Triángulo, y dos rectas Opciones

[luis_fz]

Una recta L corta a los lados AB, BC y a la prolongación del lado AC en los puntos D, E y F respectivamente. Demuestre que los puntos medios de los segmentos CD, AE y BF se encuentran sobre una recta.

[cev]

En la fig.1 vemos un caso particular de lo que pide el enunciado,es decir la recta L que se pide corte al triangulo es paralela a AC, aqui es facil ver que los puntos U, V se encuentran sobre una paralela a L y a una distancia (a) entre ambas L y AC, no tenemos que buscar el punto medio de los segmentos CD y AE pues estos son encontrados por la recta (b) y las intersecciones respectivas.

El al fig.2 ahora vemos un caso general donde la recta determina los puntos D,E y F de interseccion con los lados AB, BC y prolongacion de AC. Por el punto medio P del segmento DE trazamos una paralela a AC y vemos que DR=ES en virtud de que los triangulitos DRP y ESP son congruentes, luego trazamos entre la recta mencionada y AC la recta paralela (b) a una destancia (a) entre ambas, digamos entonces que como consecuencia de la proporcionalidad
entre la diagonal DC y el segmento DM el punto V, medio del segmento DC se encuentra en la interseccion de DC con una recta paralela a (b) y a una distancia de esta de DR/2=ES/2 y de igual forma el punto U medio del segmento AE, entonces

EK= a-DR/2+ES, y como ES=DR

EK= DR/2 + a

KN= DR/2 + a

luego EK=KN y por lo tanto AU=UE, por otro lado

DL= a-DR+DR/2 = a-DR/2

LM= a-DR/2

luego DL=LM y por lo tanto CV=VD

Quedaria por demostrar que los puntos T,U,V estan alineados, para eso (ver fig.3) trazamos la recta que pasa por T, V, con el fin de demostrar que el punto U tambien pertenece a dicha recta, trazamos un segmento vertical desde E hasta cortar la recta en W, luego otro desde A hasta cortar la recta en Z y vemos que como AU=UE, EW // AZ, y los puntos Z y W pertenecen a una misma recta, el punto en comun U tambien pertenece a ella.

Saludando.

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[El Geek]

Hola Cev, te recomiendo que mires el Teorema de Menelao, eso te pudo simplificar más la vida.

Saludos

[cev]

Hola Cev, te recomiendo que mires el Teorema de Menelao, eso te pudo simplificar más la vida.

Saludos

Gracias, lo tendre en cuenta.

(acabo de leer el teorema, parece que esta servido para este ejemplo, pero bueno los palacios tambien se construyen con ladrillos)

Mensaje modificado por cev el Aug 15 2011, 02:27 PM