Primer Teorema de Helmholtz

Primer Teorema de Helmholtz

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Abu-Khalil Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 22 2011, 06:46 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 3.812 Registrado: 4-November 07 Desde: Santiago Miembro Nº: 12.213 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: \noindent Sea $\Omega\subset\mathbb R^3$ una región simplemente conexa y acotada. Suponga que existen campos $f,g:\Omega\to\mathbb R,\vec F:\Omega\to\mathbb R^3$ continuos tales que para algún campo $\Vec V:\overline\Omega\to\mathbb R^3$ se cumple que<br />$$\nabla\cdot\vec V=f\quad,\quad\nabla\times\vec V=\vec F\quad,\quad \vec V\cdot\hat n=g,$$<br />donde $\hat n$ es el vector normal a $\partial\Omega$. Muestre que $\vec V$ es único.<br />$ -------------------- ~milopez $TEX: \[\mathfrak{L}=\int_{-\infty}^\infty e^{-289x^2}dx=\frac{\Gamma (\frac{1}{2})}{17}=\frac{\sqrt{\pi}}{17}\]$ $TEX: <br />\begin{equation}\begin{aligned}<br />dS_t&=\mu S_t dt+\sqrt{V_t}S_t dW^S_t\\<br />dV_t&=\kappa(\theta-V_t)dt+\sigma\sqrt{V_t} dW^V_t\\<br />\end{aligned}\end{equation}<br />$ $TEX: <br />$$\mathbb A^{\text U}_M(N)$$<br />$

nmg1302 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 25 2011, 01:16 AM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 832 Registrado: 11-September 07 Desde: París, Francia Miembro Nº: 10.056 Nacionalidad: Sexo:	$TEX: <br />Supongamos que existen campos $\vec V_1$ y $\vec V_2$ que cumplen las condiciones\\<br />entonces $\vec U:= \vec V_1- \vec V_2$ cumple<br />$$\vec \nabla \cdot \vec U =0 \wedge \vec \nabla \times \vec U=0 \wedge \vec U \cdot \hat n =0$$<br />por la segunda, y como $ \Omega$ es simplemente conexo, existe $u:\Omega \rightarrow \mathbb R$ diferenciable tal que$\vec \nabla u=\vec U$\\<br />entonces $u$ cumple<br />$$\Delta u=0 \mbox{ en } \Omega \wedge \frac{\partial u } {\partial \hat n}=0 \mbox{ en } \partial \Omega$$<br />y usando la formula de Green<br />$$0=\int_{\Omega} u \Delta u dV= \underbrace{\int_{\partial \Omega} u \frac{\partial u } {\partial \hat n}dS}_{=0} - \int_{\Omega} \|\nabla u\|^2 dV$$<br />y como $\vec U= \vec \nabla u$ es continuo se tiene que<br />$$\vec V_1-\vec V_2=\vec U=0$$<br />$$\mathcal {QED}$$<br />$

Abu-Khalil Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 4 2011, 12:06 AM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 3.812 Registrado: 4-November 07 Desde: Santiago Miembro Nº: 12.213 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Bien! -------------------- ~milopez $TEX: \[\mathfrak{L}=\int_{-\infty}^\infty e^{-289x^2}dx=\frac{\Gamma (\frac{1}{2})}{17}=\frac{\sqrt{\pi}}{17}\]$ $TEX: <br />\begin{equation}\begin{aligned}<br />dS_t&=\mu S_t dt+\sqrt{V_t}S_t dW^S_t\\<br />dV_t&=\kappa(\theta-V_t)dt+\sigma\sqrt{V_t} dW^V_t\\<br />\end{aligned}\end{equation}<br />$ $TEX: <br />$$\mathbb A^{\text U}_M(N)$$<br />$

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