 Prueba Final, Nivel Mayor (2004), Sin solución: 1,2,3,4,5,6 |
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Foro fmat.cl > Sector Preparación Olimpiadas > Competencias y Olimpiadas > Olimpiadas > Olimpiada Nacional  |
 Oct 22 2012, 02:30 PM
Publicado:
#11
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Dios Matemático  Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 423 Registrado: 4-January 11 Miembro Nº: 82.624 Nacionalidad:  Universidad: .png) Sexo:   |
Solucion P4
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Oct 23 2012, 09:37 AM
Publicado:
#12
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Dios Matemático Supremo  Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 9.897 Registrado: 6-April 08 Miembro Nº: 19.238 Nacionalidad: Colegio/Liceo:  Sexo:  |
Otra solución:
Me apoyo de la figura de Heiricar excepto por las lineas OB y OC. Del enunciado, OP es eje de simetría de la figura y por tanto tr BCQ es isósceles en Q, por lo que <BPQ=90 (es tr de gravedad) Pero también <BPO=90 por eje de simetría. DONE. Extensión: olvídese que AB=BC=CD, y piense que solo AB=CD, además que AC // AD. La propiedad sigue valiendo por el argumento que recién di. Extensión 2: Sea ABC un tr isósceles en A y sea O un punto de la simetral de BC del otro lado de A respecto de BC. Giramos el tr ABC con centro en O y ángulo alfa. Sea B'C' la imagen de BC y A' la imagen de A. Sea P la intersección entre BC y B'C' y sea M el punto medio de AA'. Pruebe que O, P y M son colineales. Mensaje modificado por Kaissa el Oct 23 2012, 09:46 AM -------------------- |
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Jan 12 2020, 02:43 PM
Publicado:
#13
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Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 134 Registrado: 28-March 14 Miembro Nº: 128.100 Nacionalidad: Sexo: |
P3
![TEX: <br />\begin{itemize}<br />\item [i)] Sea $P$ el punto de intersección de las diagonales, denotemos por $\omega$ el perímetro del cuadrilátero. Por la desigualdad triangular tenemos que $CP + DP>CD$, $BP+CP>BC$, $AP+BP>AB$ y $AP+DP>AD$, sumando las desigualdades tenemos que $2(CP+AP) + 2(DP+BP)>\omega\Rightarrow 2(AC+BD)>\omega$, sabemos que $AC=1001$ y si asumimos que $BD=1$ tenemos por la desigualdad anterior que $2004>\omega$ pero $\omega = 2004$, contradicción, luego la longitud de $BD$ no puede ser 1. <br />\item [ii)] Pensemos en un rectángulo de lados $a$ y $b$, luego, con esto debemos chequear si $a+b = 1002$ y $a^2 + b^2 = 1001^2$ tiene soluciones positivas, si resolvemos notamos que una solución factible es $(a,b) = \left(501+\sqrt{501^2-\frac{2003}{2}}, 501-\sqrt{501^2-\frac{2003}{2}}\right)$ y concluimos.<br />\end{itemize}](/tex-image/d44bc06777ae46d0bbb6ff8e2b8eb24c.png)
-------------------- Hago clases particulares (activo 2024).
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