CMAT 2011 - Fecha 2 - Nivel 3 Individual

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CMAT 2011 - Fecha 2 - Nivel 3 Individual

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El Geek Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 15 2011, 06:06 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 2.818 Registrado: 3-October 09 Miembro Nº: 59.773 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	IX CAMPEONATO ESCOLAR DE MATEMÁTICA - CMAT Fecha 2: Sábado 14 de Mayo de 2011 Tercer Nivel Individual Problema 1 Demuestre que $TEX: $29x^{2010}-69x^{1810} + 40$$ es divisible por $TEX: $x-1$$ . Problema 2 Se tiene una caja cuyas dimensiones son $TEX: $a$$ , $TEX: $b$$ , $TEX: $c$$ (medidas en metros) y cuyo volumen es $TEX: $168 m^3$$ . Si cada una de sus dimensiones aumenta en 3 metros, el volumen de la nueva caja es $TEX: $630 m^3$$ . Si cada una de las dimensiones de la caja original disminuye en 2 metros, el volumen de la nueva caja es $TEX: $40 m^3$$ . Para la caja original, determine la suma del área de todas sus caras y la suma de la longitud de todas sus aristas. Mensaje modificado por El Geek el May 15 2011, 06:06 PM -------------------- Me voy, me jui.

luis_fz Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 15 2011, 06:47 PM Publicado: #2
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 270 Registrado: 31-May 10 Desde: San antonio Miembro Nº: 71.730 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	p1) es sabido que $TEX: $x-1\|x^n-1$$ dem: $TEX: $x-1\equiv0 mod x-1$ <br />\\$x\equiv 1 mod x-1$<br />\\$x^n\equiv 1 mod x-1$<br />\\$x^n-1\equiv 0 mod x-1$$ luego $TEX: $29x^{2010}-69x^{1810}+40=69x^{2010}-69x^{1810}+40-40x^{2010}$<br />\\$=69x^{1810}\left( x^{200}-1 \right)-40\left( x^{2010}-1 \right) \\ <br /> =69x^{1810}\left( x-1 \right)k_{1}-40\left( x-1 \right)k_{2} $$ donde $TEX: $k_{1}$$ y $TEX: $k_{2}$$ son los otros factores de $TEX: $x^{200}-1$$ y $TEX: $x^{2010}-1$$ entonces la expreción equivale a $TEX: $\left( x-1 \right)\left( 69x^{1810}k_{1}-40k_{2} \right)$$ que es divisible por x-1 Saludos C:

GoChuck Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 15 2011, 06:57 PM Publicado: #3
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 400 Registrado: 27-October 09 Desde: ¡Qué te importa! Miembro Nº: 61.057 Universidad: Sexo:	Por teorema del resto, el primero sal al touch

MatíasMoreno Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 22 2011, 08:50 PM Publicado: #4
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 217 Registrado: 5-April 11 Desde: no se :c Miembro Nº: 86.300 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Problema 2 Sean $TEX: $a,b,c$$ las aristas de la caja, siguiendo el enunciado tendriamos el siguiente sistema: $TEX: $abc$ = 168$ $TEX: $(a+3)(b+3)(c+3)$ = 630$ $TEX: $(a-2)(b-2)(c-2)$ = 40$ Llamemos $TEX: $E_{1}$, $E_{2}$, $E_{3}$$ a las ecuaciónes del sistema, en ese orden (solo por comodidad y facilidad de entender). Calculemos los productos de $TEX: $E_{2}$, $E_{3}$$ $TEX: $E_{2}$ = $(a+3)(b+3)(c+3)$ = 630$ $TEX: $E_{2}$ = $abc+3(ab+bc+ac)+9(a+b+c)+27=630$$ Reemplazamos $TEX: $E_{1}$$ en $TEX: $E_{2}$$ y luego tenemos $TEX: $E_{2}$ = $3(ab+bc+ac)+9(a+b+c)$ = 435$ y luego factorizamos, y dividimos por 3 a ambos lados $TEX: $E_{2}$ = $ab+bc+ac+3a+3b+3c$ = 145$ Calculamos los productos de $TEX: $E_{3}$$ $TEX: $E_{3}$ = $(a-2)(b-2)(c-2)$ = 40$ $TEX: $E_{3}$ = $(ab-2a-2b+4)(c-2)$ = 40$ $TEX: $E_{3}$ = $abc+4(a+b+c)-2(ac+bc+ab)$ = 48$ reemplazamos $TEX: $abc$ = 168$ nos queda $TEX: $E_{3}$ = $2(ac+bc+ab)-4(a+b+c)$ = 120$ $TEX: $E_{3}$ = $ac+bc+ab-2a-2b-2c$ = 60$ Restamos $TEX: $E_{2}$ - $E_{3}$$ nos queda: $TEX: $E_{2}$ - $E_{3}$ = $5a+5b+5c$ = 85$ $TEX: $E_{2}$ - $E_{3}$ = $a+b+c$ = 17$ tenemos que $TEX: $a,b,c$$ son las aristas, necesariamente la suma de la longitud de todas las aristas estara dada por $TEX: $4(a+b+c)$ = $417$ = 68$m$$ Sabemos que el producto de cada una de las caras es $TEX: $P = ab, bc, ac$$ entonces la suma de las areas de las caras de la caja estara dada por $TEX: $2(ab+bc+ac)$$ . Sí tenemos por $TEX: $E_{3}$$ que: $TEX: $ab+bc+ac-2(a+b+c)$ = 60$ reemplazamos $TEX: $a+b+c$ = 17$ y luego $TEX: $ab+bc+ac-217$ = 60$ y sumamos 34 a ambos lados conseguimos $TEX: $ab+bc+ac$ = 94$ Solo basta resolver $TEX: $2(ab+bc+ac)$ con $ab+bc+ac$ = 94$ Finalmente $TEX: $942$ = 188$m^{2}$$ la cual corresponde a la suma de las areas de las caras, respondiendo lo pedido. -------------------- Cuando eliminamos lo imposible lo que queda, por improbable que parezca...siempre será la verdad...* Nada tiene sentido, pero todo tiene significado.

Kaissa Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 23 2011, 09:16 AM Publicado: #5
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 9.897 Registrado: 6-April 08 Miembro Nº: 19.238 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	opinion personal: problema 1: evalua directamente el teorema del resto... problema 2: te entretiene un poquito con un razonamiento puramente algebraico y facil de seguir... como han cambiado las cosas u.u -------------------- Este es un extracto de Qué es fmat by Kenshin. La pregunta para ti estimado(a) lector(a) es... ¿Qué haces tu para que ésto se cumpla?

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