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FMAT Integral Bee!

nmg1302 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 18 2011, 08:42 PM Publicado: #41
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 832 Registrado: 11-September 07 Desde: París, Francia Miembro Nº: 10.056 Nacionalidad: Sexo:	CITA(master_c @ Jun 18 2011, 12:24 PM) usando algo de mi desarrollo anterior $TEX: $$<br />I = \frac{1}<br />{2}\int_{ - \infty }^{ + \infty } {\frac{{e^y }}<br />{{1 + e^{2y} }}\left( {e^{yi} + e^{yi} } \right)dy = } \frac{1}<br />{2}\int_0^{ + \infty } {\frac{{u^i + u^{ - i} }}<br />{{1 + u^2 }}du} = \frac{1}<br />{4}\int_0^{ + \infty } {\frac{{k^{\frac{1}<br />{2}i} + k^{ - \frac{1}<br />{2}i} }}<br />{{\left( {1 + k} \right)\sqrt k }}du} <br />$$$ $TEX: $$<br />\frac{1}<br />{4}\int_0^{ + \infty } {\left( {k^{\frac{1}<br />{2}\left( { - 1 + i} \right)} + k^{ - \frac{1}<br />{2}\left( {1 + i} \right)} } \right)\frac{{dk}}<br />{{\left( {1 + k} \right)}}} = \frac{1}<br />{4}\int_0^{ + \infty } {\left( {k^{\frac{1}<br />{2}\left( { - 1 + i} \right)} + k^{ - \frac{1}<br />{2}\left( {1 + i} \right)} } \right)\int_0^{ + \infty } {e^{ - \left( {1 + k} \right)p} } dpdk} <br />$$$ $TEX: $$<br />\frac{1}<br />{4}\int_0^{ + \infty } {e^{ - p} \left( {\Gamma \left( {\frac{1}<br />{2} + \frac{i}<br />{2}} \right)p^{ - \frac{1}<br />{2}\left( {1 + i} \right)} + \Gamma \left( {\frac{1}<br />{2} - \frac{i}<br />{2}} \right)p^{ - \frac{1}<br />{2}\left( {1 - i} \right)} } \right)dp = } \frac{1}<br />{2}\Gamma \left( {\frac{1}<br />{2} - \frac{i}<br />{2}} \right)\Gamma \left( {\frac{1}<br />{2} + \frac{i}<br />{2}} \right)<br />$$$ $TEX: $$<br />\frac{1}<br />{2}\Gamma \left( {\frac{1}<br />{2} - \frac{i}<br />{2}} \right)\Gamma \left( {1 - \left( {\frac{1}<br />{2} - \frac{i}<br />{2}} \right)} \right) = \frac{\pi }<br />{2}\frac{1}<br />{{\sin \left( {\frac{\pi }<br />{2} - \frac{\pi }<br />{2}i} \right)}} = \frac{\pi }<br />{2}\frac{1}<br />{{\cos \left( {\frac{\pi }<br />{2}i} \right)}} = \frac{\pi }<br />{2}\frac{1}<br />{{\cosh \frac{\pi }<br />{2}}} = \frac{\pi }<br />{2}\sec h\frac{\pi }<br />{2}<br />$$$ propongo $TEX: $$<br />\int_0^\pi {\ln \left( {1 - 2a\cos x + a^2 } \right)} dx<br />$$<br />$ Excelente, la forma que yo conocía era con residuos como decían por ahí, y la puse justamente para ver si aparecía una solución sin residuos. Notar que el resultado se puede escribir asi $TEX: <br />$$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\cos x}{e^x+e^{-x}} dx=\frac{\pi}{e^{\frac \pi 2}+e^{-\frac \pi 2}}$$<br />$

master_c	Jun 18 2011, 09:02 PM Publicado: #42
Invitado	CITA(nmg1302 @ Jun 18 2011, 09:42 PM) Excelente, la forma que yo conocía era con residuos como decían por ahí, y la puse justamente para ver si aparecía una solución sin residuos. Notar que el resultado se puede escribir asi $TEX: <br />$$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\cos x}{e^x+e^{-x}} dx=\frac{\pi}{e^{\frac \pi 2}+e^{-\frac \pi 2}}$$<br />$ aun asi quede picao por la serie, alguuuuun dia la podre calcular xd

Crash! Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 18 2011, 09:24 PM Publicado: #43
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 929 Registrado: 22-June 08 Desde: Santiago Miembro Nº: 27.979 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(master_c @ Jun 18 2011, 10:02 PM) aun asi quede picao por la serie, alguuuuun dia la podre calcular xd Resolviendo la integral -------------------- Ex-Electrico Usach 2008 Mechón Injenieria 2009 Tengo Sed.

「Krizalid」 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 19 2011, 12:53 AM Publicado: #44
Staff FMAT Grupo: Super Moderador Mensajes: 8.124 Registrado: 21-May 06 Miembro Nº: 1.156 Nacionalidad: Sexo:	Se puede ocupar lo que tengo en este hilo: QUOTE(Krizalid @ Jan 6 2009, 04:06 PM) En realidad $TEX: $$f(\alpha)=\int_{0}^{\pi }{\ln \left( 1-2\alpha \cos x+\alpha ^{2} \right)\,dx}=0,$$$ dado $TEX: $\|\alpha\|<1.$$ Por otra parte, para $TEX: $\|\alpha\|>1$$ se tiene que $TEX: $$\frac1{\|\alpha\|}<1$$$ con esto se sigue que $TEX: $$f\left( \frac{1}{\alpha } \right)=0,$$$ y de aquí $TEX: $$f\left( \frac{1}{\alpha } \right)=f(\alpha )-2\pi \ln \left\| \alpha \right\|\implies f(\alpha )=2\pi \ln \left\| \alpha \right\|,\,\forall \,\alpha \in \,(-\infty ,-1)\cup (1,\infty ).$$$ Además $TEX: $f(0)=0,$$ luego para probar que $TEX: $f(\alpha)=0$$ dado $TEX: $\|\alpha\|<1,$$ solamente tienes que probar que $TEX: $$f'(\alpha )=2\int_{0}^{\pi }{\frac{\alpha -\cos x}{1-2\alpha \cos x+\alpha ^{2}}\,dx}=0.$$$ Faltaría terminar la última parte para resolver el problema.

master_c	Jun 20 2011, 04:56 PM Publicado: #45
Invitado	creo que ya han pasado dos dias, tendre que cambiar el problema? ... propongo considere $TEX: $\frac{\delta }{\xi } \geqslant 1$$ $TEX: $$<br />\int_0^{ + \infty } {\frac{1}<br />{x}\left( {\frac{1}<br />{{1 + \delta ^2 x^2 }} - \cos \xi x} \right)} dx<br />$$$ Mensaje modificado por master_c el Jun 20 2011, 07:50 PM

「Krizalid」 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 21 2011, 11:29 AM Publicado: #46
Staff FMAT Grupo: Super Moderador Mensajes: 8.124 Registrado: 21-May 06 Miembro Nº: 1.156 Nacionalidad: Sexo:	No, en realidad tienes que entregar la solución al problema, como lo dice el post principal. Después de eso propones otro problema.

danielomalmsteen Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 21 2011, 12:56 PM Publicado: #47
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 3.413 Registrado: 13-March 08 Desde: Al frente del mundo Magico Miembro Nº: 16.846 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(master_c @ Jun 20 2011, 05:56 PM) creo que ya han pasado dos dias, tendre que cambiar el problema? ... propongo considere $TEX: $\frac{\delta }{\xi } \geqslant 1$$ $TEX: $$<br />\int_0^{ + \infty } {\frac{1}<br />{x}\left( {\frac{1}<br />{{1 + \delta ^2 x^2 }} - \cos \xi x} \right)} dx<br />$$$ Y que paso con el problema que editaste?? --------------------

master_c	Jun 21 2011, 02:38 PM Publicado: #48
Invitado	CITA(Krizalid @ Jun 21 2011, 12:29 PM) No, en realidad tienes que entregar la solución al problema, como lo dice el post principal. Después de eso propones otro problema. me propuse revisar todos los problemas del banco deresueltos y encontre http://www.fmat.cl/index.php?showtopic=37985 aora me doy cuenta que es un copy paste de lo que tenias xd

「Krizalid」 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 21 2011, 02:40 PM Publicado: #49
Staff FMAT Grupo: Super Moderador Mensajes: 8.124 Registrado: 21-May 06 Miembro Nº: 1.156 Nacionalidad: Sexo:	Sí pues, si por algo dejé la cita, y dentro de la cita llegas a ese post de forma inmediata, por qué lo buscaste? XD Lo dejé inconcluso y nunca lo terminé, si quieres lo terminas o muetras tu solución y propones un nuevo problema.

master_c	Jun 21 2011, 05:00 PM Publicado: #50
Invitado	CITA(Krizalid @ Jun 21 2011, 03:40 PM) Sí pues, si por algo dejé la cita, y dentro de la cita llegas a ese post de forma inmediata, por qué lo buscaste? XD Lo dejé inconcluso y nunca lo terminé, si quieres lo terminas o muetras tu solución y propones un nuevo problema. en realidad estoy muy obsesionado con aprender a integrar toda clase de funciones xd y me puse a revisar los del banco resuelto solo fue simple coincidencia ahora que me fijo la solucion que le di es casi identica a lo que pusiste, era cosa de notar que I(a)=2pilog\|a\|+I(1/a) por que dices que esta inconclusa ? solo queda el caso a = 1 aca otra solucion un poco mas algebraica considere la funcion $TEX: $$<br />Kleft( a right) = int_0^pi {ln left( {1 - 2acos x + a^2 } right)} dx<br />$$$ notar que $TEX: $Kleft( 0 right) = 0$$ $TEX: $$<br />K'left( a right) = int_0^pi {frac{{ - 2cos x + 2a}}<br />{{1 - 2acos x + a^2 }}} dx = frac{1}<br />{a}int_0^pi {frac{{1 - 2acos x + a^2 - 1 + a^2 }}<br />{{1 - 2acos x + a^2 }}} dx = frac{1}<br />{a}int_0^pi {1 - frac{{1 - a^2 }}<br />{{1 - 2acos x + a^2 }}} dx<br />$$$ con un poquito de algebra es facil notar que $TEX: $$<br />K'left( a right) = frac{pi }<br />{a} - frac{{1 - a^2 }}<br />{{aleft( {1 + a^2 } right)}}int_0^pi {frac{{dx}}<br />{{1 - frac{{2a}}<br />{{1 + a^2 }}cos x}}} <br />$$$ $TEX: $$<br />I = int {frac{{dx}}<br />{{1 - pcos x}}} = int {frac{1}<br />{{1 - pfrac{{1 - u^2 }}<br />{{1 + u^2 }}}}} frac{2}<br />{{1 + u^2 }}du = frac{2}<br />{{1 - p}}int {frac{1}<br />{{1 + frac{{1 + p}}<br />{{1 - p}}u^2 }}} du<br />$$$ $TEX: $$<br /> = frac{2}<br />{{1 - p}}sqrt {frac{{1 - p}}<br />{{1 + p}}} tan ^{ - 1} left( {sqrt {frac{{1 + p}}<br />{{1 - p}}} tan frac{x}<br />{2}} right) + C<br />$$$ entonces $TEX: $$<br />K'left( a right) = frac{pi }<br />{a} - frac{{1 - a^2 }}<br />{{aleft( {1 + a^2 } right)}}left( {frac{{2left( {1 + a^2 } right)}}<br />{{left( {1 - a} right)^2 }}left\| {frac{{1 - a}}<br />{{1 + a}}} right\|tan ^{ - 1} left( {left\| {frac{{1 + a}}<br />{{1 - a}}} right\|tan frac{x}<br />{2}} right)} right)_0^pi <br />$$$ notese que para $TEX: $$<br />left\| a right\| < 1 Rightarrow K'left( a right) = frac{pi }<br />{a} - frac{1}<br />{a}frac{2}<br />{1}frac{pi }<br />{2} = 0<br />$$$ y $TEX: $$<br />Kleft( a right) = C = 0;,;forall left\| a right\| < 1<br />$$$ para $TEX: $left\| a right\| > 1 Rightarrow K'left( a right) = frac{{2pi }}{a}$$ $TEX: $$<br />Kleft( a right) = 2pi log left\| a right\| + 0 = 2pi log left\| a right\|<br />$$$ para el caso $TEX: $a = 1$$ es simple si consideramos un post que hizo krizalid de un pdf que habla de la serie de $TEX: ln(sin(x))$ $TEX: $$<br />Kleft( 1 right) = pi ln 2 + int_0^pi {ln left( {2sin ^2 frac{x}<br />{2}} right)} dx = 2pi ln 2 + 2int_0^pi {ln left( {sin frac{x}<br />{2}} right)} dx = 2pi ln 2 + 4int_0^{frac{pi }<br />{2}} {ln left( {sin u} right)} du<br />$$$ $TEX: $$<br /> = 2pi ln 2 + 4left( { - frac{pi }<br />{2}ln 2} right) = 0<br />$$$ entonces, resumiendo los valores de las integrales son $TEX: $$<br />left\| a right\| leqslant 1 Rightarrow Kleft( a right) = 0<br />$$$ $TEX: $$<br />left\| a right\| > 1 Rightarrow Kleft( a right) = 2pi log left\| a right\|<br />$$$ http://www.fmat.cl/index.php?showtopic=21178 jejeje encontre el valor de la integral deun posteo antiguo Mensaje modificado por master_c el Jun 21 2011, 08:12 PM

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