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![]() Dios Matemático Supremo ![]() Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 558 Registrado: 14-May 05 Desde: Maipú, Stgo, Chile Miembro Nº: 27 Nacionalidad: ![]() Colegio/Liceo: ![]() Universidad: ![]() Sexo: ![]() ![]() |
16ª OLIMPIADA NACIONAL DE MATEMÁTICAS Prueba Final, Nivel Mayor Primera Prueba Problema 1: Una empresa con 2004 trabajadores,celebro su aniversario invitando a todos a un almuerzo servido en una mesa redonda.Cuando se sentaron alrededor de esta mesa los 2004 trabajadores, formaron un circulo de personas y al poco tiempo descubrieron que todos ellos tenían salario distinto y ademas que la diferencia entre los sueldos de dos vecinos cualesquiera,en la mesa redonda,era de 2000 o bien 3000 pesos. Calcule la maxima diferencia que puede haber entre los sueldos de estos trabajadores. Problema 2: Todo punto de una recta esta pintado de color rojo o bien de color azul. Demuestre que siempre existen tres puntos ![]() ![]() ![]() Problema 3: El perimetro,es decir, la suma de las longitudes de todos los lados de un cuadrilatero convexo ![]() ![]() ![]() a) Ser igual a solo un metro. b) Ser igual a la longitud de la diagonal ![]() Segunda Prueba Problema 4: Se toma el numero ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Problema 5: Sobre la superficie infinita del mar flota una mancha de petroleo negra y acotada. Al cabo de cada minuto la mancha y el mar cambian segun la sigueinte ley: en cada punto ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Problema 6: Los segmentos ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() -------------------- El peor defecto del ignorante es que ignora su propia ignorancia................
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Publicado:
#2
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![]() Dios Matemático ![]() Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 374 Registrado: 16-September 06 Desde: New Haven, CT, USA. Miembro Nº: 2.275 Nacionalidad: ![]() Colegio/Liceo: ![]() Universidad: ![]() Sexo: ![]() ![]() |
CITA(Gp20 @ Mar 1 2007, 06:10 PM) Problema 4: Se toma el numero ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Solución Problema 4: ![]() Saludos |
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Publicado:
#3
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![]() Dios Matemático ![]() Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 374 Registrado: 16-September 06 Desde: New Haven, CT, USA. Miembro Nº: 2.275 Nacionalidad: ![]() Colegio/Liceo: ![]() Universidad: ![]() Sexo: ![]() ![]() |
CITA(Gp20 @ Mar 1 2007, 06:10 PM) Problema 6: Los segmentos ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Solución problema 6: ![]() ![]() Saludos |
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Publicado:
#4
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![]() Dios Matemático Supremo ![]() Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: ![]() Colegio/Liceo: ![]() Universidad: ![]() Sexo: ![]() ![]() |
Problema 1:
![]() -------------------- Ricardo Vargas Obando
Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. ![]() Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico:
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Publicado:
#5
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![]() Dios Matemático Supremo ![]() Grupo: Moderador Mensajes: 590 Registrado: 14-October 07 Miembro Nº: 11.310 Colegio/Liceo: ![]() Universidad: ![]() Sexo: ![]() ![]() |
Problema 2:
![]() ![]() ![]() Lindo problema ![]() -------------------- |
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Publicado:
#6
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![]() Dios Matemático Supremo ![]() Grupo: Team Ensayos FMAT Mensajes: 1.559 Registrado: 18-November 07 Miembro Nº: 12.754 Nacionalidad: ![]() Sexo: ![]() ![]() |
Problema 4: Se toma el numero ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Generemos una función f, tal que para cada potencia de 2, digamos 2^n, entonces f(n) sea igual al número final obtenido según el algoritmo mostrado. Así, es fácil ver que: f(1)=2, f(2)=4, f(3)=8, f(4)=7, f(5)=5, f(6)=1 f(7)=2, f(8)=4, ... Esto nos lleva a conjeturar que el valor que toma el valor pedido sigue un ciclo, se repite con periodo 6. Es decir, f(n+6)=f(n). Demostraremos eso: Veamos que para pasar de una potencia de 2 a la siguiente, estamos multiplicando a este numero por 2, en otras palabras, multiplicamos CADA UNO DE SUS DÍGITOS por 2. Luego, la suma de sus dígitos se duplicará. Es decir, de 1 pasamos a 2, de 2 a 2*2=4, de 4 a 2*4=8, de 8 a 2*8=16-->1+6=7, 7*2=14-->1+4=5, etc...no es difícil ver cómo sigue. Entonces, como 2004 es múltiplo de 6, f(2004)=f(6)=1. Llegando al mismo resultado queThe Lord, de una manera más "humana" (realmente me sorprendió su solución ![]() Saludos, cualquier cosa me avisan ![]() Mensaje modificado por Hamon el Oct 12 2010, 06:16 PM -------------------- Empezando con Desigualdades? Encuentra aquí problemas resueltos
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Publicado:
#7
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Dios Matemático Supremo ![]() Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 9.897 Registrado: 6-April 08 Miembro Nº: 19.238 Nacionalidad: ![]() Colegio/Liceo: ![]() Sexo: ![]() ![]() |
que no te sorprenda la solucion de TheLord, puesto que este problema es bien conocido, sin embargo el problema original era con el numero 4444^4444.
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Publicado:
#8
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![]() Dios Matemático Supremo ![]() Grupo: Team Ensayos FMAT Mensajes: 1.559 Registrado: 18-November 07 Miembro Nº: 12.754 Nacionalidad: ![]() Sexo: ![]() ![]() |
que no te sorprenda la solucion de TheLord, puesto que este problema es bien conocido, sin embargo el problema original era con el numero 4444^4444. Pucha, me fregaste la gracia de ese problema, que la verdad, me daba miedo resolver jaja ![]() Saludos y gracias Kaissa, igual no deja de sorprenderme este individuo ![]() Bueno, nos vemos cuando haya logrado sacar algún otro problema de esta ´prueba (de preferencia el 1 o 3 o 5) -------------------- Empezando con Desigualdades? Encuentra aquí problemas resueltos
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Publicado:
#9
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![]() Dios Matemático Supremo ![]() Grupo: Administrador Mensajes: 2.706 Registrado: 13-May 05 Desde: Santiago de Chile Miembro Nº: 10 Nacionalidad: ![]() Colegio/Liceo: ![]() Sexo: ![]() ![]() |
estamos multiplicando a este numero por 2, en otras palabras, multiplicamos CADA UNO DE SUS DÍGITOS por 2. Este es el paso que critico de tu solución. No es exacto que cada dígito sea multiplicado por 2, debido a la "suma con reserva". Por eso es adecuado usar congruencia módulo 9, como podemos apreciar en una solución antes exhibida. En todo caso, la idea es excelente. -------------------- |
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Publicado:
#10
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![]() Dios Matemático Supremo ![]() Grupo: Team Ensayos FMAT Mensajes: 1.559 Registrado: 18-November 07 Miembro Nº: 12.754 Nacionalidad: ![]() Sexo: ![]() ![]() |
Este es el paso que critico de tu solución. No es exacto que cada dígito sea multiplicado por 2, debido a la "suma con reserva". Por eso es adecuado usar congruencia módulo 9, como podemos apreciar en una solución antes exhibida. En todo caso, la idea es excelente. Me corrijo: estamos multiplicando x 2 la suma de los dígitos, por lo que analizmos duplicando la suma de los dígitos, es decir, cada dígito por separado se duplica y ahi efgectuamos la nueva suma. Así evitamos el oproblema de la suma con reserva. Igual la congruencia mod 9 es mas bonita ![]() Mensaje modificado por Hamon el Oct 13 2010, 06:35 PM -------------------- Empezando con Desigualdades? Encuentra aquí problemas resueltos
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