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Control 2 EDO 2011/1, Salomé Martínez

Chaparrón Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 27 2011, 09:48 PM Publicado: #1
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 170 Registrado: 25-July 07 Miembro Nº: 7.812	Control 2 MA 2601, 2011/1 Prof. Salomé Martínez Aux. Edgardo Mathies y Sebastián Barbieri P1 a) Sea $TEX: $a:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$$ continua y de período $TEX: $1$$ (1) $TEX: $y'' + a\left( x \right)y = 0$$ Demuestre que $TEX: $y$$ tiene período $TEX: $1$$ sí y solo si $TEX: $y(0)=y(1)$$ y $TEX: $y'(0)=y'(1)$$ b) Suponga que $TEX: $y1,y2$$ son una base de soluciones de (1) tales que $TEX: $y_1(0)=1,y_1'(0)=0, y_2(1)=0,y_2'(1)=1$$ Demuestre que para todo $TEX: $x \in \mathbb{R}$$ se tiene que $TEX: $W(y1,y2)(x)=1$$ c) Demuestre que (1) tiene al menos una solución no trivial de período $TEX: $1$$ , si y solo si $TEX: $y_1(1)+y_2'(1)=2$$ Ind: Para esto considere $TEX: $y=Ay_1+By_2$$ una solución de (1) y use las partes anteriores para deducir cuando $TEX: $y$$ tiene período $TEX: $1$$ y es no trivial. d) Determine todos los valores de $TEX: $\alpha \in \mathbb{R}$$ para los cuales la ecuación: $TEX: $y''+\alpha y=0$$ tiene soluciones no triviales de período $TEX: $1$$ P2 a) Considere la ecuación $TEX: $y''+ay'+by=1+x$$ con $TEX: $a,b$$ constantes, $TEX: $a \ge 0, b \ge 0$$ . Determine la solución general de la ecuación separando los casos $TEX: $a=0,b=0,a^2=4b,a^2>4b,a^2<4b$$ b) Resuelva el problema de valor inicial $TEX: $y''-y=xe^x$$ , con $TEX: $y(0)=1, y'(0)=0$$ . (Ind: puede ser más eficiente usar variación de parámetros) P3) a) Sean $TEX: $\alpha < \beta$$ funciones continuas definidas en un intervalo $TEX: $(a,b)$$ . Sea $TEX: $\phi$$ una solución no trivial de la ecuación $TEX: $y''+\alpha (x)y=0$$ , y $TEX: $\psi$$ una solución no trivial de la ecuación $TEX: $y''+\beta (x)y=0$$ . Demuestre que si $TEX: $\phi(x_1)=\phi(x_2)=0$$ , con $TEX: $x_1<x_2$$ y $TEX: $\phi(x) \ne 0$$ en $TEX: $(x_1,x_2)$$ , entonces $TEX: $\psi$$ se anula en un punto en $TEX: $(x_1,x_2)$$ Ind: Considere el caso $TEX: $\phi >0$$ en $TEX: $(x_1,x_2)$$ y suponga $TEX: $\psi >0$$ en $TEX: $(x_1,x_2)$$ . Demuestre que $TEX: $(\psi \phi '-\phi \psi ')'>0$$ en $TEX: $(x_1,x_2)$$ e integre $TEX: $x_1$$ y $TEX: $x_2$$ para obtener una contradicción. Explique como obtener el resultado en los otros casos. b) Suponga $TEX: $\beta : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$$ es continua, positiva y acotada por abajo, es decir $TEX: $\beta (x) \ge \varepsilon$$ para todo $TEX: $x$$ , con $TEX: $\varepsilon >0$$ . Demuestre que cualquier solución de la ecuación $TEX: $y''+\beta (x)y=0, x \in \mathbb{R}$$ tiene un número infinito de ceros. Ind: Utilice la parte anterior, utilizando una ecuación adecuada (que tenga soluciones con infinitos ceros).

Naxoo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 9 2011, 03:33 PM Publicado: #2
Staff FMAT Grupo: Moderador Mensajes: 2.604 Registrado: 2-March 07 Desde: Somewhere over the rainbow Miembro Nº: 4.244 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	La P3 es muy del estilo Salomé -------------------- INRIA - Francia, Sophia Antipolis Biocore Team Ingeniero Civil en Biotecnología Ingeniería Civil Químico “(…) los elementos que él (¿o Él?) [Dios] mismo nos ha dado (raciocinio, sensibilidad, intuición) no son en absoluto suficientes como para garantizarnos ni su existencia ni su no existencia. Gracias a una corazonada puedo creer en Dios y acertar o no creer en Dios y también acertar" Mario Benedetti $TEX: \[\iiint\limits_\Omega {\left( {\nabla \cdot \vec F} \right)dV} = \iint\limits_{\partial \Omega } {\left( {\vec F \cdot \hat n} \right)}dS\]<br />$

febomon Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 26 2011, 10:39 PM Publicado: #3
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 448 Registrado: 27-January 08 Miembro Nº: 15.045 Nacionalidad: Sexo:	1a) Supongamos que se cumple y(0)=y(1) y y´(0)=y´(1) Sea : $TEX: <br />h(x)=y(x)-y(x-1)<br />$ De donde h satisface la ecuación diferencial (dada la periocidad de a): $TEX: <br />h"+ah=0<br />$ con: $TEX: <br />h(1)=0 y h´(1)=0<br />$ luego por el teorema de existencia y unicidad se concluye que h=0 por lo tanto y(x)=y(x-1) de donde se concluye lo pedido. Para el otro lado es inmediato

Naxoo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 27 2011, 03:12 PM Publicado: #4
Staff FMAT Grupo: Moderador Mensajes: 2.604 Registrado: 2-March 07 Desde: Somewhere over the rainbow Miembro Nº: 4.244 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	P3) Parte a) $TEX: \[\begin{gathered}<br /> {\left( {\psi \phi ' - \psi '\phi } \right)^\prime } = \psi '\phi ' + \psi \phi '' - \left( {\psi '\phi ' + \psi ''\phi } \right) = \psi \phi '' - \psi ''\phi \hfill \\<br /> {\text{Pero como }} \phi {\text{ y }} \psi {\text{ soluciones de sus respectivas ecuaciones cumplen:}} \hfill \\<br /> {\text{ }}\left. {\underline {\, <br /> \begin{gathered}<br /> \phi '' + \alpha \phi = 0 \hfill \\<br /> \psi '' + \beta \psi = 0 \hfill \\ <br />\end{gathered} \,}}\! \right\| \Leftrightarrow \left. {\underline {\, <br /> \begin{gathered}<br /> \phi ''\psi = - \alpha \psi \phi \hfill \\<br /> \phi \psi '' = - \beta \psi \phi \hfill \\ <br />\end{gathered} \,}}\! \right\| ( - ) \Rightarrow \psi \phi '' - \psi ''\phi = \psi \phi \left( {\beta - \alpha } \right) \hfill \\<br /> {\text{Ahora tomando el caso }}\phi > 0{\text{ y suponiendo }}\psi > 0{\text{ se cumple que }}\psi \phi > 0.{\text{ Y como}} \hfill \\<br /> \beta > \alpha \Rightarrow \psi \phi \left( {\beta - \alpha } \right) > 0 \Rightarrow {\left( {\psi \phi ' - \psi '\phi } \right)^\prime } = \psi \phi '' - \psi ''\phi > 0 \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{Integrando como dice la indicacion y recordando que }}\phi \left( {{x_1}} \right) = \phi \left( {{x_2}} \right) = 0 \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> \psi \left( {{x_2}} \right)\phi '\left( {{x_2}} \right) - \phi \left( {{x_2}} \right)\psi '\left( {{x_2}} \right) - \left[ {\psi \left( {{x_1}} \right)\phi '\left( {{x_1}} \right) - \phi \left( {{x_1}} \right)\psi '\left( {{x_1}} \right)} \right] > 0 \hfill \\<br /> \psi \left( {{x_2}} \right)\phi '\left( {{x_2}} \right) > \psi \left( {{x_1}} \right)\phi '\left( {{x_1}} \right){\text{ ()}} \hfill \\<br /> \hfill \\<br /> {\text{No es dificil probar que }}\phi '\left( {{x_1}} \right) > 0 > \phi '\left( {{x_2}} \right).{\text{ Como }}\psi > 0{\text{ }} \Rightarrow \psi \left( {{x_1}} \right)\phi '\left( {{x_1}} \right) > 0{\text{ y}} \hfill \\<br /> \psi \left( {{x_2}} \right)\phi '\left( {{x_2}} \right) < 0{\text{ }} \to \leftarrow {\text{ con ()}}{\text{. }}\therefore \psi \leqslant 0{\text{ en }}\left( {{x_1},{x_2}} \right) \hfill \\ <br />\end{gathered} \]<br />$ Analizar los otros casos es bastante análogo, hay que tener cuidado con los signos de cada función nuevamente, pero al final multiplicando con las cosas respectivas se llega a lo mismo Parte b) $TEX: \[\begin{gathered}<br /> {\text{Sean las ecuaciones: }}y'' + \varepsilon y = 0{\text{ (1) y }}y'' + \beta y = 0{\text{ (2)}}{\text{. Para (1) consideremos una}} \hfill \\<br /> {\text{solucion no trivial }}\phi \left( x \right) = \sin \left( {\sqrt \varepsilon x} \right).{\text{ Y }}\psi (x){\text{ para (2)}}{\text{. Notar que }}\phi {\text{ satisface las mismas}} \hfill \\<br /> {\text{condiciones que en la parte anterior (de hecho las cumple infinitas veces)}}{\text{, por lo tanto }} \hfill \\<br /> \psi {\text{ se debe hacer cero en infinitos puntos}} \hfill \\ <br />\end{gathered} \]<br /><br />$ Sorry lo informal a ratos, pero esa es la idea de resolución -------------------- INRIA - Francia, Sophia Antipolis Biocore Team Ingeniero Civil en Biotecnología Ingeniería Civil Químico “(…) los elementos que él (¿o Él?) [Dios] mismo nos ha dado (raciocinio, sensibilidad, intuición) no son en absoluto suficientes como para garantizarnos ni su existencia ni su no existencia. Gracias a una corazonada puedo creer en Dios y acertar o no creer en Dios y también acertar" Mario Benedetti $TEX: \[\iiint\limits_\Omega {\left( {\nabla \cdot \vec F} \right)dV} = \iint\limits_{\partial \Omega } {\left( {\vec F \cdot \hat n} \right)}dS\]<br />$

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