ayuda con problema de aplicacion

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ayuda con problema de aplicacion

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Kathy Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 19 2011, 03:21 PM Publicado: #1
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1 Registrado: 9-October 07 Miembro Nº: 11.096 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Alguien me puede ayudar con la solución de este problema: Un colorante disuelto en un liquido, entra a un tanque a una velocidad v1 litros de solucion/minuto y con una concentracion de c1 kilos de colorante/litro de solucion. La solucion bien homogenizada sale del tanque a una velocidad de v2 litros de solucion/min. y entra a un segundo tanque del cual sale posteriormente a una velocidad de v3 litros de solucion/min. Inicialmente, el primer tanque tena P1 kilos de colorante disueltos en Q1 litros de solucion y el segundo tanque P2 kilos de colorante disueltos en Q2 litros de solucion. Encontrar dos ecuaciones que determinen las masas de colorante presentes en cada tanque en cualquier tiempo t y resolverlas. Se lo agradecería mucho!

soulalex Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 15 2011, 06:41 PM Publicado: #2
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 243 Registrado: 23-December 08 Miembro Nº: 41.229	hola primero que todo, el ejercicio que tu propones lo pienso plantear , pero no resolver la edo porque existen cuatro casos a considerar 1)cuando v1=v2 y v2=v3, caso no diagonalizable 2)cuando al menos un flujo de solución es distinto del otro 3)cuando son todos los flujos distintos 3)cuando v1=v2 y v2=v3, caso diagonalizable O seguramente a otra persona se le ocurrirá desacoplar el sistema. $TEX: <br />Sea $\Phi_{e}^{1}$ el flujo de entrada del tanque 1, $c_{1}$ la concentración de entrada del tanque 1, $\Phi_{s}^{1}$ el flujo de salida del tanque 1, $\Phi_{e}^{2}$ el flujo de entrada del tanque 2, $c_{2}$ la concentración de entrada del tanque 2, $\Phi_{s}^{2}$ el flujo de salida del tanque 2, $V_{1}(t)$ y $V_{2}(t)$ los volumenes del tanque 1 y 2, respectivamente; y $Q_{1}(t)$ y $Q_{2}(t)$ la cantidad de colorante de los tanques 1 y 2 respectivamente:<br />\\<br />Luego consideremos en primer lugar el tanque 1, sea $V_{1}(t)$ el volumen de solución del tanque 1:<br />$$V_{1}(t)=V_{1}(0)+(\Phi_{e}^{1}-\Phi_{s}^{1})t$$<br />Así el modelo para el primer tanque es:<br />$$Q_{1}'=\Phi_{e}^{1}c_{1}-\frac{Q_{1}(t)}{V_{1}(0)+(\Phi_{e}^{1}-\Phi_{s}^{1})t}\Phi_{s}^{1}$$<br />Ahora bien para el tanque 2, sea $V_{2}(t)$ el volumen de solución del tanque 2:<br />$$V_{2}(t)=V_{2}(0)+(\Phi_{e}^{2}-\Phi_{s}^{2})t$$<br />Luego el modelo para el segundo tanque es:<br />$$Q_{2}'=\Phi_{e}^{2}\frac{Q_{1}(t)}{V_{1}(0)+(\Phi_{e}^{1}-\Phi_{s}^{1})t}-\frac{Q_{2}(t)}{V_{2}(0)+(\Phi_{e}^{2}-\Phi_{s}^{2})t}\Phi_{s}^{2}$$<br />De esta forma te queda un sistema de ecuaciones diferenciales acoplados:<br />$$\left\{<br />\begin{array}{l}<br />Q_{1}'=\Phi_{e}^{1}c_{1}-\frac{Q_{1}(t)}{V_{1}(0)+(\Phi_{e}^{1}-\Phi_{s}^{1})t}\Phi_{s}^{1}\\<br />Q_{2}'=\Phi_{e}^{2}\frac{Q_{1}(t)}{V_{1}(0)+(\Phi_{e}^{1}-\Phi_{s}^{1})t}-\frac{Q_{2}(t)}{V_{2}(0)+(\Phi_{e}^{2}-\Phi_{s}^{2})t}\Phi_{s}^{2}<br />\end{array}<br />\right.$$<br />Finalmente basta considerar que no hay pérdida del tanque al otro tanque, así $\Phi_{s}^{1}=\Phi_{e}^{2}=\Phi$, luego el sistema a resolver es:<br />$$\left\{<br />\begin{array}{l}<br />Q_{1}'=\Phi_{e}^{1}c_{1}-\frac{Q_{1}(t)}{V_{1}(0)+(\Phi_{e}^{1}-\Phi)t}\Phi_{s}^{1}\\<br />Q_{2}'=\Phi_{e}^{2}\frac{Q_{1}(t)}{V_{1}(0)+(\Phi_{e}^{1}-\Phi)t}-\frac{Q_{2}(t)}{V_{2}(0)+(\Phi-\Phi_{s}^{2})t}\Phi_{s}^{2}<br />\end{array}<br />\right.$$<br />$ Mensaje modificado por soulalex el Jun 15 2011, 06:45 PM

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