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FMAT Integral Bee!

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「Krizalid」 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 16 2011, 10:28 PM Publicado: #1
Staff FMAT Grupo: Super Moderador Mensajes: 8.124 Registrado: 21-May 06 Miembro Nº: 1.156 Nacionalidad: Sexo:	Esto funciona de la siguiente manera: se empieza dando una integral para resolver. Si se tiene una respuesta completa y correcta, se postea, de lo contrario no posteen. Se postea la solución y en el mismo post, la integral para que otros la resuelvan. Si nadie resuelve la integral durante 48 horas, que no es muy probable, el que la propuso ha de resolverla y de nuevo será el turno para desafiarnos con un problema nuevo. Cualquiera puede participar, e incluso se pueden postear soluciones alternas a problemas ya resueltos. (Para esto citen el problema para mantener el orden.) Finalmente, asegúrense de que su problema sea interesante, con resultado elemental y que tampoco sea muy fácil de resolver, ni mucho menos den un Hint!!! (Pueden asumir resultados clásicos para ser aplicados a la resolución de cualquier problema.) Partimos: Evaluar $TEX: $$\int_{3}^{5}{\left( \sqrt{x+2\sqrt{2x-4}}+\sqrt{x-2\sqrt{2x-4}} \right)\,dx}.$$$

「Krizalid」 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 16 2011, 10:51 PM Publicado: #3
Staff FMAT Grupo: Super Moderador Mensajes: 8.124 Registrado: 21-May 06 Miembro Nº: 1.156 Nacionalidad: Sexo:	NickdrA, el resultado no es correcto, revísalo.

danielomalmsteen Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 16 2011, 11:04 PM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 3.413 Registrado: 13-March 08 Desde: Al frente del mundo Magico Miembro Nº: 16.846 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	[quote name='NickdrA' date='Jun 16 2011, 11:46 PM' post='534517'] $TEX: Evaluar $\displaystyle \int_0^{\pi} \frac{x \sin (x) }{1+ \cos^2 (x)} dx$$ $TEX: \[\begin{gathered}<br /> I = \int\limits_0^\pi {\frac{{x\sin xdx}}<br />{{1 + {{\cos }^2}x}}} \underbrace = _{x \to \pi - x} - \int\limits_\pi ^0 {\frac{{\left( {\pi - x} \right)\sin xdx}}<br />{{1 + {{\cos }^2}x}}} = \pi \int\limits_0^\pi {\frac{{\sin xdx}}<br />{{1 + {{\cos }^2}x}}} - I \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> 2I = \pi \int\limits_0^\pi {\frac{{\sin xdx}}<br />{{1 + {{\cos }^2}x}}} \underbrace = _{u = \cos x}\pi \int\limits_{ - 1}^1 {\frac{{du}}<br />{{1 + {u^2}}}} = \pi \left( {\arctan \left( 1 \right) - \arctan \left( { - 1} \right)} \right) = \frac{{{\pi ^2}}}<br />{2} \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> \to I = \frac{{{\pi ^2}}}<br />{4} \hfill \\ <br />\end{gathered} \]<br />$ Propongo: $TEX: \[\int\limits_0^1 {\frac{{\ln xdx}}<br />{{1 + {x^2}}}} \]<br />$ --------------------

Crash! Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 16 2011, 11:05 PM Publicado: #5
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 929 Registrado: 22-June 08 Desde: Santiago Miembro Nº: 27.979 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: \[\begin{gathered}<br /> {\text{hacemos la sustitucion }}t = \pi - x \hfill \\<br /> I = \int\limits_0^\pi {\frac{{\left( {\pi - t} \right)\sin \left( t \right)}}{{1 + {{\cos }^2}\left( t \right)}}dt} = \pi \int\limits_0^\pi {\frac{{\sin \left( t \right)}}{{1 + {{\cos }^2}\left( t \right)}}dt} - I \hfill \\<br /> 2I = \pi \arctan \left( {\cos \left( t \right)} \right)_\pi ^0 = 2\pi \arctan \left( 1 \right) \hfill \\<br /> I = \frac{{{\pi ^2}}}{4} \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{Evaluar}} \hfill \\<br /> \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sqrt {\cot \left( x \right)} dx} \hfill \\ <br />\end{gathered} \]$ me ganaste ¬¬ Mensaje modificado por Crash! el Jun 16 2011, 11:05 PM -------------------- Ex-Electrico Usach 2008 Mechón Injenieria 2009 Tengo Sed.

danielomalmsteen Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 16 2011, 11:18 PM Publicado: #6
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 3.413 Registrado: 13-March 08 Desde: Al frente del mundo Magico Miembro Nº: 16.846 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Crash! @ Jun 17 2011, 12:05 AM) $TEX: \[\begin{gathered}<br /> {\text{hacemos la sustitucion }}t = \pi - x \hfill \\<br /> I = \int\limits_0^\pi {\frac{{\left( {\pi - t} \right)\sin \left( t \right)}}{{1 + {{\cos }^2}\left( t \right)}}dt} = \pi \int\limits_0^\pi {\frac{{\sin \left( t \right)}}{{1 + {{\cos }^2}\left( t \right)}}dt} - I \hfill \\<br /> 2I = \pi \arctan \left( {\cos \left( t \right)} \right)_\pi ^0 = 2\pi \arctan \left( 1 \right) \hfill \\<br /> I = \frac{{{\pi ^2}}}{4} \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{Evaluar}} \hfill \\<br /> \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sqrt {\cot \left( x \right)} dx} \hfill \\ <br />\end{gathered} \]$ me ganaste ¬¬ $TEX: \[\begin{gathered}<br /> I = \int\limits_0^{\frac{\pi }<br />{2}} {\sqrt {\cot x} dx} = \int\limits_0^{\frac{\pi }<br />{2}} {{{\cos }^{2\left( {\frac{3}<br />{4}} \right) - 1}}x \cdot {{\sin }^{2\left( {\frac{1}<br />{4}} \right) - 1}}xdx} = \frac{1}<br />{2}{\rm B}\left( {\frac{3}<br />{4}} \right){\rm B}\left( {\frac{1}<br />{4}} \right) \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> = \frac{1}<br />{2}\frac{\pi }<br />{{\sin \left( {\frac{\pi }<br />{4}} \right)}} = \frac{\pi }<br />{{\sqrt 2 }} \hfill \\ <br />\end{gathered} \]<br />$ Propongo: $TEX: \[\int\limits_0^1 {\frac{{\ln \left( {1 + x} \right)dx}}<br />{x}} \]<br />$ --------------------

「Krizalid」 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 16 2011, 11:25 PM Publicado: #7
Staff FMAT Grupo: Super Moderador Mensajes: 8.124 Registrado: 21-May 06 Miembro Nº: 1.156 Nacionalidad: Sexo:	No se desordenen, este fue el problema que había de ser resuelto: QUOTE(danielomalmsteen @ Jun 17 2011, 12:04 AM) $TEX: \[\int\limits_0^1 {\frac{{\ln xdx}}<br />{{1 + {x^2}}}} \]<br />$ $TEX: $$\int_{0}^{1}{{{x}^{2k}}\ln x\,dx}=-\int_{0}^{1}{\int_{x}^{1}{\frac{{{x}^{2k}}}{t}\,dt}\,dx}=-\int_{0}^{1}{\int_{0}^{t}{\frac{{{x}^{2k}}}{t}\,dx}\,dt}=-\frac{1}{2k+1}\int_{0}^{1}{{{t}^{2k}}\,dt}=-\frac{1}{{{(2k+1)}^{2}}}.$$$ Entonces, $TEX: $$\int_{0}^{1}{\frac{\ln x}{1+{{x}^{2}}}\,dx}=\sum\limits_{k=0}^{\infty }{{{(-1)}^{k}}\int_{0}^{1}{{{x}^{2k}}\ln x\,dx}}=-\sum\limits_{k=0}^{\infty }{\frac{{{(-1)}^{k}}}{{{(2k+1)}^{2}}}}=-G,$$$ donde $TEX: $G$$ es la constante de Catalán.

Crash! Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 16 2011, 11:29 PM Publicado: #8
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 929 Registrado: 22-June 08 Desde: Santiago Miembro Nº: 27.979 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: \[\begin{gathered}<br /> sea \hfill \\<br /> I = \int\limits_0^1 {\frac{{\ln \left( {1 + x} \right)}}{x}dx} \hfill \\<br /> como\;\frac{1}{{1 + x}} = \sum\limits_{k = 0}^\infty {{{\left( { - 1} \right)}^k}{x^k}} \hfill \\<br /> I = \int\limits_0^1 {\sum\limits_{k = 0}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^k}{x^k}}}{{k + 1}}} dx} = \sum\limits_{k = 0}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^k}}}{{{{\left( {k + 1} \right)}^2}}}} = \sum\limits_{k = 1}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{k + 1}}}}{{{k^2}}}} = \frac{{{\pi ^2}}}{{12}} \hfill \\ <br />\end{gathered} \]$ $TEX: \[\int\limits_0^\infty {\frac{{\cos \left( x \right) - 1}}{{{x^2}}}dx} \]$ Mensaje modificado por Crash! el Jun 16 2011, 11:39 PM -------------------- Ex-Electrico Usach 2008 Mechón Injenieria 2009 Tengo Sed.

danielomalmsteen Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 17 2011, 12:10 AM Publicado: #9
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 3.413 Registrado: 13-March 08 Desde: Al frente del mundo Magico Miembro Nº: 16.846 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Crash! @ Jun 17 2011, 12:29 AM) $TEX: \[\begin{gathered}<br /> sea \hfill \\<br /> I = \int\limits_0^1 {\frac{{\ln \left( {1 + x} \right)}}{x}dx} \hfill \\<br /> como\;\frac{1}{{1 + x}} = \sum\limits_{k = 0}^\infty {{{\left( { - 1} \right)}^k}{x^k}} \hfill \\<br /> I = \int\limits_0^1 {\sum\limits_{k = 0}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^k}{x^k}}}{{k + 1}}} dx} = \sum\limits_{k = 0}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^k}}}{{{{\left( {k + 1} \right)}^2}}}} = \sum\limits_{k = 1}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{k + 1}}}}{{{k^2}}}} = \frac{{{\pi ^2}}}{{12}} \hfill \\ <br />\end{gathered} \]$ $TEX: \[\int\limits_0^\infty {\frac{{\cos \left( x \right) - 1}}{{{x^2}}}dx} \]$ $TEX: \[\begin{gathered}<br /> I\left( u \right) = \int\limits_0^\infty {\frac{{\cos \left( {ux} \right) - 1}}<br />{{{x^2}}}dx} \to I'\left( u \right) = - \int\limits_0^\infty {\frac{{\sin \left( {ux} \right)}}<br />{x}dx} = - \frac{\pi }<br />{2} \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> \to I'\left( u \right) = - \frac{\pi }<br />{2} \to I\left( u \right) = - \frac{{\pi u}}<br />{2} + C \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> I\left( 0 \right) = 0 \to C = 0 \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> \therefore I\left( 1 \right) = - \frac{\pi }<br />{2} \hfill \\ <br />\end{gathered} \]<br />$ Propongo: $TEX: \[\int\limits_0^1 {\frac{{\ln x}}<br />{{\sqrt x }}dx} \]<br />$ cambiada a pedido del publico xD Mensaje modificado por danielomalmsteen el Jun 17 2011, 12:33 AM --------------------

danielomalmsteen Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 17 2011, 12:25 AM Publicado: #10
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 3.413 Registrado: 13-March 08 Desde: Al frente del mundo Magico Miembro Nº: 16.846 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Ta muy Paja? xDD Edit:ahi la cambie xd Mensaje modificado por danielomalmsteen el Jun 17 2011, 12:33 AM --------------------

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