Prueba Final, Nivel Mayor (2004) - Foro fmat.cl

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Prueba Final, Nivel Mayor (2004), Sin solución: 1,2,3,4,5,6

Gp20 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 1 2007, 05:10 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 558 Registrado: 14-May 05 Desde: Maipú, Stgo, Chile Miembro Nº: 27 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	16ª OLIMPIADA NACIONAL DE MATEMÁTICAS Prueba Final, Nivel Mayor Primera Prueba Problema 1: Una empresa con 2004 trabajadores,celebro su aniversario invitando a todos a un almuerzo servido en una mesa redonda.Cuando se sentaron alrededor de esta mesa los 2004 trabajadores, formaron un circulo de personas y al poco tiempo descubrieron que todos ellos tenían salario distinto y ademas que la diferencia entre los sueldos de dos vecinos cualesquiera,en la mesa redonda,era de 2000 o bien 3000 pesos. Calcule la maxima diferencia que puede haber entre los sueldos de estos trabajadores. Problema 2: Todo punto de una recta esta pintado de color rojo o bien de color azul. Demuestre que siempre existen tres puntos $TEX: $A,B,C$$ que estan pintados de igual color y son tales que el punto $TEX: $B$$ es el punto medio del segmento $TEX: $AC$$ . Problema 3: El perimetro,es decir, la suma de las longitudes de todos los lados de un cuadrilatero convexo $TEX: $ABCD$$ , es igual a 2004 metros; mientras que la longitud de su diagonal $TEX: $AC$$ es igual a 1001 metros. Investigue si la longitud de la otra diagonal $TEX: $BD$$ puede: a) Ser igual a solo un metro. b) Ser igual a la longitud de la diagonal $TEX: $AC$$ . Segunda Prueba Problema 4: Se toma el numero $TEX: $2^{2004}$$ y se calcula la suma $TEX: $S$$ de todos sus digitos. Luego se calcula la suma de todos los digitos de $TEX: $S$$ para obtener $TEX: $R$$ . A continuacion se calcula la suma de todos los digitos de $TEX: $R$$ y asi sucesivamentehasta llegar a un numero de un solo digito. Encuentrelo.(Por ejemplo si tomamos $TEX: $2^7=128$$ , encontramos que $TEX: $S=11,R=2$$ . Asi en este caso de $TEX: $2^7$$ el digito buscado será 2). Problema 5: Sobre la superficie infinita del mar flota una mancha de petroleo negra y acotada. Al cabo de cada minuto la mancha y el mar cambian segun la sigueinte ley: en cada punto $TEX: $P$$ del mar (o de la mancha), se considera un disco $TEX: $D$$ de radio 1 centrado en $TEX: $P$$ . Si mas de la mitad del área dentro del disco $TEX: $D$$ tiene color negro, el punto $TEX: $P$$ permanecera negro durante el proximo minuto. Si mas de la mitad del área dentro del disco $TEX: $D$$ está de color azul marino, el punto $TEX: $P$$ tendra color azul marino durante el minuto siguiente. En el caso de que tanto el área limpia como la contaminada dentro del disco $TEX: $D$$ sean iguales, su centro $TEX: $P$$ no cambiara de color. ¿Puede aquella mancha "vivir" siempre o desaparecera en algun momento? Problema 6: Los segmentos $TEX: $AB,BC$$ y $TEX: $CD$$ de la poligonal $TEX: $ABCD$$ tienen la misma longitud y son tangentes a una circunferencia $TEX: $S$$ , de centro el punto $TEX: $O$$ . Sea $TEX: $P$$ el punto de tangencia de $TEX: $BC$$ con $TEX: $S$$ , y sea $TEX: $Q$$ el punto de interseccion de las rectas $TEX: $AC$$ y $TEX: $BD$$ . Demuestre que el punto $TEX: $Q$$ es colineal con los puntos $TEX: $P$$ y $TEX: $O$$ . -------------------- El peor defecto del ignorante es que ignora su propia ignorancia................ Educación2020 - Registra tu apoyo individual!!!!

The Lord Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 8 2007, 01:53 PM Publicado: #2
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 374 Registrado: 16-September 06 Desde: New Haven, CT, USA. Miembro Nº: 2.275 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Gp20 @ Mar 1 2007, 06:10 PM) Problema 4: Se toma el numero $TEX: $2^{2004}$$ y se calcula la suma $TEX: $S$$ de todos sus digitos. Luego se calcula la suma de todos los digitos de $TEX: $S$$ para obtener $TEX: $R$$ . A continuacion se calcula la suma de todos los digitos de $TEX: $R$$ y asi sucesivamentehasta llegar a un numero de un solo digito. Encuentrelo.(Por ejemplo si tomamos $TEX: $2^7=128$$ , encontramos que $TEX: $S=11,R=2$$ . Asi en este caso de $TEX: $2^7$$ el digito buscado será 2). Solución Problema 4: $TEX: \noindent Notemos que:\\<br />$2^3\equiv{-1} (Mod.9)$ $\Rightarrow$ $(2^3)^{2n}=2^{6n}\equiv{1} (Mod.9)$\\<br />Veamos que el 1 es el \'unico resto de una cifra.\\<br />Tambien recordemos que:<br />$10^ia_i\equiv{a_i}(Mod.9)$ $\Rightarrow$ $\sum\limits_{i = 0}^n {10^i a_i }\equiv{\sum\limits_{i = 0}^n {a_i }}(Mod.9)$, luego todo n\'umero es congruente a la suma de las cifras modulo 9.\\<br />Llevando esta observaci\'on al problema vemos que $2^{2004}=2^{6(334)}\equiv{1} (Mod.9)$, Luego como $2^{2004}$ va a ser congruente al n\'umero buscado modulo 9, y a la vez este n\'umero es de una cifra, no queda mas opci\'on que este n\'umero sea 1.<br />$ Saludos

The Lord Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 8 2007, 05:44 PM Publicado: #3
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 374 Registrado: 16-September 06 Desde: New Haven, CT, USA. Miembro Nº: 2.275 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Gp20 @ Mar 1 2007, 06:10 PM) Problema 6: Los segmentos $TEX: $AB,BC$$ y $TEX: $CD$$ de la poligonal $TEX: $ABCD$$ tienen la misma longitud y son tangentes a una circunferencia $TEX: $S$$ , de centro el punto $TEX: $O$$ . Sea $TEX: $P$$ el punto de tangencia de $TEX: $BC$$ con $TEX: $S$$ , y sea $TEX: $Q$$ el punto de interseccion de las rectas $TEX: $AC$$ y $TEX: $BD$$ . Demuestre que el punto $TEX: $Q$$ es colineal con los puntos $TEX: $P$$ y $TEX: $O$$ . Solución problema 6: screen.width0.6) {this.resized=true; this.width=screen.width0.4; this.alt='Pincha Aqui para ver esta imagen en su tamaÃ±o original';}" onmouseover="if(this.resized) this.style.cursor='hand';" onclick="if(this.resized) {window.open('http://img73.imageshack.us/img73/7367/colinealnm6.png');}" /> $TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> {\text{Tracemos las rectas AC}}{\text{,BD}}{\text{,BO}}{\text{,CO sean AB}} \cap {\text{S = E ; CD}} \cap {\text{S = G ; BO}} \cap {\text{AC = F ; }} \hfill \\<br /> {\text{CO}} \cap {\text{BD = H}}{\text{. Tambien trazamos EP}}{\text{,PG}}{\text{,FH}}{\text{,QO}}{\text{,QP}}{\text{.}} \hfill \\<br /> {\text{Sabemos que AB = BC = CD}} \Rightarrow \angle BAC = \angle BCA = \angle BEP = \angle BPE = \alpha ; \hfill \\<br /> \angle CBD = \angle CDB = \angle CPG = \angle CGP = \beta ({\text{isoceles}}) \Rightarrow EP{\text{ paralela AC}}{\text{, PG paralela BD}} \hfill \\<br /> {\text{Notemos que }}\vartriangle BPO \cong \vartriangle BEO \Rightarrow BO{\text{ bisectriz de }}\angle {\text{EBP}} \Rightarrow {\text{BO simetral de EP}}{\text{, }} \hfill \\<br /> {\text{BO simetral de }}AC.{\text{ Analogamente CO simetral de PG y BD}}{\text{. Luego como }} \hfill \\<br /> \angle {\text{QFO = }}\angle {\text{QHO = 90}} \hfill \\<br /> \Rightarrow {\text{OFQH es ciclico y BFHC es ciclico}} \hfill \\<br /> \Rightarrow \angle {\text{CBH = }}\angle {\text{CBD = }}\angle {\text{CFH = }}\beta \Rightarrow \angle QFH = \angle CFH = \angle QOH = \beta \hfill \\<br /> {\text{Como OG}} \bot {\text{CD}} \Rightarrow \angle {\text{PGO = 90 - }}\beta \Rightarrow \angle QOC = \beta \Rightarrow \angle COQ = \angle QOC \hfill \\<br /> {\text{Pero como CPO}} \cong CGO \Rightarrow \angle COG = \angle COP = \beta ,{\text{ Finalmente }}\angle COP = \angle COQ \hfill \\<br /> {\text{Demostrando que O}}{\text{,Q}}{\text{,P estan alineados}}{\text{.}} \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]$ Saludos

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 6 2009, 04:42 PM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Problema 1: $TEX: Demostraremos que si la cantidad de trabajadores es $2n$, con $n>1$, entonces la diferencia maxima entre los sueldos de dos trabajadores es $3000n-1000$ pesos. Llamemos $T_1, T_2,...T_{2n}$ a los sueldos de los trabajadores, con $T_1=min_{(1\leq i\leq 2n)} T_i$ (con los $T_i$ ordenados alrededor de una circunferencia, $T_{i-1}, T_{i}, T_{i+1}$, de forma equivalente a los trabajadores en la mesa), y para todo $i$, ($1\leq i\leq 2n$), definamos $a_i=T_i-T_1$ (usted claramente podra apreciar que $a_1=0$). Ahora debemos probar que $max_{(1\leq i\leq 2n)} a_i=3000n-1000$.<br /><br /> Consideremos la secuencia $A_n=(a_1, a_2,..., a_{2n})$, donde $a_j=3000(j-1)$ para $1\leq j\leq n$ y $a_j=3000(2n-j)+2000$ para $n+1\leq j\leq 2n$ Notando que $a_1<a_2<...<a_n$ y $a_{2n}<a_{2n-1}<...<a_{n+1}$, veamos facilmente que $max \{a_n, a_{n+1}\}=a_{n+1}$, y por lo tanto, en este caso $max_{(1\leq i\leq 2n)} a_i=a_{n+1}=3000n-1000$<br /><br />Ahora probaremos que es imposible que la maxima diferencia sea $3000n$ para cada $n$. Veamos que como entre dos vecinos la maxima diferencia posible es $3000$, tenemos que si $a_j$ es el maximo valor de los $a_i$, se cumple que $j\ge {n+1}$, ahora, analizando la situacion por el otro sentido, $j\leq {n+1}\to j=n+1$. Sin embargo, para llegar desde $a_j$ a $a_1$ debemos ir restando 3000 reiteradamente a ambos lados, y se nos repiten valores, lo cual contradice que todos los trabajadores tienen distinto sueldo. Por lo tanto el maximo valor posible de la diferencia para $2004$ trabajadores es $d=3000\cdot 1002-1000=3005000$ pesos. $\blacksquare$$ -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

makmat Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 6 2009, 04:40 PM Publicado: #5
Dios Matemático Supremo Grupo: Moderador Mensajes: 590 Registrado: 14-October 07 Miembro Nº: 11.310 Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Problema 2: $TEX: Nos basaremos en la siguiente afirmación:$ $TEX: \noindent En la recta siempre existe un segmento cuyos puntos extremos son del mismo color.$ $TEX: \noindent La demostración es sencilla: Si existen dos o más puntos de color rojo (o azul) basta elegir $2$ de ellos, pero si existe uno sólo de color rojo (o azul), como todo punto sobre la recta está pintado, luego elegimos dos de ellos que tienen el otro color. $\blacksquare$$ puntos1.png ( 25.63k ) Número de descargas: 11 $TEX: Suponga que no existen los puntos del enunciado (esos que son del mismo color y en el que uno de ellos es punto medio del segmento que forman los más alejados del trío). Luego elegimos 2 de estos puntos del mismo color (sean rojos o azules), estos serán $A$ y $A'$ determinando el segmento $AA'$ (la afirmación nos asegura que existe dicho segmento), note que estos puntos tienen color fijo, si tomamos el punto (sobre la recta) B tal que $AA'=A'B$ con $A\not =B$, note que $A'$ es punto medio del $AB$, luego como $A$, $A'$ tienen color fijo y además el mismo, tendremos que $B$ debe ser del otro color. Análogamente si tomamos el punto $B'$ tal que $AA'=AB'$ con $A' \not =B'$, obtendremos de la misma forma que $B'$ es del mismo color que $B$. Ahora si tomamos el punto medio del $AA'$ (sea este punto $M$), como $A$ y $A'$ tienen colores fijos y asumimos que no existe lo dicho por el enunciado, no queda otra que $M$ sea del mismo color que $B$ y $B'$, pero $M$ es el punto medio también del segmento $BB'$, de manera que tal segmento pedido en el enunciado si existe ($\Rightarrow \Leftarrow$). $\square$$ Lindo problema muy parecido al 4 de la Final 2008 Nivel Mayor. -------------------- $TEX: $displaystyle oint _{gamma} F cdot dr = displaystyle int int_{R} (dfrac{partial N}{partial x} - dfrac{partial M}{partial y}) dA$$ $TEX: $frac{a+b}{2}ge sqrt{ab}$$ [!] $TEX: $displaystyle int_{Mak^2}^{Mat}Mak^{Mat^{Mak}_{Mat}}dx$$ Doctor en Matemáticas Estudiando y creando problemas $TEX: MakMat$ $TEX: $displaystyle oint_{gamma} F cdot dr= int int_{R} rot F cdot black{N} dS$$ Adiós Kazajstán...

Newtype Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 12 2010, 06:14 PM Publicado: #6
Dios Matemático Supremo Grupo: Team Ensayos FMAT Mensajes: 1.559 Registrado: 18-November 07 Miembro Nº: 12.754 Nacionalidad: Sexo:	CITA(Gp20 @ Mar 1 2007, 06:10 PM) Problema 4: Se toma el numero $TEX: $2^{2004}$$ y se calcula la suma $TEX: $S$$ de todos sus digitos. Luego se calcula la suma de todos los digitos de $TEX: $S$$ para obtener $TEX: $R$$ . A continuacion se calcula la suma de todos los digitos de $TEX: $R$$ y asi sucesivamentehasta llegar a un numero de un solo digito. Encuentrelo.(Por ejemplo si tomamos $TEX: $2^7=128$$ , encontramos que $TEX: $S=11,R=2$$ . Asi en este caso de $TEX: $2^7$$ el digito buscado será 2). Generemos una función f, tal que para cada potencia de 2, digamos 2^n, entonces f(n) sea igual al número final obtenido según el algoritmo mostrado. Así, es fácil ver que: f(1)=2, f(2)=4, f(3)=8, f(4)=7, f(5)=5, f(6)=1 f(7)=2, f(8)=4, ... Esto nos lleva a conjeturar que el valor que toma el valor pedido sigue un ciclo, se repite con periodo 6. Es decir, f(n+6)=f(n). Demostraremos eso: Veamos que para pasar de una potencia de 2 a la siguiente, estamos multiplicando a este numero por 2, en otras palabras, multiplicamos CADA UNO DE SUS DÍGITOS por 2. Luego, la suma de sus dígitos se duplicará. Es decir, de 1 pasamos a 2, de 2 a 22=4, de 4 a 24=8, de 8 a 28=16-->1+6=7, 72=14-->1+4=5, etc...no es difícil ver cómo sigue. Entonces, como 2004 es múltiplo de 6, f(2004)=f(6)=1. Llegando al mismo resultado queThe Lord, de una manera más "humana" (realmente me sorprendió su solución Saludos, cualquier cosa me avisan . Por ejemplo, no estoy seguro si mi manera de mostrar la periodicidad de f(n) sea efectivamente una demostración válida. pues la emoción que sentí en el momento cuando se me ocurrió, en que ya había dejado el problema y me iba a dormir, podría haber nublado mi raciocinio Mensaje modificado por Hamon el Oct 12 2010, 06:16 PM -------------------- Empezando con Desigualdades? Encuentra aquí problemas resueltos

Kaissa Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 12 2010, 06:39 PM Publicado: #7
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 9.897 Registrado: 6-April 08 Miembro Nº: 19.238 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	que no te sorprenda la solucion de TheLord, puesto que este problema es bien conocido, sin embargo el problema original era con el numero 4444^4444. -------------------- Este es un extracto de Qué es fmat by Kenshin. La pregunta para ti estimado(a) lector(a) es... ¿Qué haces tu para que ésto se cumpla?

Newtype Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 12 2010, 06:44 PM Publicado: #8
Dios Matemático Supremo Grupo: Team Ensayos FMAT Mensajes: 1.559 Registrado: 18-November 07 Miembro Nº: 12.754 Nacionalidad: Sexo:	CITA(Kaissa @ Oct 12 2010, 07:39 PM) que no te sorprenda la solucion de TheLord, puesto que este problema es bien conocido, sin embargo el problema original era con el numero 4444^4444. Pucha, me fregaste la gracia de ese problema, que la verdad, me daba miedo resolver jaja Saludos y gracias Kaissa, igual no deja de sorprenderme este individuo , de hecho, una vez le dije a mis compañeros del colegio de olimpiadas, que se metieran a fmat y estudiaran exclusivamente los post de él y un par más. (en el sector olímpico). Bueno, nos vemos cuando haya logrado sacar algún otro problema de esta ´prueba (de preferencia el 1 o 3 o 5) -------------------- Empezando con Desigualdades? Encuentra aquí problemas resueltos

S. E. Puelma Moy... S. E. Puelma Moya Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 13 2010, 05:59 PM Publicado: #9
Dios Matemático Supremo Grupo: Administrador Mensajes: 2.706 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 10 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	CITA(Hamon @ Oct 12 2010, 07:14 PM) estamos multiplicando a este numero por 2, en otras palabras, multiplicamos CADA UNO DE SUS DÍGITOS por 2. Este es el paso que critico de tu solución. No es exacto que cada dígito sea multiplicado por 2, debido a la "suma con reserva". Por eso es adecuado usar congruencia módulo 9, como podemos apreciar en una solución antes exhibida. En todo caso, la idea es excelente. -------------------- Sebastián Elías Puelma Moya Administrador FMAT

Newtype Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 13 2010, 06:33 PM Publicado: #10
Dios Matemático Supremo Grupo: Team Ensayos FMAT Mensajes: 1.559 Registrado: 18-November 07 Miembro Nº: 12.754 Nacionalidad: Sexo:	CITA(xsebastian @ Oct 13 2010, 06:59 PM) Este es el paso que critico de tu solución. No es exacto que cada dígito sea multiplicado por 2, debido a la "suma con reserva". Por eso es adecuado usar congruencia módulo 9, como podemos apreciar en una solución antes exhibida. En todo caso, la idea es excelente. Me corrijo: estamos multiplicando x 2 la suma de los dígitos, por lo que analizmos duplicando la suma de los dígitos, es decir, cada dígito por separado se duplica y ahi efgectuamos la nueva suma. Así evitamos el oproblema de la suma con reserva. Igual la congruencia mod 9 es mas bonita Mensaje modificado por Hamon el Oct 13 2010, 06:35 PM -------------------- Empezando con Desigualdades? Encuentra aquí problemas resueltos

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