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Control 3 EDO 2011/1, Salomé Martínez

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Chaparrón Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 5 2011, 02:29 PM Publicado: #1
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 170 Registrado: 25-July 07 Miembro Nº: 7.812	Control 3 MA 2601, 2011/1 Prof. Salomé Martínez Aux. Edgardo Mathies y Sebastián Barbieri Duración 3 hrs. P1 a) Considere $TEX: $A: \mathbb{R} \to \mathbb{R} ^{2 \times 2}$$ continua. Sea $TEX: $W: \mathbb{R} \to \mathbb{R} ^{2 \times 2}$$ una solución de $TEX: $W'=A(t)W$$ 1) Demuestre que: $TEX: $\det \left( {W\left( t \right)} \right) = \det \left( {W\left( 0 \right)} \right)\exp \displaystyle \left( {\int_0^t {{a_{11}}\left( s \right) + {a_{22}}\left( s \right)ds} } \right)$$ Concluya que si las componentes de $TEX: $W(t)$$ son acotadas, entonces $TEX: ${\int_0^t {{a_{11}}\left( s \right) + {a_{22}}\left( s \right)ds} }$$ es acotada en $TEX: $\mathbb{R}$$ 2) Utilizando la parte anterior pruebe que existe al menos una solución del sistema $TEX: ${x_1}^\prime = t{x_1} + {x_2}$$ $TEX: ${x_2}^\prime = t\cos \left( t \right){x_1} + \cos \left( t \right){x_2}$$ que no es acotada en $TEX: $\mathbb{R}$$ Ind: Proceda por contradiccón, suponiendo que todas las soluciones del sistema son acotadas en $TEX: $\mathbb{R}$$ b) Sea $TEX: $A: \mathbb{R} \to \mathbb{R} ^{N \times N}$$ , tal que $TEX: $A(t)^T=-A(t)$$ 1) Sea $TEX: $W: \mathbb{R} \to \mathbb{R} ^{N \times N}$$ solución fundamental de $TEX: $W'=A(t)W$$ demuestre que $TEX: $W(t)^T$$ satisface $TEX: $V'=-VA(t)$$ 2) Demuestre que $TEX: $W(t)^TW(t)$$ es constante. Ind: Derive y use la parte anterior. 3) Demuestre que todas las soluciones del sistema $TEX: $x'=A(t)x$$ son acotadas en $TEX: $\mathbb{R}$$ Ind: Verifique que si $TEX: $x$$ es solución, entonces $TEX: $x(t)^Tx(t)$$ es constante. P2 a) Determine $TEX: $\mathcal{L}^{ - 1} \left\{ {\arctan \left( {\frac{3}<br />{{s + 2}}} \right)} \right\}$$ b) La siguiente ecuación es la ecuación de movimiento de una masa unida a un resorte que se libera con velocidad cero cuando está deformado una distancia $TEX: $x=1$$ desde la posición de equilibrio. Después de $TEX: $\pi /2$$ la masa es golpeada con un martillo que ejerce un impulso sobre la masa $TEX: $x'' + 9x = - 3\delta \left( {t - \dfrac{\pi }{2}} \right)$$ $TEX: $x(0)=1, x'(0)=0$$ Determine la solución de $TEX: $x(t)$$ para $TEX: $t \ge 0$$ ¿Qué le ocurre a la masa después de ser golpeada? ¿Por qué? P3 a) La trayectoria $TEX: $(x(t),y(t))$$ de una partícula de masa unitaria satisface las ecuaciones $TEX: $x''=ay',y''=-ax'$$ Con condiciones iniciales $TEX: $x(0)=r_0,x'(0)=0,y(0)=0,y'(0)=ar_0$$ Pruebe que la trayectoria de la partícula describe una circunferencia de radio $TEX: $r_0$$ b) Resuelva el problema del valor inicial: $TEX: $x''+4x'+4x=f(t),x(0)=x'(0)=0$$ $TEX: $f\left( t \right) = \left\{ \begin{gathered}<br /> t{\text{ si 0}} \leqslant t < 2 \hfill \\<br /> 0{\text{ si }}t > 2 \hfill \\ <br />\end{gathered} \right.$$

ignaciocq Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 20 2011, 05:18 PM Publicado: #2
Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 30 Registrado: 24-March 08 Miembro Nº: 17.782 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	GRANDE CHAPARRON

Abu-Khalil Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 21 2011, 11:17 AM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 3.812 Registrado: 4-November 07 Desde: Santiago Miembro Nº: 12.213 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	P2a $TEX: \noindent Como<br />$$\mathcal L\left\{\frac{f(t)}{t}\right\}=\int_s^\infty F(\tau)d\tau$$<br />y<br />$$\arctan\left(\frac{3}{s+2}\right)=\int_s^{\infty}\frac{3}{9+(\tau +2)^2}d\tau,$$<br />entonces<br />$$\mathcal L^{-1}\left\{\arctan\left(\frac 3{s+2}\right)\right\}=\frac{1}{t}\mathcal L^{-1}\left\{\frac{3}{9+(s +2)^2}\right\}=\frac1t e^{-2t}\sin 3t.$$<br />$ P2b $TEX: \noindent Tomando transformada de Laplace,<br />$$s^2\hat x-s+9\hat x=-3e^{-\frac{\pi s}2},$$<br />es decir,<br />$$\hat x=\frac{s-3e^{-\frac{\pi s}2}}{s^2+9}.$$<br />Luego,<br />$$x(t)=\cos 3t-u\left(t-\frac\pi 2\right)\cos 3t.$$<br />Es decir, cuando la masa va pasando por $x=0$ en $t=\frac \pi2$, se le pega un \emph{tate'quieto}.<br />$ PD: En el problema 3a, no estaran cambiados los signos? El problema se puede hacer y está bien, sólo que lo más típico es que sea al verre. -------------------- ~milopez $TEX: \[\mathfrak{L}=\int_{-\infty}^\infty e^{-289x^2}dx=\frac{\Gamma (\frac{1}{2})}{17}=\frac{\sqrt{\pi}}{17}\]$ $TEX: <br />\begin{equation}\begin{aligned}<br />dS_t&=\mu S_t dt+\sqrt{V_t}S_t dW^S_t\\<br />dV_t&=\kappa(\theta-V_t)dt+\sigma\sqrt{V_t} dW^V_t\\<br />\end{aligned}\end{equation}<br />$ $TEX: <br />$$\mathbb A^{\text U}_M(N)$$<br />$

prog__guitar Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 21 2011, 11:19 PM Publicado: #4
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 161 Registrado: 29-December 07 Miembro Nº: 14.172 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Abu-Khalil @ Jul 21 2011, 12:17 PM) P2a $TEX: \noindent Como<br />$$\mathcal L\left\{\frac{f(t)}{t}\right\}=\int_s^\infty F(\tau)d\tau$$<br />y<br />$$\arctan\left(\frac{3}{s+2}\right)=\int_s^{\infty}\frac{3}{9+(\tau +2)^2}d\tau,$$<br />entonces<br />$$\mathcal L^{-1}\left\{\arctan\left(\frac 3{s+2}\right)\right\}=\frac{1}{t}\mathcal L^{-1}\left\{\frac{3}{9+(s +2)^2}\right\}=\frac1t e^{-2t}\sin 3t.$$<br />$ P2b $TEX: \noindent Tomando transformada de Laplace,<br />$$s^2\hat x-s+9\hat x=-3e^{-\frac{\pi s}2},$$<br />es decir,<br />$$\hat x=\frac{s-3e^{-\frac{\pi s}2}}{s^2+9}.$$<br />Luego,<br />$$x(t)=\cos 3t-u\left(t-\frac\pi 2\right)\cos 3t.$$<br />Es decir, cuando la masa va pasando por $x=0$ en $t=\frac \pi2$, se le pega un \emph{tate'quieto}.<br />$ PD: En el problema 3a, no estaran cambiados los signos? El problema se puede hacer y está bien, sólo que lo más típico es que sea al verre. Están bien los signos, por lo menos así salían en la prueba y como tú dices se puede resolver. Amé esta prueba, fué el tremendo salvavidas con respecto a las 2 anteriores

Chaparrón Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 22 2011, 09:56 PM Publicado: #5
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 170 Registrado: 25-July 07 Miembro Nº: 7.812	CITA(prog__guitar @ Jul 22 2011, 12:19 AM) Amé esta prueba, fué el tremendo salvavidas con respecto a las 2 anteriores Lo mismo opino. De hecho mucha gente se salvó y hasta varios pudieron eximirse gracias a este control, también con la ayuda de la bajada de nota de exención a 5. En general estuvo abordable el control, algunos problemas o una versión parecida salían en la guía. En particular encontré bonito el P1 A), no dudé en usar mi teorema favorito... TEOREMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD

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