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> Suma con primos
master_c
mensaje May 11 2011, 07:05 PM
Publicado: #1





Invitado
Demostrar que TEX: $\sum\limits_{j = 1}^{\frac{{k - 1}}{4}} {\left\lfloor {\sqrt {kj} } \right\rfloor } = \frac{{k^2 - 1}}{{12}}$ donde k es un numero primo tal que TEX: $k \equiv 1\left( {\bmod 4} \right)$
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Pasten
mensaje May 22 2011, 02:02 PM
Publicado: #2


Dios Matemático Supremo
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CITA(master_c @ May 11 2011, 08:05 PM) *
Demostrar que TEX: $\sum\limits_{j = 1}^{\frac{{k - 1}}{4}} {\left\lfloor {\sqrt {kj} } \right\rfloor } = \frac{{k^2 - 1}}{{12}}$ donde k es un numero primo tal que TEX: $k \equiv 1\left( {\bmod 4} \right)$


Me incomoda que k sea primo. Lo voy a llamar p.

Queremos contar la cantidad de puntos enteros que hay en el rectangulo TEX: $\displaystyle 1\le x \le \frac{p-1}{4}$, TEX: $\displaystyle 1\le y \le \sqrt{\frac{(p-1)p}{4}}$ y que estan bajo el grafico de TEX: $f(x)=\sqrt{px}$. Como p es primo, el grafico de f no pasa por ningun punto entero en ese rango. Es mas, basta con buscar en el rectangulo TEX: $\displaystyle 1\le x \le \frac{p-1}{4}$, TEX: $\displaystyle 1\le y \le \frac{p-1}{2}$. Sea A el numero que buscamos, y sea B el numero de puntos enteros del rectangulo que estan por arriba del grafico de f, entonces
TEX: $$<br />A=\frac{(p-1)^2}{8}- B.<br />$$
Asi que tenemos que calcular B. Para esto, vamos a reflejar todo con recpecto a la recta x=y, entonces obtenemos que ahora B es el numero de puntos en el rectangulo TEX: $\displaystyle 1\le x \le \frac{p-1}{2}$, TEX: $\displaystyle 1\le y \le \frac{p-1}{4}$ que estan bajo el grafico de TEX: $h(x)=x^2/p$. O sea
TEX: $$<br />\begin{aligned}<br />B&=\sum_{n=1}^{(p-1)/2}\left\lfloor\frac{n^2}{p}\right\rfloor=\frac{1}{p}\sum_{n=1}^{(p-1)/2}n^2-\sum_{n=1}^{(p-1)/2}\left\{\frac{n^2}{p}\right\}\\<br />&=\frac{\left(\frac{p-1}{2}\right)\left(\frac{p-1}{2}+1\right)\left(2\frac{p-1}{2}+1\right)}{6p}-\sum_{n=1}^{(p-1)/2}\left\{\frac{n^2}{p}\right\}=\frac{p^2-1}{24}-\sum_{n=1}^{(p-1)/2}\left\{\frac{n^2}{p}\right\}<br />\end{aligned}<br />$$
Entonces el problema se reduce a calcular la ultima suma de partes fraccionarias. Para esto definimos TEX: $\delta(n,r)$ igual a 1 si TEX: $n^2\equiv r\mod p$ y 0 de lo contrario, entonces tenemos
TEX: $$<br />\begin{aligned}<br />\sum_{n=1}^{(p-1)/2}\left\{\frac{n^2}{p}\right\}&=\sum_{n=1}^{(p-1)/2}\sum_{r=0}^{p-1}\frac{r}{p}\delta(n,r)=\frac{1}{p}\sum_{r=0}^{p-1}\sum_{n=1}^{(p-1)/2}\delta(n,r)r\\<br />&=\frac{1}{2p}\sum_{r=1}^{p-1}\left(1+\left(\frac{r}{p}\right)\right)r=\frac{1}{2p}\frac{(p-1)p}{2}+\frac{1}{2p}\sum_{r=1}^{p-1}\left(\frac{r}{p}\right)r\\<br />&=\frac{p-1}{4}+\frac{1}{2p}\sum_{r=1}^{p-1}\left(\frac{r}{p}\right)r<br />\end{aligned}<br />$$
donde hemos usado que cada cuadrado modulo p tiene exactamente una raiz cuadrada en el rango de 1 a (p-1)/2.
Reemplazando esto en la expresion para B, y reemplazando la expresion para B en la expresion para A, vemos que hasta ahora llevamos
TEX: $$<br />\begin{aligned}<br />A&=\frac{(p-1)^2}{8}- \frac{p^2-1}{24}+\frac{p-1}{4}+\frac{1}{2p}\sum_{r=1}^{p-1}\left(\frac{r}{p}\right)r\\<br />&=\frac{p^2-1}{12}+\frac{1}{2p}\sum_{r=1}^{p-1}\left(\frac{r}{p}\right)r<br />\end{aligned}<br />$$
por lo tanto solo nos queda calcular la siguiente suma con simbolos de Legendre
TEX: <br />$$<br />\sum_{r=1}^{p-1}\left(\frac{r}{p}\right)r<br />$$<br />
pero esto es simple:
TEX: <br />$$<br />\begin{aligned}<br />\sum_{r=1}^{p-1}\left(\frac{r}{p}\right)r&=\frac{1}{2}\sum_{r=1}^{p-1}\left(\left(\frac{r}{p}\right)r+\left(\frac{p-r}{p}\right)r\right)\\<br />&=\frac{1}{2}\sum_{r=1}^{p-1}\left(\left(\frac{r}{p}\right)r+\left(\frac{r}{p}\right)(p-r)\right)\\<br />&=\frac{p}{2}\sum_{r=1}^{p-1}\left(\frac{r}{p}\right)=0<br />\end{aligned}<br />$$<br />
donde, el la primera igualdad hemos usado que p es de la forma 4m+1 asi que -1 es residuo cuadratico modulo p. Con esto concluimos lo pedido.


Saludos



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Pasten, un buen muchacho en quien confiar.
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