conteo de soluciones Opciones

[lzdawn]

Desde mi punto de vista Kaissa el problema no tiene mucha gracia, pero lo q tiene gracia es al artificio cognitivo es decir la idea de separadores es potencialmente util en problem solving, es decir es muy util en combinatoria de hecho yo no conocia el artificio hasta hace poco me tope con un problema parecido pero en vez de numeros personas.
para los q no comprendieron el artificio un problema equivalente es:
x1+x2=2
para xi>=0, i:={1,2}, donde xi es entero
en este caso usaremos 3 lugares, por q?
la respuesta es por q supon esto:
_ _ _
los 3 lugares al colocar 1 separadores dejamos univocamente el otro numero, y la solucion:
por ejemplo:
_|_, es decir x1=1,x2=1
|_ _, es decir x1=0, x2=2
_ _|, es decir x1=2,x2=0
(3,1)=3!/(2!*1!)=3
es decir:
(x1,x2):=(0,2),(1,1),(2,0)
las 3 soluciones para xi>=0
creo q con eso queda aclarado.
de hecho aqui en mexico los olimpicos hacen pequeños manuales donde dan estos tips y artificios.
dejo un problema de practica:
En la línea de espera de un aeropuerto se ha establecido la política de que no deben estar dos niños consecutivos en la línea. Si tenemos a 7 adultos y tres niños para colocarse en la fila ¿de cuántas forams se pueden formar respetando esa política?
saludos.

[Diego Navarro]

Algo de algebra C:
Consideremos dado |x|<1, p(x)=1/(1-x)^k , expandiendo esta funcion es su serie de Maclaurrin
p(x)=(1+x+x^2+...)^k=(1+x+x^2+..)(1+x+x^2+..)...(1+x+x^2+...)
Ahora se ve que el coeficiente de x^n de esta serie sera la respuesta,
pero
Es facil calcular que
Luego
luego el coeficiente buscado es

[lzdawn]

jajaj me recordaste a funciones generatrices de hecho se pueden usar funciones generatrices, siendo 1 como el elemento vacio, y el exponente de x el valor q toma la variable, en mi ejemplo:
x1+x2=2
x1 puede tomar el valor de:0,1,2, analogamente x2
es decir:
(1+x+x^2)(1+x+x^2)=1+x+x^2+x+x^2+x^3+x^2+x^3+x^4=1+2x+3x^2+2x^3+x^4
el numero de soluciones es el termino q acompaña a x^2 es decir 3,
asi podemos resolver mas modelos de esta forma como por ejemplo: x+2y+3z=6
pero en este caso:
x puede tomar de :0,1,2,..,6
2y:0,2,4,6
3z:0,3,6
y la funcion queda:
(1+a+a^2+...+a^6)(1+a^2+a^4+a^6)(1+a^3+a^6)
y el resultado sera el coeficiente acompañado de a^6 q es 7
6+0+0=6
4+2+0=6
2+2*2+0=6
3+0+3=6
0+0+6=6
0+6+0=6
es decir:
(x,y,z):=(6,0,0),(4,1,0),(2,2,0),(3,0,1),(0,0,2),(0,3,0),(1,1,1)
las 7 soluciones,
o por ejemplo:
a+2b+3c=7
ahora la generatriz sera igual solo q en vez de a^6 nos interesa a^7 y el coeficiente es: 7
propongo q las enumeren.
propongo un problema ya q se toca el tema:
en fmat, yo quiero elegir 4 problemas con las siguiente condiciones:
a lo mas 3 de combinatoria,
a lo mas 2 de algebra,
a lo mas 1 de Teoria de numeros,
de cuantas formas diferente puedo elegir los problemas, el modelo diofantino es:
R:
(1+x+x^2+x^3)(1+x+x^2)(1+x), y la solucion es el coeficiente q acompaña x^4
saludos.

[alexis parra]

uu...mori! mucho para la once...xD

gracias por las ultimos 3 comentarios....luis ya me explico eso de los separadores....genial

en la nochecita me leere con calma estos 3 ultimos post y buscare eso de funciones generatrices..

si alguien sabe de algun cajon con generatrices dentro del foro se agradeceria....