e^{i\pi })^{\frac{2t}{3}} = ((-1)^{\frac{2}{3}})^t =1$$ Integrando por partes: $TEX: $\rightarrow \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin^2(\pi t) e^{i \frac{2}{3}\pi t}}{t^2} dt= \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin^2(\pi t) }{t^2} dt= (\pi \sin(2\pi t) + \frac{\cos(2\pi t) -1}{2t})\|_{-\infty}^{0}+ (\pi \sin(2\pi t) + \frac{\cos(2\pi t) -1}{2t})\|_{0}^{\infty}$<br />$ Perdí mucho tiempo editando el error del Latex xD , en un ratito más sigo, lo dejo abierto para quien quiera matarlo. seguro ?

walatoo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 30 2011, 02:18 PM Publicado: #78
Dios Matemático Supremo Grupo: Team Ensayos FMAT Mensajes: 1.294 Registrado: 16-March 09 Desde: ancud Miembro Nº: 45.100 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(ajenjo @ Jun 30 2011, 11:44 AM) $TEX: $ (e^{i\pi })^{\frac{2t}{3}} = ((-1)^{\frac{2}{3}})^t =1$$ Integrando por partes: $TEX: $\rightarrow \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin^2(\pi t) e^{i \frac{2}{3}\pi t}}{t^2} dt= \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin^2(\pi t) }{t^2} dt= (\pi \sin(2\pi t) + \frac{\cos(2\pi t) -1}{2t})\|_{-\infty}^{0}+ (\pi \sin(2\pi t) + \frac{\cos(2\pi t) -1}{2t})\|_{0}^{\infty}$<br />$ Perdí mucho tiempo editando el error del Latex xD , en un ratito más sigo, lo dejo abierto para quien quiera matarlo. juajaua iva a decir lo mismo que master_c, a mi me da otra cosa , pero el paso clave o el "truquillo" fue lo que mostró ajenjo, notar el exp[-iPi] e integración por partes $TEX: $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\dfrac{\sin^2(\pi t)}{t^2}dt$, hacemos $u=\sin^2(\pi t)\Rightarrow du=\pi\sin(2\pi t)dt, dv=\dfrac{1}{t^2}dt\Rightarrow v=-\dfrac{1}{t}$$ $TEX: $I=\displaystyle\dfrac{\sin^2(\pi t)}{t}\|_{-\infty}^{\infty}+\pi\int_{-\infty}^{\infty}\dfrac{\sin(2\pi t)}{t}d=\pi\int_{-\infty}^{\infty}\dfrac{\sin(2\pi t)}{t}dt$$ $TEX: haciendo $ 2\pi t=x\Rightarrow 2\pi dt=dx$$ $TEX: $I=\displaystyle\pi\int_{-\infty}^{\infty}\dfrac{\sin x}{x}dx=\pi^2$$ saludos, espero no haberla vendido xd Mensaje modificado por walatoo el Jun 30 2011, 02:30 PM -------------------- Estudiante de 4° año ing civil mec utfsm $TEX: $\sqrt[3]{\dfrac{1}{\cos\left(\frac{\pi}{7}\right)}}-\sqrt[3]{\dfrac{1}{\cos\left(\frac{2\pi}{7}\right)}}+\sqrt[3]{\dfrac{1}{\cos\left(\frac{3\pi}{7}\right)}}=\sqrt[3]{6\sqrt[3]{7}-8}$$

walatoo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 30 2011, 02:34 PM Publicado: #79
Dios Matemático Supremo Grupo: Team Ensayos FMAT Mensajes: 1.294 Registrado: 16-March 09 Desde: ancud Miembro Nº: 45.100 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(walatoo @ Jun 30 2011, 04:18 PM) juajaua iva a decir lo mismo que master_c, a mi me da otra cosa , pero el paso clave o el "truquillo" fue lo que mostró ajenjo, notar el exp[-iPi] e integración por partes $TEX: $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\dfrac{\sin^2(\pi t)}{t^2}dt$, hacemos $u=\sin^2(\pi t)\Rightarrow du=\pi\sin(2\pi t)dt, dv=\dfrac{1}{t^2}dt\Rightarrow v=-\dfrac{1}{t}$$ $TEX: $I=\displaystyle\dfrac{\sin^2(\pi t)}{t}\|_{-\infty}^{\infty}+\pi\int_{-\infty}^{\infty}\dfrac{\sin(2\pi t)}{t}d=\pi\int_{-\infty}^{\infty}\dfrac{\sin(2\pi t)}{t}dt$$ $TEX: haciendo $ 2\pi t=x\Rightarrow 2\pi dt=dx$$ $TEX: $I=\displaystyle\pi\int_{-\infty}^{\infty}\dfrac{\sin x}{x}dx=\pi^2$$ saludos, espero no haberla vendido xd propongo $TEX: Determine todos lo valores de $a$ que cumplen la igualdad: $$\displaystyle\int_{1}^{2}(1+a\ln(x))x^{x^a+a-1}dx=15$$$ -------------------- Estudiante de 4° año ing civil mec utfsm $TEX: $\sqrt[3]{\dfrac{1}{\cos\left(\frac{\pi}{7}\right)}}-\sqrt[3]{\dfrac{1}{\cos\left(\frac{2\pi}{7}\right)}}+\sqrt[3]{\dfrac{1}{\cos\left(\frac{3\pi}{7}\right)}}=\sqrt[3]{6\sqrt[3]{7}-8}$$

master_c	Jun 30 2011, 02:58 PM Publicado: #80
Invitado	CITA(walatoo @ Jun 30 2011, 03:34 PM) propongo $TEX: Determine todos lo valores de $a$ que cumplen la igualdad: $$\displaystyle\int_{1}^{2}(1+a\ln(x))x^{x^a+a-1}dx=15$$$ con eso es mas que directo $TEX: $$<br />x^{x^a } = u<br />$$$ $TEX: $$<br />u' = x^{x^a } \left( {ax^{a - 1} \ln x + x^{a - 1} } \right)<br />$$$ a = 2 Ofrezco $TEX: $$<br />\int_0^1 {\frac{{\arcsin \sqrt x }}<br />{{2x^2 - 2x + 3}}} dx<br />$$$ Mensaje modificado por master_c el Jun 30 2011, 03:04 PM

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