Maraton Opciones

[xD13G0x]

Uno sencillito que acabo de hacer. Sea ABC un triangulo acutangulo, P un punto dentro del triangulo y L,M,N los pies de las alturas de P sobre BC,CA,AB, respectivamente. Encuentre los puntos P (podrian haber varios) tales que BL^2+CM^2+AN^2 es minimo.

EDIT: no entiendo la solucion de pasten, dice "sea T un punto en C tal que TAB es equilatero" pero a mi parecer no existe tal punto

Mensaje modificado por xD13G0x el May 15 2011, 06:43 PM

[Pasten]

Uno sencillito que acabo de hacer. Sea ABC un triangulo acutangulo, P un punto dentro del triangulo y L,M,N los pies de las alturas de P sobre BC,CA,AB, respectivamente. Encuentre los puntos P (podrian haber varios) tales que BL^2+CM^2+AN^2 es minimo.

EDIT: no entiendo la solucion de pasten, dice "sea T un punto en C tal que TAB es equilatero" pero a mi parecer no existe tal punto

Tienes razon, debi poner que el arco AB mide 120 jajaja. En todo caso hace bien calcular un poquito...

[xD13G0x]

Hint: Exprese lo pedido de una forma mas "simetrica"

[Pasten]

Uno sencillito que acabo de hacer. Sea ABC un triangulo acutangulo, P un punto dentro del triangulo y L,M,N los pies de las alturas de P sobre BC,CA,AB, respectivamente. Encuentre los puntos P (podrian haber varios) tales que BL^2+CM^2+AN^2 es minimo.

Anduve desaparecido unos dias... aqui va la solucion:

Por Pitagoras:

por lo tanto

pero BN+NA, CL+LB, AM+MC son cantidades fijas (los lados del triangulo) asi que cada uno de esos tres parentesis se minimiza cuando N, L, M son puntos medios de BA, CB, AC respectivamente. Entonces P minimiza la cantidad pedida cuando es el circuncentro.

Saludos.

[xD13G0x]

Perfecto, ven que era sencillo?. Disculpa por no revisarlo antes.
La fuente es un shorlist de quien sabe que año xD.
proponga

[Pasten]

El entero N es un cuadrado modulo p (es decir, un residuo cuadratico) para todo primo p. ¿Es verdad que necesariamente N tiene que ser un cuadrado?

Saludos

[Felipe_ambuli]

Sí, necesariamente es un cuadrado. Escribamos la factorización prima de N y suponga que no es cuadrado, pero sí cuadrado modulo p para todo primo p, entonces alguno de los divisores primos de N debe ser impar porque de lo contrario N es potencia perfecta de 2 con exponente impar, y todas las potencias de 2 con exponente impar no son residuos cuadraticos modulo 3. Sea donde f es libre de cuadrados. Entonces si es primo, usando el símbolo de Jacobi tenemos , de modo que sin perder generalidad asumo que N es libre de cuadrados. Escriba nuevamente la factorizacion prima. Como N no es 2, entonces es impar. Por el teorema de Dirichlet de la existencia de infinitos primos en progresión aritmética, existe p primo tal que , y donde x es un residuo no cuadrático modulo . Nuevamente usando el simbolo de Jacobi y la reciprocidad cuadratica tenemos que y que , y por las condiciones dadas sobre es fácil ver que son residuos cuadraticos modulo p, pero no lo es, por ende N no es residuo cuadratico modulo p, esto contradice la definicion de N.

Mensaje modificado por Felipe_ambuli el May 22 2011, 10:51 PM

[Pasten]

Sí, necesariamente es un cuadrado. Escribamos la factorización prima de N y suponga que no es cuadrado, pero sí cuadrado modulo p para todo primo p, entonces alguno de los divisores primos de N debe ser impar porque de lo contrario N es potencia perfecta de 2 con exponente impar, y todas las potencias de 2 con exponente impar no son residuos cuadraticos modulo 3. Sea donde f es libre de cuadrados. Entonces si es primo, usando el símbolo de Jacobi tenemos , de modo que sin perder generalidad asumo que N es libre de cuadrados. Escriba nuevamente la factorizacion prima. Como N no es 2, entonces es impar. Por el teorema de Dirichlet de la existencia de infinitos primos en progresión aritmética, existe p primo tal que , y donde x es un residuo no cuadrático modulo . Nuevamente usando el simbolo de Jacobi y la reciprocidad cuadratica tenemos que y que , y por las condiciones dadas sobre es fácil ver que son residuos cuadraticos modulo p, pero no lo es, por ende N no es residuo cuadratico modulo p, esto contradice la definicion de N.

Muy bien! es mas o menos lo que tenia en mente. Si quieren averiguar mas, un buen tema para mirar es el teorema de densidad de Chebotarev.


Abora propone Felipe_ambuli

[Felipe_ambuli]

Sea A un conjunto de nueve puntos en el plano, tres a tres no colineares. Pruebe que para cada , el número de triángulos que tienen como vértices a tres de los ocho puntos restantes y que contienen a P en su interior es par.

[xD13G0x]

Cambiamos 9 por un n impar.
Tomemos un cuadrilatero con vertices en A, y consideremos los 4 triangulos con vertices en los vertices del cuadrilatero, es obvio que P pertenece a 2 o a 0 de esos 4 triangulos. Si hacemos k=la cantidad de triangulos con vertices en A que contienen a P y q=una sumatoria definida asi: para cada cuadrilatero X1X2X3X4 con vertices en A, f(X1X2X3X4) donde f(X1X2X3X4) es 0 o 2 dependiendo si P pertenece a 0 o 2 triangulos con vertices en X1,X2,X3,X4,
Usando lo anterior tenemos que k=q/(n-4), pues si P esta en algun triangulo con vertices en A, digamos ABC, contiene a P, entonces hay n-4 cuadrilateros (restar los vertices del triangulo y P) que cuentan el hecho que ABC contiene a P.