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Putnam 1994

「Krizalid」 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 17 2011, 12:10 AM Publicado: #1
Staff FMAT Grupo: Super Moderador Mensajes: 8.124 Registrado: 21-May 06 Miembro Nº: 1.156 Nacionalidad: Sexo:	Putnam_1994.pdf ( 29.13k ) Número de descargas: 127

coquitao Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 3 2012, 11:59 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Super Moderador Mensajes: 2.065 Registrado: 25-May 08 Desde: Pelotillehue Miembro Nº: 24.463	A1. $TEX: \textbf{Lema.} Para cada $k \in \mathbb{N}$, $\medskip$<br /><br />$a_{2^{k}}+a_{2^{k}+1} + a_{2^{k}+2}+a_{2^{k}+3}+\ldots+ a_{2^{k}+(2^{k}-2)}+a_{2^{k}+(2^{k}-1)} \geq a_{1}.$ $\medskip$<br /><br />\textsf{Prueba.} Si $k=1$, hay nada que hacer. Si el aserto es cierto para $k$, probémosle para $k+1$: <br /><br />$a_{2^{k+1}}+a_{2^{k+1}+1} + a_{2^{k+1}+2}+a_{2^{k+1}+3}+\ldots+ a_{2^{k+1}+(2^{k+1}-2)}+a_{2^{k+1}+(2^{k+1}-1)} =$<br /><br />$(a_{2^{k+1}}+a_{2^{k+1}+1}) + (a_{2^{k+1}+2}+a_{2^{k+1}+3})+\ldots+ (a_{2^{k+1}+(2^{k+1}-2)}+a_{2^{k+1}+(2^{k+1}-1)}) \geq$<br /><br />$a_{2^{k}}+a_{2^{k}+1} +\ldots+ a_{2^{k}+(2^{k}-1)} \geq a_{1}.$ $\medskip$<br /><br />$\medskip$ $\textbf{QED.}$<br /><br />Ahora bien, si $S_{n}$ es la $n$-ésima suma parcial de la serie, afirmamos que $S_{2^{k}-1} \geq ka_{1}$ para cada $k \in \mathbb{N}$. Si $k=1$, el resultado es trivialmente cierto. Supongamos que se cumple para $k$. Para $k+1$, el lema anterior y la hipótesis de inducción indican que $\medskip$<br /><br />$S_{2^{k+1}-1} = S_{2^{k}-1} + (a_{2^{k}}+a_{2^{k}+1} + a_{2^{k}+2}+a_{2^{k}+3}+\ldots+ a_{2^{k}+(2^{k}-2)}+a_{2^{k}+(2^{k}-1)}) \geq S_{2^{k}-1} + a_{1} \geq (k+1)a_{1}$, $\medskip$<br /><br />tal como habíamos anunciado.<br /><br />La divergencia de la serie es consencuencia entonces del hecho que la subsucesión $\{S_{2^{k}-1}\}_{k \in \mathbb{N}}$ no está acotada.<br />$ -------------------- "Please forget everything you have learned in school; for you haven't learned it... Please keep in mind at all times the corresponding portions of your school curriculum; for you haven't actually forgotten them." -- E. Landau

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