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CMAT 2011 - Fecha 2 - Nivel 4 Individual

DoomH~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 14 2011, 11:48 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.429 Registrado: 6-October 07 Miembro Nº: 10.987	IX CAMPEONATO ESCOLAR DE MATEMÁTICA - CMAT Fecha 2: Sábado 14 de Mayo de 2011 Cuarto Nivel Individual Problema 1 Sea $TEX: \[<br />ABCD<br />\]$ un cuadrado y $TEX: \[<br />P,Q<br />\]$ puntos distintos en su interior, tales que $TEX: \[<br />AP = BP = PQ = CQ = DQ = 10<br />\]$ . Encuentre la longitud del Lado del Cuadrado. Problema 2 Pruebe que si $TEX: \[<br />a,b > 0<br />\]$ son tales que $TEX: \[<br />\left( {\forall n \in \mathbb{N}} \right)\left( {\left\lfloor {10^n a} \right\rfloor - 10\left\lfloor {10^{n - 1} a} \right\rfloor > \left\lfloor {10^n b} \right\rfloor - 10\left\lfloor {10^{n - 1} b} \right\rfloor } \right) \Rightarrow \left( {\left\{ a \right\} \geqslant \left\{ b \right\} + \frac{1}<br />{9}} \right)<br />\]$ Donde $TEX: \[<br />\left\lfloor x \right\rfloor <br />\]$ es la parte entera de $TEX: \[<br />x<br />\]$ , y $TEX: \[<br />\left\{ x \right\}<br />\]$ es la parte decimal de $TEX: \[<br />x<br />\]$ ( $TEX: \[<br />\left\lfloor x \right\rfloor + \left\{ x \right\} = x<br />\]$ ) Salu2. PD: No puedo subir los demas niveles debido a que no los tengo -------------------- CHAO.

Gerardo Soto Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 14 2011, 11:57 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.648 Registrado: 16-April 10 Desde: Dalcahue-Chiloe Miembro Nº: 68.853 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Buena loco, la estaba esperando !!!!!!!!!!!!!!!!!! Mensaje modificado por Gerardo Soto el May 14 2011, 11:57 PM -------------------- >>He robado princesas a reyes agónicos. Incendié la ciudad de Trebon. He pasado la noche con Felurian y he despertado vivo y cuerdo. Me expulsaron de la Universidad a una edad a la que a la mayoría todavía no los dejan entrar. He recorrido de noche caminos de los que otros no se atreven a hablar ni siquiera de día. He hablado con Dioses, he amado a mujeres y he escrito canciones que hacen llorar a los bardos.<< <<Me llamo Kvothe (<Cuouz>). Quizá hayas oído hablar de mí.”>> El nombre del viento, primer dìa de la historia de Kvothe .-“Todo hombre sabio le teme a tres cosas: Una noche sin luna, una tormenta en el mar y a la ira de un hombre bueno.”” Citas del Nombre del viento .-Me llamo kvothe, que se pronuncia <<cuouz>>. Los nombres son importantes porque dicen mucho sobre las personas. He tenido más nombres de los que nadie merece.Los Adem me llaman Maedre. Que, según como se pronuncie, puede significar la Llama, el Trueno o el Árbol Partido. Mi primer mentor me llamaba E'lir porque yo era listo y lo sabìa. Mi primera amante me llamaba Dulator porque le gustaba cómo sonaba. Me han llamado Kvothe el Sin Sangre, Kvothe el Arcano y Kvothe el Asesino de Reyes. Todos esos nombres me los he ganado. Pero crecí siendo Kvothe. Una vez mi padre me dijo que significaba <<saber>>. .-“Y soy Edena Ruh hasta la médula. Lo que significa que mi sangre es roja. Significa que respiro aire puro y camino por donde me llevan los pies. No me arrastro ni me acobardo como un perro ante nadie por el hecho de que tenga un título. Eso lo interpretan como orgullo quienes se han pasado la vida lamiéndoles el culo a los demás.”(Kvothe) .-“Te lo juro por toda la sal que hay en mí: si contravienes mis deseos, el resto de tu breve existencia será una orquesta de desgracias. Lo juro por la piedra, el roble y el olmo: te convertiré en mi blanco. Te seguiré sin que me veas y apagaré cualquier chispa de placer que encuentres. Jamás conocerás la caricia de una mujer, un momento de descanso, un instante de paz. Y juro por el cielo nocturno y por la luna que si perjudicas a mi maestro, te abriré en canal y saltaré en tus entrañas como un niño en un charco. Encordaré un violín con tus tripas y te haré tocarlo mientras bailo.” .-Puedes dividir infinito un infinito número de veces, y el resultado seguirá siendo más infinito”, dijo Uresh con su extraño acento Lenatti. “Pero si divides un número no infinito un número infinito de veces el resultado no es menos infinito. Puesto que es menos infinito, pero hay un número infinito de ellos, si los sumas de nuevo, su suma da infinito. Eso implica que todo número es, de hecho, infinito. .-‎ Tengo tendencia a pensar demasiado, Bast. Mis mayores éxitos fueron producto de decisiones que tomé cuando dejé de pensar e hice sencillamente lo que me parecía correcto. Aunque no hubiera ninguna buena explicación para lo que había hecho. Aunque hubiera muy buenas razones para que no hiciese lo que hice.(Kvothe) .-Sí, soy un mito. Un mito muy especial que se crea a sí mismo. Las mejores mentiras sobre mí son las que yo mismo he contado.´ (Kvothe) .-Solo los locos y los sacerdotes no le temen a nada, y yo no me llevo muy bien con Dios (Kvothe) .-La musica es una amante celosa y temperamental, si le dedicas tiempo sera tuya pero si la desairas se ira y cuando la busques no la hallaras…(Kvothe) .-Las palabras sonpálidas sombras de nombres olvidados. Los nombres tienen poder, y las palabras también. Las palabras pueden hacer prender el fuego en la mente de los hombres. Las palabras pueden arrancarles lágrimas a los corazones más duros. Existen siete palabras que harán que una persona te ame. Existen diez palabras que minarán la más poderosa voluntad de un hombre. Pero una palabra no es más que la representación de un fuego. Un nombre es el fuego en sí. -Elodin .-Cronista pensó, sin proponérselo, en una historia que había oído. Una de tantas. Era el relato de cómo Kvothe había perseguido el deseo de su corazón. Tuvo que engañar a un demonio para conseguirlo. Pero una vez conseguido, tuvo que pelear con un ángel para conservarlo. «Es cierto —pensó Cronista—. Antes solo era una historia, pero ahora puedo creer en ella. Esta es la cara de un hombre que ha matado a un ángel. .-“Yo hasta que no vea una pantorrilla femenina al aire, no daré por inaugurada la primavera”(Bast) .- “Al pan, pan y al vino, vino. Pero a una prostituta llámala siempre señora. Tienen una vida muy dura y no cuesta nada ser amables con ellas.” .-Observando las caras que me rodeaban vi a una joven de no más de veinte años. Tenía un rostro dulce y los ojos azul claro. Sus labios parecían hechos para besar. Di un paso hacia ella, decidido a cogerla en brazos y… Me paré en seco cuando empezaba a estirar un brazo para acariciarle el cuello, y sentí algo muy parecido al vértigo. Allí las cosas eran diferentes. Era evidente que el hombre que estaba sentado al lado de la joven era su marido. Eso era importante, ¿no? Parecía un hecho muy impreciso y distante. ¿Por qué no iba desnudo, no comía violetas ni tocaba el laúd a cielo abierto? Volví a pasear la mirada por la taberna y todo aquello me pareció sumamente ridículo. Aquella gente sentada en los bancos, con capas y más capas de ropa, comiendo con cuchillo y tenedor. Lo encontraba todo absurdo y artificioso. Era increíblemente gracioso. Parecía que estuvieran jugando a un juego y ni siquiera se dieran cuenta. Era como un chiste que hasta entonces no había entendido. Me reí. (ETDUHS) .-- No has traido tu laud – me comentó cuando hubimos terminado de comer. -Esta noche tengo que irme a leer-dije-. Para entonces ya habría hecho el examen de admisión, y no haría falta que siguiera estudiando. Auri arrugó su carita. -Cinco dias no es pronto -dijo-. Pronto es mañana. -Cinco días es pronto para una piedra-argumenté. -Pues entonces toca para una piedra dentro de cinco días-replicó ella-. Y toca para mí mañana.(Auri) .-“Verá, maestro Kilvin: según los alumnos, lo rompí de un solo puñetazo de mi todopoderosa mano” .-“No has oído ni la primera nota de la música que me impulsa” .-“Viajé, amé, perdí, confié y me traicionaron.” .-“No me cansaba de mirar a Denna. Estaba sentada a mi lado, abrazándose las rodillas. Su piel era más luminosa que la luna, y sus ojos, más enormes que el cielo, más profundos que el agua, más oscuros que la noche” .-Sobré él verteré el hambre y el fuego hasta que la desolación lo aturda y todos los demonios de la oscuridad exterior miren asombrados y reconozcan que la especialidad del hombre es la venganza. .-“Aunque este empapado de ti, ardo. El movimiento de tu cabeza al volverse es como una canción. Es como una chispa. Es como un aliento que me infla y sopla para avivar un fuego que extenderse y rugir tu nombre no pueda evitar” .-“He oído lo que los poetas escriben sobre las mujeres. Componen rimas y rapsodias, y mienten. He visto a marineros en la orilla contemplando en silencio la lenta ondulación del mar. He visto a viejos soldados con el corazón de cuero que derramaban lágrimas al ver los colores de su rey ondeando al viento. Creedme: esos hombres no saben nada del amor. Amamos lo que amamos. La razón no entra en juego. En muchos aspectos, el amor más insensato es el amor más verdadero. Cualquiera puede amar algo por algún motivo. Eso es tan fácil como meterse un penique en el bolsillo. Pero amar algo a pesar de algo es otra cosa. Conocer los defectos y amarlos también. Eso es inusual, puro y perfecto.” Kvothe .-“La experiencia me ha enseñado que la mejor forma de protegerte es hacer creer a tus enemigos que no pueden hacerte daño” Para saber más de la trilogía de Patrick Rothfuss Click aquí

luis_fz Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 15 2011, 12:18 AM Publicado: #3
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 270 Registrado: 31-May 10 Desde: San antonio Miembro Nº: 71.730 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Sean $TEX: $a=A,a_{1}a_{2}a_{3}... \\ <br /> b=B,b_{1}b_{2}b_{3}... \\$$ luego $TEX: $\left\lfloor 10^{n}\bullet a \right\rfloor -10\left\lfloor 10^{n-1}\bullet a \right\rfloor =Aa_{1}a_{2}a_{3}...a_{n}-Aa_{1}a_{2}a_{3}...a_{n-1}0=a_{n} \\ <br /> \left\lfloor 10^{n}\bullet b \right\rfloor -10\left\lfloor 10^{n-1}\bullet b \right\rfloor =B,b_{1}b_{2}b_{3}...b_{n}-B,b_{1}b_{2}b_{3}...b_{n-1}0=b_{n}$$ de aquí se desprende que para cualquier valor $TEX: $n\ge i$$ $TEX: $a_{i}>b_{i}\Rightarrow a_{i}-b_{i}\ge 1$$ entonces $TEX: <br />$ \displaystyle a_{1}-b_{1}\ge 1\Rightarrow \frac{a_{1}-b_{1}}{10}\ge \frac{1}{10} \\ <br /> a_{2}-b_{2}\ge 1\Rightarrow \frac{a_{2}-b_{2}}{100}\ge \frac{1}{100} \\ <br /> a_{3}-b_{3}\ge 1\Rightarrow \frac{a_{3}-b_{3}}{1000}\ge \frac{1}{1000} \\ <br /> \vdots$$ sumando las desigualdades $TEX: $\displaystyle \frac{a_{1}-b_{1}}{10}+\frac{a_{2}-b_{2}}{100}+\frac{a_{3}-b_{3}}{1000}+........\ge \frac{1}{10}+\frac{1}{100}+\frac{1}{1000}+...=\frac{1}{9} \\ <br /> \Rightarrow a_{1}a_{2}a_{3}....\ge b_{1}b_{2}b_{3}....+\frac{1}{9} \\ <br /> \Rightarrow \left\{ a \right\}\ge \left\{ b \right\}+\frac{1}{9} $$ Saludos C: Mensaje modificado por luis_fz el May 15 2011, 12:34 AM

alexis parra Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 15 2011, 12:26 AM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.689 Registrado: 5-September 10 Desde: villarrica Miembro Nº: 76.659 Nacionalidad: Sexo:	Problema 1: el segmento PQ pasa por el centro del cuadrado dividiendolo en dos rectangulos congruentes. trazando los segmentos AP yBP, CQ y DQ, se forman dos triagulos y dos trapecios isosceles. mediante pitagoras me da que el lado del rectangulo es $TEX: \[<br />5(\sqrt 7 + 1)<br />\]<br />$ PD: Disculpen que aun no se adjuntar imagenes. Si esta mal me avisan....

El Geek Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 15 2011, 12:43 AM Publicado: #5
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 2.818 Registrado: 3-October 09 Miembro Nº: 59.773 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	^ Ese es el resultado pero no tan rápido, explica como lo haces pues la figura no está para llegar y hacerlo. Saludos. Mensaje modificado por El Geek el May 15 2011, 12:53 AM -------------------- Me voy, me jui.

sushi_8 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 15 2011, 02:12 AM Publicado: #6
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 274 Registrado: 20-May 10 Miembro Nº: 71.064 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: $ \\ $Para el 1$ \\ \\ $Como AP=BP, la proyección ortogonal de P sobre AB, cae sobre el punto medio formando un ángulo recto. Análogamente para Q, de manera que trazamos la simetral $l$ del lado AB, que contiene al punto P y Q. La simetral l se intersecta con AB y CD, en R y S, respectivamente. Por otra parte, deducimos que RP=QS$ \\ \\ $Luego podemos decir que el lado del cuadrado es igual a:$ \\ $$RP+QS+10$$ \\ \\ $Pero también es igual a:$ \\ $$AR+RB$$ \\ \\ $Ahora podemos armar un sistema de ecuaciones:$ \\ \\ $Digamos que RP=x y AR=y$ \\ \\ \begin{cases} 2x+10=2y \\ \\ x^2+y^2=100 \end{cases} \\ \\ \\ $La segunda ecuación la deducimos mediante el teorema de Pitágoras, en el triángulo ARP$ \\ \\ x+5=y \ \Longrightarrow \ \ x^2+(x+5)^2=100 \\ \\ \begin{tabular}{rcl} $2x^2+10x-75$&=&$0$ \\ \\ $x$&=&$\dfrac{5(\sqrt7 -1)}{2} $ \end{tabular} \\ \\ \\ $$ $TEX: $ \\ \\ \\ 2x+10=2\cdot \dfrac{5(\sqrt7 -1)}{2}+10=5(\sqrt 7 +1) $$ Saludos P.D: tuve problemas para subir la imagen. Trataré de subirla en un rato más. Mensaje modificado por sushi_8 el May 15 2011, 04:47 AM -------------------- 100% REAL NO FAKE 1 LINK MEGAUPLOAD KEYGEN + CRACK FULL HD 1080P SUBS ESPAÑOL [PORTABLE]

El Geek Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 15 2011, 03:17 AM Publicado: #7
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 2.818 Registrado: 3-October 09 Miembro Nº: 59.773 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Hola sushi, discrepo con tu resultado. Mira, prolonga AP hasta que intersecte al lado BC en $TEX: $E$$ . Y digamos que $TEX: $\alpha$$ y $TEX: $\beta$$ son ángulos complementarios y como $TEX: $\vartriangle{ABP}$$ es isósceles de base $TEX: $\overline{AB}$$ entonces $TEX: $\angle{PAB}=\alpha$$ . Bien, ahora como el $TEX: $\vartriangle{AEB}$$ es rectángulo, entonces el $TEX: $\angle{BEA}=\beta$$ pues $TEX: $\alpha$$ y $TEX: $\beta$$ son complementarios. Ahora bien, como el trapecio $TEX: $PQCB$$ es isósceles, entonces $TEX: $\angle{BCQ} \cong \angle{BEA}$$ , por lo que el cuadrilátero $TEX: $PQCE$$ es paralelógramo, con lo que podemos deducir que $TEX: $EC=10$$ . Ahora bien, sea $a$ el lado del cuadrado, entonces $TEX: $BE=a-10$$ , lo que nos permite establecer el siguiente Pitagorazo: $TEX: $AB^2 + BE^2 = AE^2 \Rightarrow a^2 + (a-10)^2 = 20^2 \therefore a = 5 + 5 \cdot \sqrt[2]{7} $$ Saludos -------------------- Me voy, me jui.

sushi_8 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 15 2011, 04:44 AM Publicado: #8
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 274 Registrado: 20-May 10 Miembro Nº: 71.064 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(El Geek @ May 15 2011, 04:17 AM) Hola sushi, discrepo con tu resultado. Mira, prolonga AP hasta que intersecte al lado BC en $TEX: $E$$ . Y digamos que $TEX: $\alpha$$ y $TEX: $\beta$$ son ángulos complementarios y como $TEX: $\vartriangle{ABP}$$ es isósceles de base $TEX: $\overline{AB}$$ entonces $TEX: $\angle{PAB}=\alpha$$ . Bien, ahora como el $TEX: $\vartriangle{AEB}$$ es rectángulo, entonces el $TEX: $\angle{BEA}=\beta$$ pues $TEX: $\alpha$$ y $TEX: $\beta$$ son complementarios. Ahora bien, como el trapecio $TEX: $PQCB$$ es isósceles, entonces $TEX: $\angle{BCQ} \cong \angle{BEA}$$ , por lo que el cuadrilátero $TEX: $PQCE$$ es paralelógramo, con lo que podemos deducir que $TEX: $EC=10$$ . Ahora bien, sea $a$ el lado del cuadrado, entonces $TEX: $BE=a-10$$ , lo que nos permite establecer el siguiente Pitagorazo: $TEX: $AB^2 + BE^2 = AE^2 \Rightarrow a^2 + (a-10)^2 = 20^2 \therefore a = 5 + 5 \cdot \sqrt[2]{7} $$ Saludos asdsd xd, a la hora de editar me olvide de copiar la última línea que era el mismo resultado que tienes tu xd. Edito de inmediato xd. -------------------- 100% REAL NO FAKE 1 LINK MEGAUPLOAD KEYGEN + CRACK FULL HD 1080P SUBS ESPAÑOL [PORTABLE]

Joakooh ! Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 15 2011, 02:08 PM Publicado: #9
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 341 Registrado: 8-November 09 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 61.684 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	CITA(El Geek @ May 15 2011, 04:17 AM) Hola sushi, discrepo con tu resultado. Mira, prolonga AP hasta que intersecte al lado BC en $TEX: $E$$ . Y digamos que $TEX: $\alpha$$ y $TEX: $\beta$$ son ángulos complementarios y como $TEX: $\vartriangle{ABP}$$ es isósceles de base $TEX: $\overline{AB}$$ entonces $TEX: $\angle{PAB}=\alpha$$ . Bien, ahora como el $TEX: $\vartriangle{AEB}$$ es rectángulo, entonces el $TEX: $\angle{BEA}=\beta$$ pues $TEX: $\alpha$$ y $TEX: $\beta$$ son complementarios. Ahora bien, como el trapecio $TEX: $PQCB$$ es isósceles, entonces $TEX: $\angle{BCQ} \cong \angle{BEA}$$ , por lo que el cuadrilátero $TEX: $PQCE$$ es paralelógramo, con lo que podemos deducir que $TEX: $EC=10$$ . Ahora bien, sea $a$ el lado del cuadrado, entonces $TEX: $BE=a-10$$ , lo que nos permite establecer el siguiente Pitagorazo: $TEX: $AB^2 + BE^2 = AE^2 \Rightarrow a^2 + (a-10)^2 = 20^2 \therefore a = 5 + 5 \cdot \sqrt[2]{7} $$ Saludos -------------------- Para llegar a ser sabio, es preciso querer experimentar ciertas vivencias, es decir, meterse en sus fauces. Eso es, ciertamente, muy peligroso; más de un sabio ha sido devorado al hacerlo. Friedrich Nietzsche kallensky

El Geek Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 15 2011, 05:05 PM Publicado: #10
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 2.818 Registrado: 3-October 09 Miembro Nº: 59.773 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Joakooh ! @ May 15 2011, 03:08 PM) Cabros, ahora subiré las otras pruebas (las tengo porque fui como examinador). -------------------- Me voy, me jui.

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