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> I1 Métodos de la Física Matemática II, primer semestre 2011
NickdrA
mensaje May 31 2011, 10:50 PM
Publicado: #1


Dios Matemático Supremo
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Métodos de la Física Matemática II
FIZ0313
Interrogación I


TEX: \begin{itemize}<br />\item[Problema 1:] \emph{Aplicación de los Polinomios Ortogonales}<br />\begin{itemize}<br />\item[a)] Utilice la fórmula de cuadratura de Gauss para obtener una aproximación de $\pi$ a partir de:<br />$$\displaystyle \frac{\pi}{4} = \int_0^1 \frac{dx}{1+x^2}$$<br />\item[b)] Evalue la integral:<br />$$\displaystyle \int_0^{\pi} \frac{a \sin (2 \theta) d \theta}{\sqrt{a^2 + 2ab \cos (\theta) + b^2}}$$<br />\end{itemize}<br />\item[Problema 2:] Los potenciales electrostático y gravitacional dependen de la cantidad $1/|r-r'|$, donde el vector de posición $r'$ marca la posición de la fuente (carga o masa) y el vector $r$ indica el punto de observación.<br />\begin{itemize}<br />\item[a)] Tomando $r$ a lo largo del eje $z$ y utilizando coordenadas esféricas y la definición de la función generatriz de los Polinomios de Legendre demuestre que:\\<br />$$\displaystyle \frac{1}{|r-r'|} = \frac{1}{r_{>}} \sum_{n=0}^{\infty} \left( \frac{r_{<}}{r_{>}} \right)^n P_n(\cos \theta)$$<br />donde $r_{<}$ $(r_{>})$ es el menor (mayor) de $r$ y $r'$ y $\theta$ es el ángulo polar.<br />\item[b)] El potencial electrostático o gravitacional $\Phi ®$ viene dado por:<br />$$\displaystyle \Phi ® = k \iiint \frac{\rho (r')}{|r-r'|} d^3r'$$<br />donde $k$ es una constante y $\rho(r')$ es la función densidad (de carga o de masa).\\<br />Utilize el resultado del inciso a) para demostrar que si la densidad depende solo de $|r'|$ (i.e. $\rho$ es esféricamente simétrica), entonces $\Phi ®$ se reduce al potencial de una carga o masa puntual en el origen, para $r > r'$. <br />\item[c)] Suponga que la carga o la masa está distribuida en un cascarón esférico de radio $a$. Si la densidad de carga $\rho$ es esféricamente simétrica, encuentre la expresión para $\Phi®$ para $r<a$.\\<br />¿Qué valor tendría el campo $E$ o $g$ en este caso?<br />\end{itemize}<br />\end{itemize}

TEX: \begin{itemize}<br />\item[Problema 3:] Asumiendo que la serie de Fourier correspondiente a $f(x)$ converge uniformemente a esta en $(-L,L)$, pruebe la identidad de Parseval:<br />$$\displaystyle \frac{1}{L} \int_{-L}^L (f(x))^2 dx = \frac{a_0^2}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} a_n^2 + b_n^2$$<br />donde $a_n$ y $b_n$ son los coeficientes del desarrollo de Fourier de $f(x)$.<br />\item[Problema 4:] Encuentre la serie de Fourier de:<br />$$f(x)= cos (\alpha x); \quad -\pi \leq x \leq \pi; \quad \mathrm{donde} \quad \alpha \neq 0; \pm 1, \pm 2, \pm 3 \dots $$<br />\begin{itemize}<br />\item[a)] Con $x=\pi$ en la serie de Fourier anterior, muestre que:<br />$$\displaystyle \pi \cot \alpha \pi - \frac{1}{\alpha} = \frac{2\alpha}{\alpha^2-1} + \frac{2\alpha}{\alpha^2-2^2}+ \frac{2\alpha}{\alpha^2-3^2}+ \cdots$$<br />\end{itemize}<br />\end{itemize}

Disfrutenla!! zippyyeahbt5.gif


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master_c
mensaje Jun 9 2011, 01:32 AM
Publicado: #2





Invitado
1b) pero solo usando algebra zippyuy.png
TEX: $$<br />I = \int_0^\pi {\frac{{a\sin 2x}}<br />{{\sqrt {a^2 + b^2 + 2ab\cos x} }}} dx = \frac{{2a}}<br />{{\sqrt {a^2 + b^2 } }}\int_0^\pi {\frac{{\sin x\cos x}}<br />{{\sqrt {1 + \frac{{2ab}}<br />{{a^2 + b^2 }}\cos x} }}} dx<br />$$
TEX: $$<br />I = \frac{{2a}}<br />{{\sqrt {a^2 + b^2 } }}\int_{ - 1}^1 {\frac{y}<br />{{\sqrt {1 + \frac{{2ab}}<br />{{a^2 + b^2 }}y} }}dy} = \frac{{2a}}<br />{{\sqrt {a^2 + b^2 } }}\int_{1 - \frac{{2ab}}<br />{{a^2 + b^2 }}}^{1 + \frac{{2ab}}<br />{{a^2 + b^2 }}} {\frac{{\left( {r - 1} \right)\frac{{a^2 + b^2 }}<br />{{2ab}}}}<br />{{\sqrt r }}\frac{{a^2 + b^2 }}<br />{{2ab}}dr} <br />$$
TEX: $$<br />I = \frac{{\left( {a^2 + b^2 } \right)\sqrt {a^2 + b^2 } }}<br />{{3ab^2 }}\left( {\left( {1 + \frac{{2ab}}<br />{{a^2 + b^2 }}} \right)\sqrt {1 + \frac{{2ab}}<br />{{a^2 + b^2 }}} - \left( {1 - \frac{{2ab}}<br />{{a^2 + b^2 }}} \right)\sqrt {1 - \frac{{2ab}}<br />{{a^2 + b^2 }}} } \right)<br />$$
TEX: $$<br /> - \frac{{\left( {a^2 + b^2 } \right)\sqrt {a^2 + b^2 } }}<br />{{ab^2 }}\left( {\sqrt {1 + \frac{{2ab}}<br />{{a^2 + b^2 }}} - \sqrt {1 - \frac{{2ab}}<br />{{a^2 + b^2 }}} } \right)<br />$$

ordenando todo esto
y suponiendo que TEX: $a > b > 0$
TEX: $$<br />I = \frac{{\left( {a^2 + b^2 } \right)\sqrt {a^2 + b^2 } }}<br />{{ab^2 }}\left( {\frac{1}<br />{3}\left( {\frac{{\left( {a + b} \right)^2 }}<br />{{a^2 + b^2 }}\frac{{\left| {a + b} \right|}}<br />{{\sqrt {a^2 + b^2 } }} - \frac{{\left( {a - b} \right)^2 }}<br />{{a^2 + b^2 }}\frac{{\left| {a - b} \right|}}<br />{{\sqrt {a^2 + b^2 } }}} \right) - \frac{{\left| {a + b} \right|}}<br />{{\sqrt {a^2 + b^2 } }} + \frac{{\left| {a - b} \right|}}<br />{{\sqrt {a^2 + b^2 } }}} \right)<br />$$
TEX: $$<br />I = \frac{{\left( {a^2 + b^2 } \right)\sqrt {a^2 + b^2 } }}<br />{{ab^2 }}\left( {\frac{1}<br />{{3\left( {a^2 + b^2 } \right)\sqrt {a^2 + b^2 } }}\left( {\left( {a + b} \right)^3 - \left( {a - b} \right)^3 } \right) + \frac{{a - b}}<br />{{\sqrt {a^2 + b^2 } }} - \frac{{a + b}}<br />{{\sqrt {a^2 + b^2 } }}} \right)<br />$$
TEX: $$<br />I = - \frac{{4b}}<br />{{3a}}<br />$$
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